Turunan Pertama Fungsi F(x) = 6√x - 4x: Cara & Contoh
Hey guys! Kali ini kita akan membahas tentang cara menentukan turunan pertama dari suatu fungsi. Topik ini penting banget dalam kalkulus dan sering muncul dalam berbagai soal. Jadi, yuk kita bahas tuntas!
Pengantar tentang Turunan
Sebelum kita masuk ke soal spesifik, penting untuk memahami apa itu turunan. Secara sederhana, turunan suatu fungsi di suatu titik menggambarkan laju perubahan sesaat fungsi tersebut di titik tersebut. Atau, bisa dibilang turunan adalah kemiringan garis singgung pada kurva fungsi di titik tersebut.
Konsep turunan ini punya banyak aplikasi praktis, lho! Misalnya, dalam fisika, turunan posisi terhadap waktu adalah kecepatan. Dalam ekonomi, turunan biaya terhadap kuantitas produksi bisa menunjukkan biaya marjinal. Keren, kan?
Untuk menentukan turunan, kita menggunakan berbagai aturan diferensiasi. Beberapa aturan dasar yang perlu diingat antara lain:
- Aturan Pangkat: Jika f(x) = xⁿ, maka f'(x) = nxⁿ⁻¹
- Aturan Konstanta: Jika f(x) = c (konstanta), maka f'(x) = 0
- Aturan Kelipatan Konstanta: Jika f(x) = cf(x), maka f'(x) = cf'(x)
- Aturan Penjumlahan/Pengurangan: Jika h(x) = f(x) ± g(x), maka h'(x) = f'(x) ± g'(x)
Dengan memahami aturan-aturan ini, kita bisa mulai mencari turunan dari fungsi yang lebih kompleks. Sekarang, mari kita fokus pada soal kita!
Soal: Menentukan Turunan Pertama f(x) = 6√x - 4x
Soal kita adalah mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = 6√x - 4x pada interval [0, 4]. Ini berarti kita perlu menemukan fungsi f'(x), yang merupakan turunan dari f(x).
Langkah 1: Ubah Bentuk Akar Menjadi Pangkat
Langkah pertama adalah mengubah bentuk akar kuadrat (√x) menjadi bentuk pangkat. Kita tahu bahwa √x sama dengan x¹/². Jadi, kita bisa menulis ulang fungsi f(x) sebagai:
f(x) = 6x¹/² - 4x
Mengubah bentuk akar menjadi pangkat akan memudahkan kita dalam menerapkan aturan pangkat nantinya.
Langkah 2: Terapkan Aturan Turunan
Sekarang, kita akan menerapkan aturan turunan pada setiap suku dalam fungsi. Ingat aturan-aturan dasar yang sudah kita bahas sebelumnya. Kita akan menggunakan aturan pangkat, aturan kelipatan konstanta, dan aturan pengurangan.
- Turunan dari 6x¹/²:
- Kita gunakan aturan kelipatan konstanta dan aturan pangkat.
- Turunannya adalah 6 * (1/2)x(¹/²⁻¹) = 3x⁻¹/²
- Turunan dari -4x:
- Kita gunakan aturan kelipatan konstanta dan aturan pangkat.
- Turunannya adalah -4 * 1x(¹⁻¹) = -4
Langkah 3: Gabungkan Turunan
Setelah kita mendapatkan turunan dari masing-masing suku, kita gabungkan hasilnya untuk mendapatkan turunan pertama fungsi f(x):
f'(x) = 3x⁻¹/² - 4
Langkah 4: Ubah Kembali ke Bentuk Akar (Opsional)
Kita bisa mengubah kembali bentuk pangkat negatif dan pecahan menjadi bentuk akar untuk menyederhanakan tampilan. Ingat bahwa x⁻¹/² sama dengan 1/√x. Jadi, kita bisa menulis ulang f'(x) sebagai:
f'(x) = 3/(√x) - 4
Ini adalah turunan pertama dari fungsi f(x) = 6√x - 4x.
Analisis Turunan pada Interval [0, 4]
Sekarang kita sudah mendapatkan f'(x), kita bisa menganalisis perilaku fungsi turunan ini pada interval yang diberikan, yaitu [0, 4]. Interval ini penting karena memberitahu kita batas nilai x yang ingin kita perhatikan.
Masalah di x = 0
Perhatikan bahwa turunan kita, f'(x) = 3/(√x) - 4, memiliki akar kuadrat di penyebut. Ini berarti fungsi turunan tidak terdefinisi ketika x = 0, karena kita tidak bisa membagi dengan nol. Jadi, x = 0 adalah titik kritis yang perlu kita perhatikan.
Mencari Titik Kritis Lain
Titik kritis adalah titik-titik di mana turunan sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Kita sudah tahu bahwa f'(x) tidak terdefinisi di x = 0. Sekarang, mari kita cari di mana f'(x) = 0:
3/(√x) - 4 = 0
Tambahkan 4 ke kedua sisi:
3/(√x) = 4
Kalikan kedua sisi dengan √x:
3 = 4√x
Bagi kedua sisi dengan 4:
3/4 = √x
Kuadratkan kedua sisi:
(3/4)² = x
x = 9/16
Jadi, kita punya dua titik kritis: x = 0 dan x = 9/16.
Analisis Interval
Sekarang kita akan menganalisis tanda dari f'(x) pada interval [0, 4] di sekitar titik-titik kritis ini. Kita akan membagi interval menjadi dua sub-interval:
- (0, 9/16)
- (9/16, 4]
Kita pilih titik uji di setiap interval untuk menentukan tanda f'(x):
- Interval (0, 9/16): Pilih x = 1/16 (antara 0 dan 9/16)
- f'(1/16) = 3/(√(1/16)) - 4 = 3/(1/4) - 4 = 12 - 4 = 8 > 0
- Jadi, f'(x) positif pada interval ini.
- Interval (9/16, 4]: Pilih x = 1 (antara 9/16 dan 4)
- f'(1) = 3/(√1) - 4 = 3 - 4 = -1 < 0
- Jadi, f'(x) negatif pada interval ini.
Kesimpulan Analisis
Dari analisis ini, kita bisa menyimpulkan:
- Pada interval (0, 9/16), f'(x) > 0, yang berarti f(x) naik.
- Pada interval (9/16, 4], f'(x) < 0, yang berarti f(x) turun.
- Di x = 9/16, f'(x) = 0, yang berarti ini adalah titik maksimum lokal.
Kesimpulan
Nah, guys, kita sudah berhasil menentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 6√x - 4x, yaitu f'(x) = 3/(√x) - 4. Kita juga sudah menganalisis perilaku fungsi turunan ini pada interval [0, 4] dan menemukan titik kritis serta interval di mana fungsi naik dan turun.
Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami konsep turunan dan cara penerapannya dalam soal-soal kalkulus. Jangan ragu untuk bertanya jika ada yang masih belum jelas, ya! Semangat terus belajarnya! 😉