Transformasi Geometri: Rotasi Dan Translasi Segitiga FGH

by ADMIN 57 views

Hai guys! Kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup seru, yaitu tentang transformasi geometri khususnya rotasi dan translasi pada segitiga. Soalnya seperti ini nih: Diketahui segitiga FGH dengan titik F(-5, 2), G(3, 6), dan H(-4, 5). Jika segitiga tersebut dirotasikan 90° searah jarum jam dengan pusat (0, 0) dan dilanjutkan dengan translasi T = [-3, 5], tentukan bayangannya! Tenang, jangan panik dulu ya. Kita akan bedah soal ini sampai tuntas, lengkap dengan langkah-langkah yang mudah dipahami.

Memahami Konsep Rotasi dan Translasi

Sebelum kita mulai, yuk kita refresh lagi pemahaman kita tentang rotasi dan translasi. Ini penting banget biar kita nggak bingung di tengah jalan.

  • Rotasi: Rotasi itu sederhananya adalah memutar suatu objek (dalam hal ini segitiga) pada titik tertentu. Dalam soal ini, pusat rotasinya adalah titik (0, 0) dan sudut rotasinya adalah 90° searah jarum jam. Ingat, kalau rotasi searah jarum jam, berarti sudutnya negatif. Jadi, sebenarnya kita berputar sebesar -90°.
  • Translasi: Translasi itu pergeseran atau pemindahan suatu objek tanpa mengubah bentuk dan ukurannya. Dalam soal ini, kita akan menggeser segitiga yang sudah dirotasi sejauh -3 satuan pada sumbu x dan 5 satuan pada sumbu y. Nah, translasi ini seringkali dinyatakan dalam bentuk matriks kolom, seperti yang ada di soal.

Rumus Penting untuk Rotasi

Untuk melakukan rotasi, kita perlu menggunakan rumus berikut:

Jika titik P(x, y) dirotasikan sebesar α dengan pusat (0, 0), maka bayangannya P'(x', y') dapat dihitung dengan:

x' = x cos α - y sin α y' = x sin α + y cos α

Karena kita melakukan rotasi sebesar -90°, maka:

x' = x cos(-90°) - y sin(-90°) y' = x sin(-90°) + y cos(-90°)

Kita tahu bahwa cos(-90°) = 0, sin(-90°) = -1. Jadi, rumusnya menjadi:

x' = 0 - y(-1) = y y' = x(-1) + 0 = -x

Rumus Penting untuk Translasi

Untuk translasi, rumusnya lebih sederhana. Jika titik P(x, y) ditranslasi oleh T = [a, b], maka bayangannya P'(x', y') adalah:

x' = x + a y' = y + b

Langkah-Langkah Mengerjakan Soal

Oke, sekarang kita masuk ke inti dari pembahasan kita. Mari kita kerjakan soal ini langkah demi langkah, biar makin paham!

1. Rotasi Titik F(-5, 2)

  • Gunakan rumus rotasi yang sudah kita dapatkan: x' = y dan y' = -x.
  • Substitusikan nilai x = -5 dan y = 2 ke dalam rumus tersebut.
  • x' = 2
  • y' = -(-5) = 5
  • Jadi, bayangan titik F setelah dirotasi adalah F'(2, 5).

2. Rotasi Titik G(3, 6)

  • Gunakan rumus yang sama.
  • Substitusikan x = 3 dan y = 6.
  • x' = 6
  • y' = -3
  • Jadi, bayangan titik G setelah dirotasi adalah G'(6, -3).

3. Rotasi Titik H(-4, 5)

  • Gunakan rumus lagi.
  • Substitusikan x = -4 dan y = 5.
  • x' = 5
  • y' = -(-4) = 4
  • Jadi, bayangan titik H setelah dirotasi adalah H'(5, 4).

4. Translasi Titik F'(2, 5) oleh T = [-3, 5]

  • Gunakan rumus translasi: x' = x + a dan y' = y + b.
  • Substitusikan x = 2, y = 5, a = -3, dan b = 5.
  • x' = 2 + (-3) = -1
  • y' = 5 + 5 = 10
  • Jadi, bayangan akhir titik F adalah F''(-1, 10).

5. Translasi Titik G'(6, -3) oleh T = [-3, 5]

  • Gunakan rumus translasi.
  • Substitusikan x = 6, y = -3, a = -3, dan b = 5.
  • x' = 6 + (-3) = 3
  • y' = -3 + 5 = 2
  • Jadi, bayangan akhir titik G adalah G''(3, 2).

6. Translasi Titik H'(5, 4) oleh T = [-3, 5]

  • Gunakan rumus translasi.
  • Substitusikan x = 5, y = 4, a = -3, dan b = 5.
  • x' = 5 + (-3) = 2
  • y' = 4 + 5 = 9
  • Jadi, bayangan akhir titik H adalah H''(2, 9).

Kesimpulan

Nah, akhirnya selesai juga! Jadi, bayangan segitiga FGH setelah dirotasi 90° searah jarum jam dengan pusat (0, 0) dan dilanjutkan dengan translasi T = [-3, 5] adalah F''(-1, 10), G''(3, 2), dan H''(2, 9). Gampang kan?

Tips: Untuk mempermudah perhitungan, kalian bisa menggambar segitiga dan bayangannya pada bidang kartesius. Ini akan membantu kalian memvisualisasikan perubahan posisi titik-titik tersebut.

Ringkasan Materi: Rotasi dan Translasi

Dalam transformasi geometri, rotasi dan translasi adalah dua konsep penting yang sering muncul dalam soal-soal matematika. Rotasi melibatkan pemutaran objek, sedangkan translasi melibatkan pergeseran objek tanpa mengubah bentuk dan ukurannya. Memahami kedua konsep ini sangat penting untuk menyelesaikan soal-soal transformasi geometri dengan mudah. Mari kita rangkum poin-poin penting yang perlu diingat:

  • Rotasi:

    • Pusat Rotasi: Titik acuan tempat objek diputar.
    • Sudut Rotasi: Besar sudut putaran objek.
    • Arah Rotasi: Searah jarum jam (sudut negatif) atau berlawanan arah jarum jam (sudut positif).
    • Rumus Umum (Pusat (0,0) ): Jika titik P(x, y) dirotasi sebesar α dengan pusat (0, 0), maka bayangannya P'(x', y') dapat dihitung dengan: x' = x cos α - y sin α, y' = x sin α + y cos α.

  • Translasi:

    • Vektor Translasi: Menentukan arah dan besar pergeseran.
    • Rumus: Jika titik P(x, y) ditranslasi oleh T = [a, b], maka bayangannya P'(x', y') adalah: x' = x + a, y' = y + b.

Contoh Soal Tambahan (Latihan)

Untuk lebih memantapkan pemahaman kalian, coba kerjakan soal latihan berikut:

Soal: Diketahui titik A(1, 2), B(3, 1), dan C(4, 3). Tentukan bayangan segitiga ABC setelah dirotasi 180° dengan pusat (0, 0) dan dilanjutkan dengan translasi T = [2, -1]!

Pembahasan:

  1. Rotasi 180°: Rumus rotasi 180° dengan pusat (0, 0) adalah x' = -x dan y' = -y.

    • A'(x', y') = (-1, -2)
    • B'(x', y') = (-3, -1)
    • C'(x', y') = (-4, -3)

  2. Translasi T = [2, -1]: Rumus translasi x' = x + 2 dan y' = y - 1.

    • A''(x'', y'') = (-1 + 2, -2 - 1) = (1, -3)
    • B''(x'', y'') = (-3 + 2, -1 - 1) = (-1, -2)
    • C''(x'', y'') = (-4 + 2, -3 - 1) = (-2, -4)

Jawaban: Bayangan segitiga ABC adalah A''(1, -3), B''(-1, -2), dan C''(-2, -4).

Tips Tambahan untuk Menguasai Transformasi Geometri

  • Latihan Soal: Semakin banyak kalian berlatih, semakin mudah kalian memahami konsep-konsep transformasi geometri. Jangan ragu untuk mencari soal-soal latihan dari berbagai sumber.
  • Pahami Konsep Dasar: Pastikan kalian memahami konsep dasar rotasi, translasi, refleksi (pencerminan), dan dilatasi (perbesaran/pengecilan). Jika kalian memahami konsep dasarnya, mengerjakan soal akan terasa lebih mudah.
  • Gunakan Visualisasi: Gambarlah objek dan bayangannya pada bidang kartesius. Ini akan membantu kalian memvisualisasikan perubahan posisi objek setelah transformasi.
  • Buat Catatan: Buatlah catatan ringkas tentang rumus-rumus penting dan langkah-langkah pengerjaan soal. Catatan ini akan sangat berguna saat kalian mengerjakan soal ujian.
  • Jangan Takut Bertanya: Jika kalian merasa kesulitan atau tidak mengerti, jangan ragu untuk bertanya kepada guru, teman, atau mencari sumber belajar lainnya.

Dengan memahami konsep rotasi dan translasi serta berlatih mengerjakan soal-soal, kalian akan semakin mahir dalam menyelesaikan soal transformasi geometri. Semangat belajar, guys! Semoga sukses!