Yuk, Bedah Soal Matematika: Persamaan Eksponen!

Guys, kali ini kita akan membahas soal matematika yang seru banget, yaitu tentang persamaan eksponen! Kita akan menyelesaikan dua soal yang cukup menantang. Tapi tenang, kita akan bahas dengan santai dan mudah dipahami, kok. Jadi, siap-siap ya untuk belajar bareng!

A. Menentukan Nilai $x_1 - 2x_2$

Soal pertama meminta kita untuk menentukan nilai $x_1 - 2x_2$ dari persamaan eksponen $3^{x^2+x-2} = 81^{x+2}$. Nah, langkah pertama yang harus kita lakukan adalah menyederhanakan persamaan ini. Tujuannya adalah membuat kedua ruas persamaan memiliki basis yang sama. Kita tahu bahwa 81 adalah hasil dari $3^4$, sehingga kita bisa mengubah persamaan menjadi:

$3^{x^2+x-2} = (3^4)^{x+2}$

Dengan menggunakan sifat eksponen, yaitu $(a^m)^n = a^{m imes n}$, persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

$3^{x^2+x-2} = 3^{4(x+2)}$

Karena kedua ruas persamaan sudah memiliki basis yang sama, yaitu 3, kita bisa menyamakan pangkatnya. Jadi, kita peroleh persamaan kuadrat:

$x^2 + x - 2 = 4(x + 2)$

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat ini. Pertama, kita kembangkan ruas kanan:

$x^2 + x - 2 = 4x + 8$

Kemudian, kita pindahkan semua suku ke ruas kiri agar ruas kanan menjadi nol:

$x^2 + x - 2 - 4x - 8 = 0$

Sederhanakan persamaan tersebut:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Nah, sekarang kita punya persamaan kuadrat yang lebih sederhana. Kita bisa mencari solusi persamaan ini dengan memfaktorkannya. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -10 dan jika dijumlahkan hasilnya -3. Dua bilangan itu adalah -5 dan 2. Jadi, persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan menjadi:

$(x - 5)(x + 2) = 0$

Dari sini, kita peroleh dua solusi untuk x, yaitu:

$x_1 = 5$ atau $x_2 = -2$

Karena soal mengatakan $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 5$ dan $x_2 = -2$.

Selanjutnya, kita akan mencari nilai $x_1 - 2x_2$. Kita substitusikan nilai $x_1$ dan $x_2$ yang sudah kita dapatkan:

$x_1 - 2x_2 = 5 - 2(-2)$

$x_1 - 2x_2 = 5 + 4$

$x_1 - 2x_2 = 9$

Jadi, nilai $x_1 - 2x_2$ adalah 9. Seru kan?

Mari kita review lagi langkah-langkahnya: Pertama, kita menyamakan basis kedua ruas persamaan eksponen. Kedua, kita menyamakan pangkatnya untuk mendapatkan persamaan kuadrat. Ketiga, kita menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk mendapatkan nilai x. Keempat, kita substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang diminta. Gampang, kan?

B. Menentukan Nilai $2x_1 - x_2$

Sekarang, kita beralih ke soal kedua. Kali ini, kita akan menentukan nilai $2x_1 - x_2$ dari persamaan eksponen $5^{x^2+3x-2} = 25^{2x-4}$. Sama seperti sebelumnya, langkah pertama adalah menyederhanakan persamaan dengan membuat basis kedua ruas sama. Kita tahu bahwa 25 adalah hasil dari $5^2$, sehingga kita bisa mengubah persamaan menjadi:

$5^{x^2+3x-2} = (5^2)^{2x-4}$

Dengan menggunakan sifat eksponen, kita sederhanakan menjadi:

$5^{x^2+3x-2} = 5^{2(2x-4)}$

Karena basis kedua ruas sudah sama, kita bisa menyamakan pangkatnya:

$x^2 + 3x - 2 = 2(2x - 4)$

Selanjutnya, kita selesaikan persamaan kuadrat ini. Kita kembangkan ruas kanan:

$x^2 + 3x - 2 = 4x - 8$

Kemudian, pindahkan semua suku ke ruas kiri:

$x^2 + 3x - 2 - 4x + 8 = 0$

Sederhanakan:

$x^2 - x + 6 = 0$

Nah, sekarang kita punya persamaan kuadrat $x^2 - x + 6 = 0$. Mari kita coba faktorkan. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 6 dan jika dijumlahkan hasilnya -1. Namun, kita tidak akan menemukan dua bilangan bulat yang memenuhi kondisi ini. Berarti, persamaan kuadrat ini tidak dapat difaktorkan secara langsung.

Lalu, bagaimana cara menyelesaikannya? Kita bisa menggunakan rumus abc (rumus kuadrat) untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumus abc adalah:

x = rac{-b extpm ext{√}(b^2 - 4ac)}{2a}

Dalam persamaan $x^2 - x + 6 = 0$, nilai a = 1, b = -1, dan c = 6. Kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus abc:

x = rac{-(-1) extpm ext{√}((-1)^2 - 4(1)(6))}{2(1)}

x = rac{1 extpm ext{√}(1 - 24)}{2}

x = rac{1 extpm ext{√}(-23)}{2}

Perhatikan bahwa di dalam akar terdapat bilangan negatif. Ini berarti akar-akar persamaan kuadrat ini adalah bilangan kompleks. Namun, karena soal hanya meminta kita mencari nilai $2x_1 - x_2$ tanpa mempermasalahkan jenis bilangannya, kita tetap bisa melanjutkan perhitungan.

Karena soal menyebutkan $x_1 < x_2$, kita anggap x_1 = rac{1 - ext{√}(-23)}{2} dan x_2 = rac{1 + ext{√}(-23)}{2}.

Sekarang, kita akan mencari nilai $2x_1 - x_2$:

2x_1 - x_2 = 2rac{(1 - ext{√}(-23))}{2} - rac{(1 + ext{√}(-23))}{2}

2x_1 - x_2 = (1 - ext{√}(-23)) - rac{(1 + ext{√}(-23))}{2}

2x_1 - x_2 = 1 - ext{√}(-23) - rac{1}{2} - rac{ ext{√}(-23)}{2}

2x_1 - x_2 = rac{1}{2} - rac{3}{2} ext{√}(-23)

Oleh karena akar-akar yang didapatkan merupakan bilangan kompleks, hasil akhirnya juga akan berupa bilangan kompleks.

Kesimpulan dan Tips

Guys, dari pembahasan di atas, kita bisa menarik beberapa kesimpulan penting:

• Persamaan Eksponen: Kunci utama dalam menyelesaikan soal persamaan eksponen adalah menyamakan basis kedua ruas. Setelah basis sama, kita bisa menyamakan pangkatnya.
• Persamaan Kuadrat: Setelah mendapatkan persamaan kuadrat, kita bisa menyelesaikannya dengan memfaktorkan (jika memungkinkan) atau menggunakan rumus abc.
• Bilangan Kompleks: Jangan takut jika menemukan akar-akar bilangan kompleks. Tetap ikuti langkah-langkah yang ada, dan selesaikan perhitungan sesuai dengan yang diminta soal.

Tips untuk menghadapi soal-soal seperti ini:

1. Perhatikan Basis: Selalu perhatikan basis pada persamaan eksponen. Cari cara untuk menyamakan basis tersebut.
2. Kuadrat: Kuasai cara menyelesaikan persamaan kuadrat, baik dengan faktorisasi maupun menggunakan rumus abc.
3. Latihan: Perbanyak latihan soal untuk mengasah kemampuanmu. Semakin banyak latihan, semakin mudah kamu memahami konsep-konsep yang ada.
4. Teliti: Perhatikan detail soal. Pastikan kamu memahami apa yang diminta soal, dan jangan terburu-buru dalam mengerjakan.

Semoga pembahasan ini bermanfaat, ya! Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain dan teruslah berlatih. Selamat belajar!