Urutan Nomor Peserta Olimpiade Matematika: Soal Dan Solusi

Olimpiade matematika seringkali menghadirkan soal-soal yang unik dan menantang. Salah satunya adalah soal tentang penyusunan nomor peserta. Bayangin aja, guys, panitia lomba olimpiade matematika bikin nomor peserta yang disusun dari angka 1, 5, 5, 6, dan 8. Nah, kalau nomor-nomor itu disusun berdasarkan urutan dari yang terkecil sampai terbesar, kita diminta mencari tahu nomor 65158 itu ada di urutan ke berapa. Kedengarannya seru, kan? Yuk, kita bedah soal ini bareng-bareng!

Memahami Permasalahan

Sebelum kita mulai ngitung, penting banget buat kita paham dulu apa yang sebenarnya ditanyain di soal ini. Jadi, intinya kita punya lima angka: 1, 5, 5, 6, dan 8. Dari kelima angka ini, kita bisa bikin banyak banget kombinasi nomor peserta yang berbeda. Nah, kita diminta buat mengurutkan semua kemungkinan nomor peserta ini dari yang paling kecil sampai yang paling besar. Setelah itu, kita cari posisi nomor 65158 dalam urutan tersebut. Simpelnya gitu, guys.

Kenapa soal ini menarik? Karena ini bukan cuma soal ngitung biasa. Kita juga perlu mikirin gimana caranya menyusun angka-angka ini secara sistematis biar gak ada yang kelewatan. Terus, kita juga harus paham konsep permutasi dengan pengulangan, karena angka 5 muncul dua kali. Ini yang bikin soal ini jadi lebih menantang.

Strategi Penyelesaian

Oke, sekarang kita udah paham soalnya. Langkah selanjutnya adalah mikirin strategi buat nyelesaiinnya. Ada beberapa cara yang bisa kita lakuin, tapi menurutku cara yang paling efektif adalah dengan memecah masalah ini jadi beberapa bagian yang lebih kecil. Pertama, kita cari tahu dulu berapa banyak sih total kemungkinan nomor peserta yang bisa kita buat dari angka 1, 5, 5, 6, dan 8. Setelah itu, kita bisa mulai mengurutkan nomor-nomor ini berdasarkan digit pertamanya. Misalnya, kita kelompokkin semua nomor yang digit pertamanya 1, terus semua nomor yang digit pertamanya 5, dan seterusnya. Dengan cara ini, kita bisa lebih mudah nemuin posisi nomor 65158.

Menghitung Total Kemungkinan Nomor Peserta

Nah, ini dia bagian yang seru! Buat ngitung total kemungkinan nomor peserta, kita bisa pake rumus permutasi dengan pengulangan. Rumusnya gini:

Total kemungkinan = n! / (r1! * r2! * ... * rk!)

Di mana:

• n adalah jumlah total angka (dalam kasus ini, n = 5)
• r1, r2, ..., rk adalah jumlah pengulangan masing-masing angka (dalam kasus ini, angka 5 muncul 2 kali, jadi r1 = 2)

Kalau kita masukkin angka-angkanya ke rumus, kita bakal dapet:

Total kemungkinan = 5! / 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 120 / 2 = 60

Jadi, total ada 60 kemungkinan nomor peserta yang bisa kita buat dari angka 1, 5, 5, 6, dan 8.

Mengurutkan dan Mencari Posisi Nomor 65158

Sekarang, kita udah tahu ada 60 kemungkinan nomor peserta. Langkah selanjutnya adalah mengurutkan nomor-nomor ini dari yang terkecil sampai yang terbesar. Tapi, ngurutin semuanya satu per satu pasti bakal makan waktu banget. Jadi, kita pake strategi yang lebih cerdas.

Kita mulai dengan ngeliat digit pertama. Nomor 65158 digit pertamanya adalah 6. Jadi, kita perlu cari tahu dulu ada berapa banyak nomor yang digit pertamanya lebih kecil dari 6. Angka yang lebih kecil dari 6 di antara angka 1, 5, 5, 6, dan 8 adalah 1 dan 5.

• Nomor yang digit pertamanya 1: Kalau digit pertama adalah 1, maka sisa angka yang harus kita susun adalah 5, 5, 6, dan 8. Jumlah kemungkinan susunan untuk angka-angka ini adalah 4! / 2! = (4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 12. Jadi, ada 12 nomor yang digit pertamanya 1.
• Nomor yang digit pertamanya 5: Kalau digit pertama adalah 5, maka sisa angka yang harus kita susun adalah 1, 5, 6, dan 8. Jumlah kemungkinan susunan untuk angka-angka ini adalah 4! / 1! = (4 * 3 * 2 * 1) / 1 = 24. Jadi, ada 24 nomor yang digit pertamanya 5.

Total nomor yang digit pertamanya lebih kecil dari 6 adalah 12 + 24 = 36. Ini berarti nomor 65158 berada di urutan setelah nomor-nomor ini.

Sekarang, kita fokus ke nomor-nomor yang digit pertamanya 6. Setelah angka 6, digit kedua dari nomor 65158 adalah 5. Kita perlu cari tahu ada berapa banyak nomor yang digit pertamanya 6 dan digit keduanya lebih kecil dari 5. Karena angka yang tersisa adalah 1, 5, 5, dan 8, maka gak ada angka yang lebih kecil dari 5. Ini berarti semua nomor yang digit pertamanya 6 dan digit keduanya lebih kecil dari 5 itu gak ada.

Selanjutnya, kita fokus ke nomor-nomor yang digit pertamanya 6 dan digit keduanya 5. Setelah angka 5, digit ketiga dari nomor 65158 adalah 1. Kita perlu cari tahu ada berapa banyak nomor yang digit pertamanya 6, digit keduanya 5, dan digit ketiganya lebih kecil dari 1. Karena angka yang tersisa adalah 1, 5, dan 8, maka gak ada angka yang lebih kecil dari 1. Ini berarti semua nomor yang digit pertamanya 6, digit keduanya 5, dan digit ketiganya lebih kecil dari 1 itu gak ada.

Selanjutnya, kita fokus ke nomor-nomor yang digit pertamanya 6, digit keduanya 5, dan digit ketiganya 1. Setelah angka 1, digit keempat dari nomor 65158 adalah 5. Kita perlu cari tahu ada berapa banyak nomor yang digit pertamanya 6, digit keduanya 5, digit ketiganya 1, dan digit keempatnya lebih kecil dari 5. Karena angka yang tersisa adalah 5 dan 8, maka gak ada angka yang lebih kecil dari 5. Ini berarti semua nomor yang digit pertamanya 6, digit keduanya 5, digit ketiganya 1, dan digit keempatnya lebih kecil dari 5 itu gak ada.

Akhirnya, kita sampai di nomor 65158. Karena semua nomor sebelumnya sudah kita hitung, maka posisi nomor 65158 adalah:

Posisi = 36 (nomor yang digit pertamanya lebih kecil dari 6) + 1 (nomor 65158 itu sendiri) = 37

Jadi, nomor 65158 berada pada urutan ke-37.

Kesimpulan

Soal olimpiade matematika ini emang challenging, tapi seru banget buat dipecahin. Dengan memahami konsep permutasi dengan pengulangan dan strategi pemecahan masalah yang tepat, kita bisa nemuin jawabannya. Jadi, buat kalian yang lagi belajar matematika, jangan takut sama soal-soal yang susah. Teruslah belajar dan berlatih, karena dengan begitu kalian bakal makin jago!

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu buat nanya di kolom komentar. Semangat terus belajarnya!