Suku Tengah Barisan Geometri: Cara Menghitungnya!
Guys, pernah nggak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin kepala pusing? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas soal barisan geometri, khususnya cara mencari suku tengahnya. Soal ini sering banget muncul di ujian, jadi penting banget buat kita kuasai. Yuk, langsung aja kita bahas!
Memahami Barisan Geometri
Sebelum kita masuk ke soal, kitaRefresh dulu yuk konsep dasar barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan bilangan di mana setiap suku diperoleh dari suku sebelumnya dengan dikalikan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Misalnya, 2, 4, 8, 16 adalah barisan geometri dengan rasio 2. Setiap suku didapatkan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Jadi, 2 dikali 2 sama dengan 4, 4 dikali 2 sama dengan 8, dan seterusnya.
Rumus umum suku ke-n pada barisan geometri adalah:
Un = a * r^(n-1)
di mana:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- r adalah rasio
- n adalah nomor suku
Penting banget buat kalian pahami rumus ini, karena akan sering kita gunakan dalam menyelesaikan soal-soal barisan geometri. Jangan lupa, rasio (r) itu adalah faktor pengali antara suku-suku yang berurutan. Kalau rasionya lebih besar dari 1, berarti barisannya makin lama makin besar. Sebaliknya, kalau rasionya antara 0 dan 1, berarti barisannya makin lama makin kecil. Selain itu, rasio juga bisa negatif, tapi dalam soal ini kita hanya membahas rasio positif.
Analisis Soal Barisan Geometri
Sekarang, mari kita bedah soal yang diberikan. Diketahui ada tiga bilangan yang membentuk barisan geometri dengan rasio positif. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 19, dan selisih antara bilangan terbesar dan terkecil adalah 5. Tugas kita adalah mencari suku tengah dari barisan tersebut.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan untuk membuat persamaan. Misalkan tiga bilangan tersebut adalah a/r, a, dan ar, di mana 'a' adalah suku tengah dan 'r' adalah rasio. Kenapa kita memilih bentuk ini? Karena dengan bentuk ini, perkalian ketiga bilangan akan menjadi a^3, yang memudahkan kita dalam mencari nilai 'a'.
Dari informasi yang diberikan, kita punya dua persamaan:
- a/r + a + ar = 19 (jumlah ketiga bilangan adalah 19)
- ar - a/r = 5 (selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 5)
Kita akan menggunakan kedua persamaan ini untuk mencari nilai 'a', yang merupakan suku tengah dari barisan geometri tersebut. Langkah pertama adalah memanipulasi persamaan tersebut agar kita bisa mendapatkan nilai 'a'.
Strategi Pemecahan Soal
Langkah pertama dalam menyelesaikan soal ini adalah memanipulasi kedua persamaan yang kita punya. Persamaan pertama adalah a/r + a + ar = 19. Kita bisa faktorkan 'a' dari persamaan ini, sehingga menjadi a(1/r + 1 + r) = 19. Persamaan kedua adalah ar - a/r = 5. Kita juga bisa faktorkan 'a' dari persamaan ini, sehingga menjadi a(r - 1/r) = 5.
Selanjutnya, kita akan mencoba mencari hubungan antara kedua persamaan ini. Kita bisa bagi persamaan pertama dengan persamaan kedua:
[a(1/r + 1 + r)] / [a(r - 1/r)] = 19/5
'a' di kedua sisi persamaan bisa dicoret, sehingga kita mendapatkan:
(1/r + 1 + r) / (r - 1/r) = 19/5
Sekarang, kita punya persamaan yang hanya melibatkan 'r'. Tujuan kita adalah mencari nilai 'r' terlebih dahulu. Persamaan ini memang terlihat rumit, tapi jangan khawatir, kita akan menyederhanakannya langkah demi langkah. Kita akan kalikan kedua sisi persamaan dengan 5(r - 1/r) untuk menghilangkan pecahan.
Setelah kita mendapatkan nilai 'r', kita bisa substitusikan nilai 'r' tersebut ke salah satu persamaan awal (misalnya, a(r - 1/r) = 5) untuk mencari nilai 'a'. Nilai 'a' inilah yang merupakan suku tengah dari barisan geometri yang kita cari.
Langkah-Langkah Penyelesaian Soal
Mari kita lanjutkan dengan menyelesaikan persamaan yang tadi kita dapatkan:
(1/r + 1 + r) / (r - 1/r) = 19/5
Kalikan kedua sisi dengan 5(r - 1/r):
5(1/r + 1 + r) = 19(r - 1/r)
5/r + 5 + 5r = 19r - 19/r
Kumpulkan semua suku yang mengandung 'r' di satu sisi dan suku konstanta di sisi lainnya:
5/r + 19/r = 19r - 5r
24/r = 14r
Kalikan kedua sisi dengan 'r':
24 = 14r^2
r^2 = 24/14 = 12/7
r = √(12/7) = 2√(3/7)
Karena kita tahu bahwa rasio (r) positif, kita ambil nilai positifnya. Sekarang kita sudah mendapatkan nilai 'r'. Selanjutnya, kita akan mencari nilai 'a' dengan mensubstitusikan nilai 'r' ke persamaan a(r - 1/r) = 5:
a(2√(3/7) - 1/(2√(3/7))) = 5
Untuk menyederhanakan persamaan ini, kita perlu mencari nilai dari 1/(2√(3/7)):
1/(2√(3/7)) = √(7/12) = √(7)/2√(3)
Jadi, persamaan kita menjadi:
a(2√(3/7) - √(7)/2√(3)) = 5
Kita samakan penyebut di dalam kurung:
a((4√(9/49) - √(49/12))/(2√(3/7)) = 5
a((12/7 - 7/3)/(2√(3/7)) = 5
a((36 - 49)/21)/(2√(3/7)) = 5
a(-13/21)/(2√(3/7)) = 5
a = 5 * (21/( -13)) * 2√(3/7)
a = -210/13 * √(3/7)
Sepertinya ada kesalahan dalam perhitungan kita. Mari kita kembali ke persamaan awal dan mencoba cara lain.
Kembali ke Persamaan Awal
Kita punya dua persamaan:
- a/r + a + ar = 19
- ar - a/r = 5
Kita bisa jumlahkan kedua persamaan ini:
(a/r + a + ar) + (ar - a/r) = 19 + 5
2ar + a = 24
a(2r + 1) = 24
Sekarang kita kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(a/r + a + ar) - (ar - a/r) = 19 - 5
2a/r + a = 14
a(2/r + 1) = 14
Kita punya dua persamaan baru:
- a(2r + 1) = 24
- a(2/r + 1) = 14
Kita bagi persamaan pertama dengan persamaan kedua:
(2r + 1) / (2/r + 1) = 24/14 = 12/7
(2r + 1) / ((2 + r)/r) = 12/7
r(2r + 1) / (2 + r) = 12/7
7r(2r + 1) = 12(2 + r)
14r^2 + 7r = 24 + 12r
14r^2 - 5r - 24 = 0
Kita gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai r:
r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
r = (5 ± √(25 + 4 * 14 * 24)) / 28
r = (5 ± √(25 + 1344)) / 28
r = (5 ± √1369) / 28
r = (5 ± 37) / 28
Kita punya dua kemungkinan nilai r:
r1 = (5 + 37) / 28 = 42 / 28 = 3/2
r2 = (5 - 37) / 28 = -32 / 28 = -8/7
Karena rasio harus positif, kita ambil r = 3/2. Sekarang kita substitusikan nilai r ke persamaan a(2r + 1) = 24:
a(2(3/2) + 1) = 24
a(3 + 1) = 24
4a = 24
a = 6
Akhirnya kita dapatkan nilai a = 6. Jadi, suku tengah barisan tersebut adalah 6.
Kesimpulan
Jadi, suku tengah barisan geometri tersebut adalah 6 (Jawaban C). Soal ini memang cukup tricky dan membutuhkan pemahaman yang baik tentang konsep barisan geometri serta kemampuan aljabar yang mumpuni. Tapi, dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasainya. Jangan lupa untuk selalu menganalisis soal dengan cermat dan menggunakan strategi yang tepat untuk memecahkannya. Semangat terus belajarnya, guys! Semoga artikel ini bermanfaat dan membantu kalian dalam memahami cara mencari suku tengah barisan geometri. Sampai jumpa di pembahasan soal-soal matematika lainnya!