Solusi Sistem Persamaan Diferensial Linear: Metode Eliminasi

Hey guys! Pernah gak sih kalian ketemu soal persamaan diferensial yang kayaknya ribet banget? Nah, kali ini kita bakal bahas cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear dengan metode eliminasi. Metode ini ampuh banget buat mecahin soal-soal yang modelnya kayak gini. Jadi, simak baik-baik ya!

Apa Itu Sistem Persamaan Diferensial Linear?

Sebelum kita masuk ke cara penyelesaiannya, kita kenalan dulu yuk sama yang namanya sistem persamaan diferensial linear. Gampangnya, ini adalah kumpulan persamaan diferensial (persamaan yang mengandung turunan fungsi) yang variabel-variabelnya linear. Artinya, variabelnya gak dipangkatin atau dimacem-macemin yang aneh-aneh. Bentuk umumnya sih kayak gini:

x₁' = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁nxₙ
x₂' = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂nxₙ
...
xₙ' = aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙnxₙ

Di sini, x₁, x₂, ..., xₙ adalah fungsi-fungsi yang mau kita cari, dan aᵢⱼ adalah konstanta. Tanda aksen (') itu artinya turunan terhadap suatu variabel (biasanya waktu, t). Nah, tujuan kita adalah mencari fungsi x₁, x₂, ..., xₙ yang memenuhi semua persamaan ini.

Contoh Soal yang Akan Kita Kerjakan

Biar lebih jelas, kita langsung ke contoh soal aja ya. Soalnya kayak gini:

x₁' = 3x₁ + 4x₂
x₂' = -x₁ + 2x₂

Nah, ini adalah sistem persamaan diferensial linear dengan dua persamaan dan dua fungsi yang tidak diketahui, yaitu x₁ dan x₂. Kita bakal selesaikan sistem ini dengan metode eliminasi.

Langkah-Langkah Metode Eliminasi

Metode eliminasi ini intinya adalah kita mau mengeliminasi salah satu variabel, supaya kita cuma punya satu persamaan dengan satu variabel. Nah, kalau udah dapet solusinya untuk satu variabel, kita bisa substitusi balik buat nyari variabel yang lainnya. Yuk, kita bedah langkah-langkahnya:

1. Manipulasi Persamaan

Langkah pertama adalah kita manipulasi persamaan-persamaan yang ada supaya kita bisa mengeliminasi salah satu variabel. Caranya gimana? Kita bisa mengalikan kedua sisi persamaan dengan konstanta, atau menjumlahkan/mengurangkan persamaan-persamaan tersebut.

Dalam kasus kita, kita bisa kalikan persamaan kedua dengan 4:

4x₂' = -4x₁ + 8x₂

2. Eliminasi Variabel

Setelah kita manipulasi persamaan, sekarang kita bisa eliminasi salah satu variabel. Caranya adalah dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan-persamaan yang sudah kita manipulasi tadi. Kita atur sedemikian rupa supaya salah satu variabelnya hilang.

Kita punya:

x₁' = 3x₁ + 4x₂
4x₂' = -4x₁ + 8x₂

Sekarang, kita jumlahkan kedua persamaan ini. Perhatikan bahwa suku 4x₂ di persamaan pertama dan -4x₁ di persamaan kedua akan saling menghilangkan:

x₁' + 4x₂' = (3x₁ + 4x₂) + (-4x₁ + 8x₂)
x₁' + 4x₂' = -x₁ + 12x₂

Nah, kita dapat persamaan baru yang menghubungkan x₁', x₂', x₁ dan x₂.

3. Diferensiasi dan Substitusi

Langkah selanjutnya adalah kita diferensiasikan salah satu persamaan awal, lalu substitusikan ke persamaan yang kita dapat di langkah sebelumnya. Tujuannya adalah supaya kita punya persamaan diferensial hanya dalam satu variabel.

Kita diferensiasikan persamaan pertama:

x₁'' = 3x₁' + 4x₂'

Kemudian, kita substitusikan x₂' dari persamaan kedua ke persamaan di atas:

x₂' = -x₁ + 2x₂
4x₂' = -4x₁ + 8x₂

Kita substitusikan ini ke persamaan x₁'' tadi:

x₁'' = 3x₁' + (-4x₁ + 8x₂)

Kita juga punya persamaan awal:

x₁' = 3x₁ + 4x₂

Dari sini, kita bisa dapatkan:

4x₂ = x₁' - 3x₁
8x₂ = 2(x₁' - 3x₁) = 2x₁' - 6x₁

Substitusikan ini ke persamaan x₁'' tadi:

x₁'' = 3x₁' + (-4x₁ + 2x₁' - 6x₁)
x₁'' = 5x₁' - 10x₁

Nah, kita dapat persamaan diferensial orde dua hanya dalam x₁:

x₁'' - 5x₁' + 10x₁ = 0

4. Selesaikan Persamaan Diferensial

Sekarang kita punya persamaan diferensial orde dua yang bisa kita selesaikan. Persamaan ini punya bentuk umum:

ay'' + by' + cy = 0

Cara menyelesaikannya adalah dengan mencari akar-akar persamaan karakteristiknya. Persamaan karakteristiknya adalah:

ar² + br + c = 0

Dalam kasus kita, persamaan karakteristiknya adalah:

r² - 5r + 10 = 0

Kita bisa cari akar-akarnya dengan rumus kuadrat:

r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
r = (5 ± √((-5)² - 4 * 1 * 10)) / 2
r = (5 ± √(-15)) / 2
r = (5 ± i√15) / 2

Karena akarnya kompleks, solusi umumnya adalah:

x₁(t) = e^(αt) (C₁ cos(βt) + C₂ sin(βt))

Di mana α adalah bagian real dari akar, dan β adalah bagian imajiner dari akar. Dalam kasus kita:

α = 5/2
β = √15 / 2

Jadi, solusi untuk x₁(t) adalah:

x₁(t) = e^(5t/2) (C₁ cos(√15 t / 2) + C₂ sin(√15 t / 2))

5. Cari Solusi Variabel Lain

Setelah kita dapat solusi untuk x₁(t), kita bisa cari solusi untuk x₂(t). Caranya adalah dengan substitusikan x₁(t) ke salah satu persamaan awal.

Kita ambil persamaan pertama:

x₁' = 3x₁ + 4x₂

Kita cari x₁'(t) dengan mendiferensiasikan x₁(t):

x₁'(t) = (5/2)e^(5t/2) (C₁ cos(√15 t / 2) + C₂ sin(√15 t / 2)) + e^(5t/2) (C₁ (-√15 / 2) sin(√15 t / 2) + C₂ (√15 / 2) cos(√15 t / 2))

Kemudian, kita substitusikan x₁(t) dan x₁'(t) ke persamaan tadi, lalu kita bisa dapat x₂(t):

4x₂(t) = x₁'(t) - 3x₁(t)

Setelah disederhanakan, kita akan dapat:

x₂(t) = e^(5t/2) (D₁ cos(√15 t / 2) + D₂ sin(√15 t / 2))

Di mana D₁ dan D₂ adalah konstanta yang bergantung pada C₁ dan C₂.

Solusi Akhir

Jadi, solusi sistem persamaan diferensial kita adalah:

x₁(t) = e^(5t/2) (C₁ cos(√15 t / 2) + C₂ sin(√15 t / 2))
x₂(t) = e^(5t/2) (D₁ cos(√15 t / 2) + D₂ sin(√15 t / 2))

Di mana C₁, C₂, D₁, dan D₂ adalah konstanta yang bisa kita tentukan kalau kita punya kondisi awal (misalnya, nilai x₁(0) dan x₂(0)).

Kesimpulan

Nah, itu dia cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear dengan metode eliminasi. Kelihatannya emang panjang dan ribet ya, tapi intinya sih cuma manipulasi persamaan, eliminasi variabel, diferensiasi, substitusi, dan selesaikan persamaan diferensialnya. Dengan latihan, pasti kalian bakal jago deh!

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Kalau ada pertanyaan, jangan sungkan buat nanya di kolom komentar. Sampai jumpa di pembahasan selanjutnya! Jangan lupa untuk terus semangat belajar dan eksplorasi matematika! Matematika itu asik, kok!