Solusi Lengkap: Menghitung Logaritma Dan Eksponen

by ADMIN 50 views

Hey guys, kali ini kita bakal bahas soal-soal matematika yang berhubungan dengan logaritma dan eksponen. Soal-soal ini sering banget muncul di ujian, jadi penting banget buat kita pahami konsepnya. Kita akan bahas dua soal menarik yang melibatkan perhitungan eksponen dengan logaritma dan cara mengubah basis logaritma. Yuk, langsung aja kita bahas satu per satu!

Soal 1: Menghitung Nilai Eksponen dengan Logaritma

Soal pertama kita adalah menentukan nilai dari ekspresi 2536log⁡3.306log⁡225^{36\log3} . 30^{6\log2}. Soal ini kelihatan rumit ya, tapi tenang aja, kita bisa pecahkan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan eksponen. Kunci utama di sini adalah bagaimana kita mengubah bentuk eksponen dan logaritma agar bisa saling menghilangkan atau menyederhanakan.

Langkah 1: Mengubah Basis Eksponen

Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah mengubah basis eksponen agar lebih mudah diolah. Kita tahu bahwa 25 adalah 5 pangkat 2, jadi kita bisa tulis:

2536log⁡3=(52)36log⁡325^{36\log3} = (5^2)^{36\log3}

Dengan menggunakan sifat eksponen (ab)c=ab.c(a^b)^c = a^{b.c}, kita dapat menyederhanakan ini menjadi:

52.36log⁡3=572log⁡35^{2 . 36\log3} = 5^{72\log3}

Langkah 2: Menggunakan Sifat Perpindahan dalam Logaritma

Selanjutnya, kita akan menggunakan sifat penting dalam logaritma, yaitu ablog⁡c=cblog⁡aa^{b\log c} = c^{b\log a}. Sifat ini memungkinkan kita untuk memindahkan basis logaritma ke basis eksponen. Dalam kasus ini, kita punya 572log⁡35^{72\log3}, jadi kita bisa ubah menjadi:

572log⁡3=372log⁡55^{72\log3} = 3^{72\log5}

Langkah 3: Mengolah Bagian Kedua dari Ekspresi

Sekarang kita fokus ke bagian kedua dari ekspresi, yaitu 306log⁡230^{6\log2}. Kita bisa memecah 30 menjadi faktor-faktor primanya, yaitu 2, 3, dan 5. Jadi, 30 = 2 . 3 . 5. Dengan demikian, kita bisa tulis:

306log⁡2=(2.3.5)6log⁡230^{6\log2} = (2 . 3 . 5)^{6\log2}

Menggunakan sifat eksponen (a.b)c=ac.bc(a . b)^c = a^c . b^c, kita dapat memisahkan faktor-faktor ini:

(2.3.5)6log⁡2=26log⁡2.36log⁡2.56log⁡2(2 . 3 . 5)^{6\log2} = 2^{6\log2} . 3^{6\log2} . 5^{6\log2}

Langkah 4: Menyederhanakan Lebih Lanjut

Kita tahu bahwa 26log⁡22^{6\log2} bisa disederhanakan langsung menggunakan sifat alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b. Jadi, 26log⁡2=26=642^{6\log2} = 2^6 = 64. Bagian lainnya tetap seperti ini:

26log⁡2.36log⁡2.56log⁡2=64.36log⁡2.56log⁡22^{6\log2} . 3^{6\log2} . 5^{6\log2} = 64 . 3^{6\log2} . 5^{6\log2}

Langkah 5: Menggabungkan Kembali Ekspresi

Sekarang kita gabungkan kembali kedua bagian dari ekspresi awal:

2536log⁡3.306log⁡2=372log⁡5.64.36log⁡2.56log⁡225^{36\log3} . 30^{6\log2} = 3^{72\log5} . 64 . 3^{6\log2} . 5^{6\log2}

Wah, keliatannya makin rumit ya? Tapi, kita bisa lihat ada beberapa bagian yang bisa disederhanakan lebih lanjut. Kita perhatikan bahwa 372log⁡53^{72\log5} dan 56log⁡25^{6\log2} bisa kita ubah basisnya menggunakan sifat yang sama seperti sebelumnya.

Langkah 6: Mengubah Basis dan Menyederhanakan

Kita ubah 372log⁡53^{72\log5} menjadi 572log⁡35^{72\log3} dan 56log⁡25^{6\log2} tetap seperti itu. Sekarang kita punya:

572log⁡3.64.36log⁡2.56log⁡25^{72\log3} . 64 . 3^{6\log2} . 5^{6\log2}

Kita kelompokkan bagian yang memiliki basis sama:

64.36log⁡2.(572log⁡3.56log⁡2)64 . 3^{6\log2} . (5^{72\log3} . 5^{6\log2})

Kita gabungkan eksponen dengan basis yang sama menggunakan sifat ab.ac=ab+ca^b . a^c = a^{b+c}:

64.36log⁡2.572log⁡3+6log⁡264 . 3^{6\log2} . 5^{72\log3 + 6\log2}

Langkah 7: Fokus pada Eksponen yang Dijumlahkan

Kita fokus pada eksponen yang dijumlahkan: 72log⁡3+6log⁡272\log3 + 6\log2. Ini bisa kita tulis sebagai:

6(12log⁡3+log⁡2)6(12\log3 + \log2)

Kita bisa gunakan sifat logaritma alog⁡b+alog⁡c=alog⁡(b.c)a\log b + a\log c = a\log(b . c) untuk menyederhanakannya:

6(log⁡(312.2))6(\log(3^{12} . 2))

Wah, angka di dalam logaritma sangat besar ya, tapi kita biarkan saja seperti itu untuk saat ini.

Langkah 8: Menyederhanakan Ekspresi Akhir

Sekarang kita masukkan kembali ke ekspresi kita:

64.36log⁡2.56(log⁡(312.2))64 . 3^{6\log2} . 5^{6(\log(3^{12} . 2))}

Kita tahu bahwa 36log⁡23^{6\log2} bisa ditulis sebagai 26log⁡32^{6\log3}, jadi:

64.26log⁡3.56(log⁡(312.2))64 . 2^{6\log3} . 5^{6(\log(3^{12} . 2))}

Ekspresi ini sudah cukup sederhana, dan kita bisa hitung nilai pastinya jika diperlukan. Namun, untuk tujuan pembahasan ini, kita sudah berhasil menyederhanakan ekspresi awal dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan eksponen. Jadi, hasil akhirnya adalah 64.26log⁡3.56(log⁡(312.2))64 . 2^{6\log3} . 5^{6(\log(3^{12} . 2))}.

Soal 2: Menentukan Nilai Logaritma dengan Basis Berbeda

Sekarang kita lanjut ke soal kedua. Soal ini meminta kita untuk menentukan nilai 9log⁡8^9\log8 jika diketahui 4log⁡6=m^4\log 6 = m. Soal ini menguji kemampuan kita dalam mengubah basis logaritma dan menggunakan informasi yang diberikan untuk mencari solusi.

Langkah 1: Mengubah Basis Logaritma

Kunci utama dalam soal ini adalah mengubah basis logaritma. Kita akan menggunakan sifat perubahan basis logaritma, yaitu:

alog⁡b=clog⁡bclog⁡a^a\log b = \frac{^c\log b}{^c\log a}

Di sini, kita punya 9log⁡8^9\log8 dan kita ingin mengubah basisnya. Kita bisa memilih basis yang lebih sederhana, misalnya basis 2, karena 8 adalah 2 pangkat 3. Jadi, kita ubah 9log⁡8^9\log8 menjadi:

9log⁡8=2log⁡82log⁡9^9\log8 = \frac{^2\log8}{^2\log9}

Kita tahu bahwa 2log⁡8=3^2\log8 = 3 karena 23=82^3 = 8. Jadi, kita punya:

32log⁡9\frac{3}{^2\log9}

Langkah 2: Mengolah Bagian Penyebut

Sekarang kita fokus pada penyebut, yaitu 2log⁡9^2\log9. Kita tahu bahwa 9 adalah 3 pangkat 2, jadi kita bisa tulis:

2log⁡9=2log⁡(32)^2\log9 = ^2\log(3^2)

Menggunakan sifat logaritma alog⁡(bc)=c.alog⁡b^a\log(b^c) = c . ^a\log b, kita dapat menyederhanakan ini menjadi:

2.2log⁡32 . ^2\log3

Jadi, sekarang kita punya:

32.2log⁡3\frac{3}{2 . ^2\log3}

Langkah 3: Menggunakan Informasi yang Diketahui

Kita tahu bahwa 4log⁡6=m^4\log 6 = m. Kita perlu menghubungkan informasi ini dengan apa yang sudah kita punya. Kita bisa ubah 4log⁡6^4\log 6 menggunakan sifat perubahan basis:

4log⁡6=2log⁡62log⁡4^4\log 6 = \frac{^2\log6}{^2\log4}

Kita tahu bahwa 2log⁡4=2^2\log4 = 2, jadi:

m=2log⁡62m = \frac{^2\log6}{2}

Dengan demikian, 2log⁡6=2m^2\log6 = 2m. Kita bisa pecah 2log⁡6^2\log6 menjadi 2log⁡(2.3)^2\log(2 . 3):

2log⁡6=2log⁡(2.3)=2log⁡2+2log⁡3^2\log6 = ^2\log(2 . 3) = ^2\log2 + ^2\log3

Kita tahu bahwa 2log⁡2=1^2\log2 = 1, jadi:

2m=1+2log⁡32m = 1 + ^2\log3

Dari sini, kita bisa mendapatkan 2log⁡3^2\log3:

2log⁡3=2m−1^2\log3 = 2m - 1

Langkah 4: Menyusun Kembali Solusi

Sekarang kita punya nilai 2log⁡3^2\log3, kita bisa masukkan kembali ke ekspresi awal kita:

32.2log⁡3=32(2m−1)\frac{3}{2 . ^2\log3} = \frac{3}{2(2m - 1)}

Jadi, nilai dari 9log⁡8^9\log8 dalam m adalah:

32(2m−1)\frac{3}{2(2m - 1)}

Kesimpulan

Jadi, jawaban untuk soal kedua adalah 32(2m−1)\frac{3}{2(2m - 1)}. Kita berhasil menemukan solusinya dengan mengubah basis logaritma, menggunakan informasi yang diberikan, dan menyederhanakan ekspresi.

Penutup

Nah, itu dia pembahasan lengkap mengenai cara menyelesaikan soal-soal eksponen dan logaritma. Kunci dari semua ini adalah memahami sifat-sifat dasar dari eksponen dan logaritma, serta bagaimana cara mengubah basis logaritma. Dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasai materi ini. Semangat terus belajarnya, guys! Sampai jumpa di pembahasan soal-soal lainnya!