Persamaan Kuadrat Baru: Trik Jitu Ubah Akar

Halo, teman-teman matematikawan! Kali ini kita bakal ngebahas topik yang seru banget, yaitu gimana cara bikin persamaan kuadrat baru dari persamaan kuadrat yang udah ada. Nggak cuma itu, kita juga bakal belajar gimana cara ngubah akar-akarnya biar sesuai sama yang kita mau. Siap-siap ya, karena bakal ada trik-trik jitu yang bikin matematika jadi makin asyik!

Kita mulai dengan contoh soal yang keren nih. Misalkan kita punya persamaan kuadrat $4x^2 - 2x + 3 = 0$. Nah, dari persamaan ini, kita mau bikin persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya punya hubungan spesial sama akar-akar persamaan yang asli. Ada beberapa skenario nih yang bakal kita bedah, mulai dari akar yang dikali dua, ditambah satu, sampai dikurang satu. Seru kan?

Memahami Konsep Dasar Persamaan Kuadrat

Sebelum kita loncat ke soalnya, penting banget nih buat kita inget lagi konsep dasar tentang persamaan kuadrat. Ingat nggak sih sama rumus abc? Atau sama sifat akar-akar persamaan kuadrat? Nah, itu bakal jadi kunci utama kita. Kalau kita punya persamaan kuadrat umum kayak gini: $ax^2 + bx + c = 0$, maka kita tahu kalau jumlah akar-akarnya ($\alpha + \beta$) itu sama dengan $-b/a$, dan hasil kali akar-akarnya ($\alpha \beta$) itu sama dengan $c/a$. Ini penting banget, guys, karena bakal kita pakai terus buat nyari persamaan kuadrat baru nanti. Jadi, kalau ada yang masih bingung, yuk kita review lagi materi ini sebentar.

Misalnya di soal kita, $4x^2 - 2x + 3 = 0$. Di sini, $a=4$, $b=-2$, dan $c=3$. Jadi, kalau akar-akarnya kita sebut $\alpha$ dan $\beta$, maka:

• Jumlah akar: $\alpha + \beta = -b/a = -(-2)/4 = 2/4 = 1/2$
• Hasil kali akar: $\alpha \beta = c/a = 3/4$

Informasi ini bakal jadi bekal kita buat menyelesaikan semua bagian soalnya. Jadi, pastikan angka-angka ini udah nempel di kepala kalian ya!

a) Akar Baru: Dua Kali Akar Lama

Oke, guys, sekarang kita masuk ke bagian pertama. Kita mau bikin persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya itu dua kali akar-akar dari persamaan kuadrat yang asli, $4x^2 - 2x + 3 = 0$. Kalau akar-akar persamaan asli kita sebut $\alpha$ dan $\beta$, berarti akar-akar persamaan baru kita sebut aja $x_1$ dan $x_2$, di mana $x_1 = 2\alpha$ dan $x_2 = 2\beta$. Gimana cara nyari persamaan kuadrat barunya? Gampang, kita pakai lagi konsep jumlah dan hasil kali akar, tapi sekarang buat akar-akar yang baru.

Pertama, kita cari jumlah akar-akar baru: $x_1 + x_2 = 2\alpha + 2\beta$. Kita bisa keluarin angka 2-nya, jadi $2(\alpha + \beta)$. Nah, kita kan udah tahu kalau $\alpha + \beta = 1/2$ dari persamaan asli. Jadi, jumlah akar baru kita adalah $2 imes (1/2) = 1$. Keren kan? Cuma substitusi aja.

Selanjutnya, kita cari hasil kali akar-akar baru: $x_1 imes x_2 = (2\alpha) imes (2\beta) = 4\alpha\beta$. Kita juga udah tahu kalau $\alpha \beta = 3/4$. Jadi, hasil kali akar baru kita adalah $4 imes (3/4) = 3$. Voila! Kita udah punya jumlah akar baru (1) dan hasil kali akar baru (3).

Sekarang, gimana cara bikin persamaan kuadrat baru dari jumlah dan hasil kali akar? Ingat lagi rumusnya, guys: $x^2 - (\text{jumlah akar baru})x + (\text{hasil kali akar baru}) = 0$. Tinggal kita masukin aja angka-angka yang udah kita dapetin:

$x^2 - (1)x + (3) = 0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali akar persamaan asli adalah $x^2 - x + 3 = 0$. Gampang banget kan? Dengan memahami konsep jumlah dan hasil kali akar, kita bisa dengan leluasa 'memanipulasi' akar-akar persamaan kuadrat.

Trik Cepat untuk Akar Dikali K

Sebenarnya, ada trik cepat nih kalau kita mau akar-akarnya dikali dengan suatu konstanta, katakanlah $k$. Kalau persamaan aslinya $ax^2 + bx + c = 0$ dan akar-akar baru kita adalah $kx_1$ dan $kx_2$, maka persamaan kuadrat barunya bisa langsung didapat dengan mengganti $x$ pada persamaan asli dengan $(x/k)$. Jadi, persamaan barunya adalah $a(x/k)^2 + b(x/k) + c = 0$. Terus kita kaliin deh biar jadi bentuk umum lagi. Untuk kasus kita yang akarnya dikali 2 ($k=2$), kita bisa substitusi $x$ dengan $(x/2)$ ke persamaan asli $4x^2 - 2x + 3 = 0$. Yuk kita coba:

$4(x/2)^2 - 2(x/2) + 3 = 0$ $4(x^2/4) - x + 3 = 0$ $x^2 - x + 3 = 0$

Sama kan hasilnya? Trik ini sangat berguna kalau kalian sering ketemu soal kayak gini. Hemat waktu banget!

b) Akar Baru: Satu Lebih Besar dari Akar Lama

Lanjut ke bagian kedua, guys! Kali ini, kita mau bikin persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya itu satu lebih besar dari akar-akar persamaan kuadrat asli. Jadi, kalau akar asli kita $\alpha$ dan $\beta$, maka akar-akar baru kita, sebut saja $y_1$ dan $y_2$, adalah $y_1 = \alpha + 1$ dan $y_2 = \beta + 1$. Gimana cara nyarinya? Sama seperti sebelumnya, kita hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru.

Pertama, jumlah akar-akar baru: $y_1 + y_2 = (\alpha + 1) + (\beta + 1)$. Kita kumpulin yang sama, jadi $(\alpha + \beta) + 2$. Kita udah tahu $\alpha + \beta = 1/2$. Jadi, jumlah akar baru kita adalah $1/2 + 2 = 1/2 + 4/2 = 5/2$. Udah mulai kebawa kan ritmenya?

Kedua, hasil kali akar-akar baru: $y_1 imes y_2 = (\alpha + 1)(\beta + 1)$. Kalau kita jabarin, ini jadi $\alpha\beta + \alpha + \beta + 1$. Nah, kita punya semua komponennya: $\alpha\beta = 3/4$ dan $\alpha + \beta = 1/2$. Jadi, hasil kali akar baru kita adalah $3/4 + 1/2 + 1$. Biar gampang dijumlahin, kita samain penyebutnya jadi 4: $3/4 + 2/4 + 4/4 = 9/4$. Mantap!

Sekarang, kita siap bikin persamaan kuadrat baru pakai rumus $y^2 - (\text{jumlah akar baru})y + (\text{hasil kali akar baru}) = 0$. Ganti variabelnya jadi $y$ biar beda dari sebelumnya, tapi konsepnya sama aja. Masukin angka-angka yang kita dapat:

$y^2 - (5/2)y + (9/4) = 0$

Biar bentuknya lebih cakep dan nggak ada pecahan, kita bisa kaliin semua suku dengan KPK dari penyebutnya, yaitu 4. Jadi, persamaan kuadrat baru kita adalah:

$4y^2 - 4(5/2)y + 4(9/4) = 0$ $4y^2 - 10y + 9 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya satu lebih besar dari akar persamaan asli adalah $4y^2 - 10y + 9 = 0$. Gimana, guys? Mulai terbiasa kan?

Trik Cepat untuk Akar Ditambah K

Untuk kasus di mana akar-akarnya ditambah konstanta $k$, ada trik cepatnya juga nih. Kalau akar baru kita adalah $x_1+k$ dan $x_2+k$, maka kita bisa substitusi $x$ pada persamaan asli dengan $(x-k)$. Jadi, kalau di soal ini $k=1$, kita substitusi $x$ dengan $(x-1)$ ke persamaan asli $4x^2 - 2x + 3 = 0$. Mari kita buktikan:

$4(x-1)^2 - 2(x-1) + 3 = 0$ $4(x^2 - 2x + 1) - 2x + 2 + 3 = 0$ $4x^2 - 8x + 4 - 2x + 5 = 0$ $4x^2 - 10x + 9 = 0$

Bingo! Hasilnya sama persis dengan cara manual. Trik substitusi $x$ dengan $(x-k)$ ini sangat ampuh untuk soal-soal seperti ini.

c) Akar Baru: Satu Lebih Kecil dari Akar Lama

Nah, kita udah sampai di bagian terakhir nih, guys. Kali ini, kita mau bikin persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya itu satu lebih kecil dari akar-akar persamaan kuadrat asli. Jadi, kalau akar asli kita $\alpha$ dan $\beta$, maka akar-akar baru kita, sebut saja $z_1$ dan $z_2$, adalah $z_1 = \alpha - 1$ dan $z_2 = \beta - 1$. Langsung aja kita eksekusi pakai cara yang sama.

Pertama, jumlah akar-akar baru: $z_1 + z_2 = (\alpha - 1) + (\beta - 1)$. Ini sama dengan $(\alpha + \beta) - 2$. Karena $\alpha + \beta = 1/2$, maka jumlah akar baru kita adalah $1/2 - 2 = 1/2 - 4/2 = -3/2$. Udah mulai terasa dingin ya? :D

Kedua, hasil kali akar-akar baru: $z_1 imes z_2 = (\alpha - 1)(\beta - 1)$. Kalau kita jabarin, hasilnya jadi $\alpha\beta - \alpha - \beta + 1$. Perhatikan baik-baik ya, ini bisa kita tulis sebagai $\alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1$. Kita masukin nilai yang udah ada: $3/4 - (1/2) + 1$. Samain penyebutnya jadi 4: $3/4 - 2/4 + 4/4 = 5/4$. So far so good.

Sekarang, kita susun persamaan kuadrat baru menggunakan rumus $z^2 - (\text{jumlah akar baru})z + (\text{hasil kali akar baru}) = 0$. Masukin angka-angka ajaib kita:

$z^2 - (-3/2)z + (5/4) = 0$ $z^2 + (3/2)z + (5/4) = 0$

Biar lebih cinematic dan nggak ada pecahan, kita kaliin semua suku dengan KPK penyebutnya, yaitu 4:

$4(z^2) + 4(3/2)z + 4(5/4) = 0$ $4z^2 + 6z + 5 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya satu lebih kecil dari akar persamaan asli adalah $4z^2 + 6z + 5 = 0$. Gimana, guys? Udah pada jago kan sekarang?

Trik Cepat untuk Akar Dikurang K

Sama seperti sebelumnya, kalau akar-akar baru kita adalah $x_1-k$ dan $x_2-k$, maka kita bisa substitusi $x$ pada persamaan asli dengan $(x+k)$. Di soal ini, $k=1$. Jadi, kita substitusi $x$ dengan $(x+1)$ ke persamaan asli $4x^2 - 2x + 3 = 0$. Yuk, kita buktiin lagi:

$4(x+1)^2 - 2(x+1) + 3 = 0$ $4(x^2 + 2x + 1) - 2x - 2 + 3 = 0$ $4x^2 + 8x + 4 - 2x + 1 = 0$ $4x^2 + 6x + 5 = 0$

Boom! Hasilnya sama persis. Trik substitusi $x$ dengan $(x+k)$ ini works like a charm untuk kasus akar dikurang $k$.

Kesimpulan

Jadi, guys, kita udah belajar banyak nih hari ini. Kita bisa bikin persamaan kuadrat baru dari persamaan kuadrat yang udah ada dengan cara memanipulasi akar-akarnya. Kuncinya ada di pemahaman konsep jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat. Nggak cuma itu, kita juga dikasih cheat codes berupa trik substitusi variabel $x$ yang bikin pengerjaan jadi super cepat dan efisien.

Ingat ya, kalau akar baru $x'$ adalah hasil operasi tertentu dari akar lama $x$, kita bisa mencari hubungan antara $x'$ dan $x$. Dari hubungan itu, kita bisa dapatkan substitusi yang tepat untuk $x$ dalam bentuk $x'$.

• Untuk akar baru $kx$: substitusi $x ightarrow x/k$
• Untuk akar baru $x+k$: substitusi $x ightarrow x-k$
• Untuk akar baru $x-k$: substitusi $x ightarrow x+k$

Dengan menguasai trik-trik ini, kalian nggak akan takut lagi ketemu soal-soal persamaan kuadrat yang kelihatannya rumit. Terus berlatih ya, guys, karena matematika itu paling asyik kalau udah terbiasa. Sampai jumpa di pembahasan matematika seru lainnya!