Solusi Logaritma: Panduan Lengkap & Mudah Dipahami

Pendahuluan

Hai guys! Kali ini kita akan membahas soal logaritma yang sering bikin pusing. Jangan khawatir, di sini kita akan kupas tuntas langkah demi langkah biar kalian semua paham dan bisa ngerjain soal logaritma dengan lancar. Kita akan bahas dari soal-soal dasar sampai yang agak tricky, jadi siap-siap ya!

Logaritma, hmm, mungkin sebagian dari kalian langsung ciut nyali denger kata ini. Tapi tenang, sebenarnya logaritma itu seru banget kok kalau kita udah ngerti konsepnya. Logaritma itu kayak kebalikan dari eksponen. Jadi, kalau di eksponen kita nyari hasil dari suatu bilangan yang dipangkatin, di logaritma kita nyari pangkatnya. Nah, biar makin jelas, yuk langsung aja kita bahas soal-soalnya!

Soal 1: Menentukan Nilai Logaritma

Soal 1a: Log 10.000

Soal pertama kita adalah mencari nilai dari log 10.000. Ini termasuk soal dasar, tapi penting banget buat ngerti konsep awalnya. Di sini, basis logaritmanya nggak ditulis, berarti kita pakai basis 10 (logaritma basis 10). Jadi, soal ini bisa kita tulis sebagai ¹⁰log 10.000. Nah, kita mikir deh, 10 pangkat berapa yang hasilnya 10.000?

Gampang kan? 10.000 itu sama dengan 10⁴ (10 pangkat 4). Jadi, ¹⁰log 10.000 = 4. Udah kebayang kan gimana cara ngerjainnya? Intinya, kita cari pangkat yang pas buat basisnya biar hasilnya sesuai dengan angka di dalam logaritma.

Buat kalian yang masih bingung, coba deh inget-inget lagi sifat-sifat eksponen. Soalnya, logaritma sama eksponen itu kayak dua sisi mata uang yang sama. Kalau kalian udah jago di eksponen, pasti lebih gampang ngerti logaritma. Jadi, jangan males buat latihan soal ya!

Soal 1b: ⁿ⁸log 32

Lanjut ke soal kedua, ⁿ⁸log 32. Soal ini sedikit lebih menantang nih, guys. Basisnya ⁿ⁸ (akar pangkat 8 dari n), dan angka di dalam logaritmanya 32. Nah, gimana cara ngerjainnya? Kuncinya adalah kita ubah basis dan angka di dalam logaritma ke bentuk pangkat yang paling sederhana.

32 itu sama dengan 2⁵ (2 pangkat 5). Nah, sekarang kita ubah ⁿ⁸ ke bentuk pangkat juga. ⁿ⁸ itu sama dengan n^(⅛) (n pangkat ⅛). Jadi, soalnya sekarang jadi n^(⅛)log 2⁵. Biar lebih gampang, kita misalkan dulu n^(⅛) = x. Berarti, soalnya jadi x log 2⁵.

Sekarang, kita cari hubungan antara x dan 2. Misalkan x = 2^k (2 pangkat k). Nah, kita substitusi balik: n^(⅛) = 2^k. Pangkatin kedua ruas dengan 8, kita dapat n = 2^(8k). Sekarang, kita bisa tulis soalnya sebagai 2^(k) log 2⁵. Dari sini, kita dapat k = ⅝ (5/8). Balikin lagi ke n, kita dapat n = 2^(8 × ⅝) = 2⁵ = 32. Jadi, ⁿ⁸log 32 = 5/k = 5/(5/8) = 8. Lumayan tricky ya, tapi seru kan?

Soal 1c: ³log18 – ³log 2

Soal ketiga ini tentang pengurangan logaritma. Ingat sifat logaritma: log a – log b = log (a/b). Jadi, kalau ada pengurangan logaritma dengan basis yang sama, kita bisa bagi angka di dalam logaritmanya. Di soal ini, kita punya ³log18 – ³log 2. Basisnya sama-sama 3, jadi kita bisa langsung bagi 18 dengan 2.

³log18 – ³log 2 = ³log (18/2) = ³log 9. Nah, sekarang kita tinggal cari 3 pangkat berapa yang hasilnya 9. Gampang! 3² = 9, jadi ³log 9 = 2. Soal ini lebih sederhana dari soal sebelumnya, tapi penting buat ngerti sifat-sifat logaritma.

Soal 1d: ⁶log9 + 2 × ⁶log2 – 2 × ⁶log6

Soal terakhir di nomor 1 ini gabungan dari penjumlahan dan pengurangan logaritma, plus ada perkalian juga. Jangan bingung, kita kerjain pelan-pelan aja. Ingat sifat-sifat logaritma: log a + log b = log (a × b) dan n log a = log (aⁿ). Jadi, kita bisa ubah soalnya jadi lebih sederhana.

⁶log9 + 2 × ⁶log2 – 2 × ⁶log6 = ⁶log9 + ⁶log2² – ⁶log6² = ⁶log9 + ⁶log4 – ⁶log36. Sekarang, kita gabungin yang penjumlahan dulu: ⁶log9 + ⁶log4 = ⁶log (9 × 4) = ⁶log36. Jadi, soalnya jadi ⁶log36 – ⁶log36. Nah loh, kok sama? Iya, jadi hasilnya 0. Soal ini nguji pemahaman kita tentang sifat-sifat logaritma dan juga ketelitian kita dalam menghitung.

Soal 2: Logaritma dengan Variabel

Soal 2a: Diketahui ⁴log3 = p, ⁴log5 = q, ⁴log8 = r, hitunglah ⁴log40

Di soal nomor 2 ini, kita dikasih informasi nilai logaritma dalam bentuk variabel, yaitu p, q, dan r. Tugas kita adalah mencari nilai logaritma yang lain dalam bentuk variabel-variabel ini. Soal pertama adalah mencari ⁴log40. Gimana caranya? Kuncinya adalah kita pecah angka 40 jadi faktor-faktor primanya, yaitu 2 × 2 × 2 × 5 = 2³ × 5.

Jadi, ⁴log40 = ⁴log (2³ × 5). Ingat sifat logaritma: log (a × b) = log a + log b. Jadi, ⁴log (2³ × 5) = ⁴log 2³ + ⁴log 5. Kita udah dikasih tahu ⁴log 5 = q. Sekarang, kita cari ⁴log 2³. Ingat sifat logaritma: log aⁿ = n log a. Jadi, ⁴log 2³ = 3 × ⁴log 2.

Kita belum tahu ⁴log 2, tapi kita tahu ⁴log 8 = r. 8 itu sama dengan 2³, jadi ⁴log 8 = ⁴log 2³ = 3 × ⁴log 2 = r. Dari sini, kita dapat ⁴log 2 = r/3. Substitusi balik, kita dapat ⁴log 2³ = 3 × (r/3) = r. Jadi, ⁴log40 = r + q. Lumayan panjang ya, tapi asik kan?

Soal 2b: Diketahui ⁴log3 = p, ⁴log5 = q, ⁴log8 = r, hitunglah ⁴log15 + ⁴log64

Soal kedua di nomor 2 ini mirip sama soal sebelumnya, tapi angkanya beda. Kita tetap pakai informasi yang sama, yaitu ⁴log3 = p, ⁴log5 = q, dan ⁴log8 = r. Kali ini, kita disuruh cari ⁴log15 + ⁴log64. Sama kayak tadi, kita pecah angka-angkanya jadi faktor-faktor primanya.

15 itu sama dengan 3 × 5, dan 64 itu sama dengan 2⁶. Jadi, soalnya jadi ⁴log (3 × 5) + ⁴log 2⁶. Ingat sifat logaritma: log (a × b) = log a + log b dan log aⁿ = n log a. Jadi, ⁴log (3 × 5) + ⁴log 2⁶ = ⁴log 3 + ⁴log 5 + 6 × ⁴log 2.

Kita udah tahu ⁴log 3 = p dan ⁴log 5 = q. Kita juga udah cari ⁴log 2 di soal sebelumnya, yaitu r/3. Jadi, kita tinggal substitusi: p + q + 6 × (r/3) = p + q + 2r. Selesai! Soal ini ngelatih kita buat manfaatin informasi yang udah ada dan juga nginget sifat-sifat logaritma.

Kesimpulan

Gimana guys, udah mulai kebayang kan cara ngerjain soal logaritma? Kuncinya adalah ngerti konsep dasar, hafal sifat-sifat logaritma, dan banyak latihan soal. Jangan males buat nyoba berbagai macam soal, karena makin banyak latihan, makin jago kalian. Logaritma itu emang keliatan susah di awal, tapi kalau udah ketemu polanya, seru banget kok. Semangat terus belajarnya ya!

Pesan penting: Jangan cuma baca pembahasan ini aja, tapi coba kerjain sendiri soal-soalnya. Kalau ada yang bingung, jangan ragu buat tanya ke guru atau teman. Belajar bareng itu lebih asik dan lebih efektif. Oke deh, sampai jumpa di pembahasan soal-soal lainnya!