Transformasi Fungsi Kuadrat: Cerminan, Matriks, Rotasi

Halo, guys! Kali ini kita bakal ngebahas soal matematika yang seru banget, yaitu transformasi geometri pada fungsi kuadrat. Kita akan mulai dengan fungsi awal kita, yaitu y = -x^2 + 2x - 15. Siap-siap ya, karena kita akan melakukan serangkaian transformasi yang bakal bikin fungsi ini berpindah tempat dan berubah bentuk!

Cerminan terhadap Garis y = x: Membalik Posisi

Langkah pertama kita adalah mencerminkan fungsi y = -x^2 + 2x - 15 terhadap garis y = x. Ingat, guys, mencerminkan sebuah titik (x, y) terhadap garis y = x itu artinya kita menukar posisi x dan y, jadi bayangannya menjadi (y, x). Nah, untuk fungsi, kita bisa menerapkan prinsip yang sama. Kita akan mengganti setiap x dengan y dan setiap y dengan x dalam persamaan awal kita.

Jadi, persamaan y = -x^2 + 2x - 15 akan berubah menjadi x = -y^2 + 2y - 15. Tapi, ini belum selesai, guys. Kita kan maunya bentuk y = ... lagi, biar gampang dibaca. Jadi, kita perlu mengubah persamaan ini agar y sendirian di satu sisi. Ini memang agak PR sedikit, tapi kita bisa kok!

Kita pindahkan semua suku yang mengandung y ke satu sisi dan suku lainnya ke sisi lain. Persamaan x = -y^2 + 2y - 15 bisa kita susun ulang menjadi y^2 - 2y = x + 15. Nah, biar bentuknya jadi kuadrat sempurna, kita bisa menambahkan (b/2a)^2 pada kedua sisi. Di sini, koefisien y adalah -2, jadi kita tambahkan (-2/2)^2 = (-1)^2 = 1.

Jadi, y^2 - 2y + 1 = x + 15 + 1, yang hasilnya adalah (y - 1)^2 = x + 16. Kalau kita mau isolasi y, kita bisa ambil akar kuadratnya: y - 1 = ±√(x + 16). Terakhir, pindahkan 1 ke sisi kanan, sehingga kita dapatkan bayangan fungsi setelah dicerminkan terhadap y = x adalah y = 1 ± √(x + 16). Agak berbeda ya dari bentuk awal, tapi ini baru permulaan!

Dilanjutkan Matriks: Perubahan Skala dan Pergeseran

Setelah dicerminkan, sekarang kita akan menerapkan transformasi matriks. Matriks yang diberikan adalah [[2, -1], [1, 1]]. Matriks transformasi ini akan memengaruhi koordinat (x, y) dari bayangan fungsi kita sebelumnya. Ingat, guys, perkalian matriks bekerja seperti ini:

[x']   [a b] [x]
[y'] = [c d] [y]

Dalam kasus kita, x' dan y' adalah koordinat bayangan setelah transformasi matriks. Nah, bayangan fungsi kita sebelumnya kan adalah y = 1 ± √(x + 16). Ini agak tricky kalau langsung diterapkan ke matriks, karena ini bukan bentuk (x, y) yang eksplisit. Tapi, kita bisa gunakan cara lain. Kita bisa anggap transformasi matriks ini bekerja pada titik-titik (x, y) yang memenuhi y = 1 ± √(x + 16).

Cara yang lebih umum adalah dengan menganggap titik (x, y) ditransformasikan oleh matriks M = [[2, -1], [1, 1]] menjadi (x', y'). Jadi:

[x']   [2 -1] [x]
[y'] = [1  1] [y]

Ini berarti: x' = 2x - y y' = x + y

Untuk menerapkan ini pada fungsi, kita perlu mencari invers dari matriks M. Determinan dari M adalah (2 * 1) - (-1 * 1) = 2 + 1 = 3. Invers dari M, yaitu M^-1, adalah:

M^-1 = 1/3 * [[1, 1], [-1, 2]] = [[1/3, 1/3], [-1/3, 2/3]]

Sekarang, kita punya:

[x]   [1/3  1/3] [x']
[y] = [-1/3 2/3] [y']

Ini berarti: x = (1/3)x' + (1/3)y' y = (-1/3)x' + (2/3)y'

Kita substitusikan x dan y ini ke dalam persamaan bayangan setelah cerminan, yaitu x = -y^2 + 2y - 15 (lebih mudah pakai bentuk implisit):

((1/3)x' + (1/3)y') = -((-1/3)x' + (2/3)y')^2 + 2((-1/3)x' + (2/3)y') - 15

Ini bakal jadi persamaan yang rumit banget kalau kita jabarkan semua. Tapi, intinya adalah matriks ini melakukan kombinasi linier pada koordinat, yang bisa menyebabkan perubahan skala dan pergeseran pada fungsi kita.

Untuk mempermudah, mari kita lihat efeknya pada sumbu. Jika kita punya titik (x, y), setelah transformasi matriks ini, titik tersebut menjadi (2x - y, x + y). Ini berarti sumbu-sumbu koordinat kita akan terputar dan terdistorsi. Jadi, bayangan fungsi kita yang tadinya y = 1 ± √(x + 16) akan berubah bentuknya secara signifikan setelah diterapkan transformasi matriks ini. Persamaan eksplisit y' dalam x' akan menjadi sangat kompleks, tapi kita bisa bayangkan bentuknya akan terdeformasi.

Dilanjutkan Rotasi (0, 180 derajat): Memutar Balik

Tahap terakhir adalah rotasi sejauh 180 derajat terhadap titik asal (0,0). Guys, rotasi 180 derajat itu istimewa, karena ia membalik posisi titik terhadap titik pusat. Artinya, bayangan dari titik (x, y) setelah rotasi 180 derajat adalah (-x, -y). Ini seperti memutar objek setengah lingkaran.

Jadi, jika kita punya titik (x_baru, y_baru) setelah transformasi matriks, maka bayangannya setelah rotasi 180 derajat, sebut saja (x'', y''), adalah:

x'' = -x_baru y'' = -y_baru

Ini berarti x_baru = -x'' dan y_baru = -y''. Kita perlu mensubstitusikan nilai x_baru dan y_baru ini ke dalam persamaan yang kita dapatkan setelah transformasi matriks. Ingat, persamaan setelah transformasi matriks itu sangat kompleks jika kita mencoba menuliskannya dalam bentuk y = f(x).

Namun, jika kita menggunakan persamaan implisit x = -y^2 + 2y - 15 sebelum transformasi matriks, lalu kita terapkan invers matriks untuk mendapatkan x dan y dalam x' dan y', kemudian kita terapkan rotasi x'' = -x', y'' = -y' (atau x' = -x'', y' = -y''), kita bisa mendapatkan persamaan akhir.

Mari kita gabungkan rotasi 180 derajat dengan transformasi matriks. Rotasi 180 derajat terhadap titik asal (0,0) memiliki matriks rotasi R = [[-1, 0], [0, -1]].

Jadi, transformasi gabungannya adalah matriks R dikalikan dengan matriks M (urutan penting, tapi biasanya transformasi diterapkan dari kanan ke kiri). Jika kita menganggap transformasi matriks M bekerja pada (x,y) menjadi (x',y'), dan rotasi R bekerja pada (x',y') menjadi (x'',y''), maka:

[x'']   [-1 0] [2 -1] [x]
[y''] = [0 -1] [1  1] [y]

Jadi, matriks transformasi gabungannya adalah:

[2 -1] [-1 0] = [-2  1]
[1  1] [0 -1]   [-1 -1]

*Koreksi: Urutan perkalian matriks biasanya dari kanan ke kiri untuk transformasi berurutan pada titik (x,y). Jadi, jika M diterapkan terlebih dahulu, lalu R:

[x'']   [-1 0] [2 -1] [x]   [-2  1] [x]
[y''] = [0 -1] [1  1] [y] = [-1 -1] [y]

Ini berarti x'' = -2x + y dan y'' = -x - y.

Untuk mendapatkan persamaan akhir dalam bentuk x'' dan y'', kita perlu mencari invers dari matriks gabungan ini. Determinan matriks gabungan [[-2, 1], [-1, -1]] adalah (-2 * -1) - (1 * -1) = 2 + 1 = 3.

Invers matriks gabungan adalah:

1/3 * [[-1, -1], [1, -2]] = [[-1/3, -1/3], [1/3, -2/3]]

Jadi:

[x]   [-1/3  -1/3] [x'']
[y] = [1/3  -2/3] [y'']

x = (-1/3)x'' + (-1/3)y'' y = (1/3)x'' + (-2/3)y''

Sekarang, kita substitusikan x dan y ini ke dalam persamaan awal y = -x^2 + 2x - 15:

(1/3)x'' + (-2/3)y'' = -(((-1/3)x'' + (-1/3)y''))^2 + 2((1/3)x'' + (-2/3)y'') - 15

Ini masih akan menghasilkan persamaan yang kompleks. Namun, jika kita melihat efek rotasi 180 derajat pada y = 1 ± √(x + 16) setelah transformasi matriks, rotasi 180 derajat akan mengubah x menjadi -x dan y menjadi -y.

Jadi, jika bayangan setelah matriks adalah y_matriks = f(x_matriks), maka setelah rotasi 180 derajat, kita substitusikan x_matriks = -x'' dan y_matriks = -y'':

-y'' = f(-x'') Atau y'' = -f(-x'').

Ini menunjukkan bahwa rotasi 180 derajat membalikkan kedua sumbu. Jadi, setiap perubahan yang terjadi akibat cerminan dan matriks akan diputar balik dan dibalik lagi. Hasil akhirnya adalah sebuah fungsi kuadrat yang posisinya sudah berubah jauh dari bentuk aslinya, guys. Perhitungan eksplisit persamaan akhirnya memang membutuhkan ketelitian tinggi dalam aljabar, tapi intinya adalah setiap transformasi ini mengubah bentuk dan posisi fungsi kita secara sistematis.