Soal Keuntungan Maksimum Tas & Dompet: Jawaban Lengkap!

by ADMIN 56 views

Hey guys, kali ini kita bakal bahas soal seru tentang gimana caranya sebuah usaha kecil bisa mendapatkan keuntungan maksimal dari produksi tas dan dompet. Soal ini sering banget muncul dalam materi program linear, khususnya di pelajaran matematika ekonomi atau riset operasi. Jadi, buat kalian yang lagi belajar atau punya bisnis kecil-kecilan, wajib banget simak artikel ini sampai habis!

Deskripsi Soal

Jadi, ceritanya ada sebuah usaha kecil yang memproduksi dua jenis produk, yaitu tas (X1) dan dompet (X2). Setiap tas yang berhasil dijual memberikan keuntungan sebesar Rp 5.000, sedangkan setiap dompet memberikan keuntungan Rp 3.000. Nah, proses produksi ini membutuhkan dua jenis sumber daya, misalnya bahan baku atau tenaga kerja. Kita sebut saja sumber daya ini sebagai A dan B.

Misalnya, untuk membuat satu tas dibutuhkan 2 unit sumber daya A dan 1 unit sumber daya B. Sementara itu, untuk membuat satu dompet dibutuhkan 1 unit sumber daya A dan 3 unit sumber daya B. Usaha kecil ini hanya memiliki persediaan sumber daya A sebanyak 10 unit dan sumber daya B sebanyak 15 unit. Pertanyaannya adalah, berapa banyak tas dan dompet yang harus diproduksi agar usaha kecil ini bisa mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya?

Intinya, kita mau cari tahu berapa nilai X1 (jumlah tas) dan X2 (jumlah dompet) yang bisa memaksimalkan keuntungan, tapi tetap mempertimbangkan keterbatasan sumber daya yang ada. Nah, ini dia yang disebut masalah optimasi, dan salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan program linear.

Langkah-Langkah Penyelesaian Soal

Oke, sekarang kita masuk ke langkah-langkah penyelesaiannya. Biar lebih gampang, kita bagi jadi beberapa tahap ya:

1. Membuat Model Matematika

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mengubah soal cerita ini ke dalam bentuk model matematika. Model matematika ini akan terdiri dari fungsi tujuan dan fungsi kendala.

  • Fungsi Tujuan: Fungsi tujuan adalah fungsi yang ingin kita maksimalkan (atau minimalkan). Dalam kasus ini, kita ingin memaksimalkan keuntungan. Keuntungan total (Z) bisa kita rumuskan sebagai berikut:

    Z = 5000X1 + 3000X2

    Artinya, keuntungan total adalah 5000 kali jumlah tas yang diproduksi ditambah 3000 kali jumlah dompet yang diproduksi.

  • Fungsi Kendala: Fungsi kendala adalah batasan-batasan yang kita punya. Dalam soal ini, batasan kita adalah ketersediaan sumber daya A dan B. Kita bisa rumuskan fungsi kendala sebagai berikut:

    2X1 + X2 <= 10  (Kendala sumber daya A)
X1 + 3X2 <= 15  (Kendala sumber daya B)
X1 >= 0       (Jumlah tas tidak bisa negatif)
X2 >= 0       (Jumlah dompet tidak bisa negatif)

    Penjelasan:

    • 2X1 + X2 <= 10: Untuk membuat X1 tas dan X2 dompet, dibutuhkan total 2X1 unit sumber daya A dan X2 unit sumber daya A. Jumlah ini tidak boleh melebihi 10 unit (persediaan sumber daya A).
    • X1 + 3X2 <= 15: Untuk membuat X1 tas dan X2 dompet, dibutuhkan total X1 unit sumber daya B dan 3X2 unit sumber daya B. Jumlah ini tidak boleh melebihi 15 unit (persediaan sumber daya B).
    • X1 >= 0 dan X2 >= 0: Ini adalah kendala non-negatif. Kita tidak mungkin memproduksi jumlah tas atau dompet yang negatif.

2. Menggambar Grafik

Setelah kita punya model matematika, langkah selanjutnya adalah menggambar grafik dari fungsi kendala. Grafik ini akan membantu kita menentukan daerah feasible (daerah yang memenuhi semua kendala).

  1. Ubah Pertidaksamaan Menjadi Persamaan: Untuk menggambar garis, kita ubah dulu tanda pertidaksamaan (<=) menjadi persamaan (=).

    2X1 + X2 = 10
X1 + 3X2 = 15

  2. Cari Titik Potong: Cari titik potong garis dengan sumbu X1 dan sumbu X2.

    • Garis 2X1 + X2 = 10
      • Jika X1 = 0, maka X2 = 10. Titik potong (0, 10)
      • Jika X2 = 0, maka X1 = 5. Titik potong (5, 0)
    • Garis X1 + 3X2 = 15
      • Jika X1 = 0, maka X2 = 5. Titik potong (0, 5)
      • Jika X2 = 0, maka X1 = 15. Titik potong (15, 0)

  3. Gambarkan Garis: Hubungkan titik-titik potong yang sudah kita dapatkan untuk menggambar garis.

  4. Tentukan Daerah Feasible: Daerah feasible adalah daerah yang memenuhi semua kendala. Untuk menentukannya, kita bisa melakukan uji titik. Pilih sebuah titik yang tidak terletak pada garis (misalnya titik (0, 0)) dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan awal.

    • 2X1 + X2 <= 10
      • 2(0) + 0 <= 10 (Benar)
    • X1 + 3X2 <= 15
      • 0 + 3(0) <= 15 (Benar)

    Karena titik (0, 0) memenuhi kedua pertidaksamaan, maka daerah feasible adalah daerah yang berada di bawah kedua garis (termasuk sumbu X1 dan X2).

3. Menentukan Titik Pojok

Titik pojok adalah titik-titik sudut pada daerah feasible. Titik-titik ini penting karena solusi optimal (keuntungan maksimum) akan selalu terletak pada salah satu titik pojok ini. Dari grafik yang sudah kita gambar, kita bisa lihat bahwa ada empat titik pojok:

  1. (0, 0)

  2. (5, 0)

  3. (0, 5)

  4. Titik perpotongan antara garis 2X1 + X2 = 10 dan X1 + 3X2 = 15. Untuk mencari titik ini, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan linear ini.

    2X1 + X2 = 10
X1 + 3X2 = 15

    Kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Misalnya, kita gunakan metode eliminasi:

    • Kalikan persamaan pertama dengan 3: 6X1 + 3X2 = 30
    • Kurangkan persamaan kedua dari persamaan yang baru: (6X1 + 3X2) - (X1 + 3X2) = 30 - 15
      • 5X1 = 15
      • X1 = 3
    • Substitusikan X1 = 3 ke persamaan pertama: 2(3) + X2 = 10
      • 6 + X2 = 10
      • X2 = 4

    Jadi, titik perpotongan kedua garis adalah (3, 4).

4. Menghitung Nilai Fungsi Tujuan di Setiap Titik Pojok

Sekarang, kita substitusikan setiap titik pojok ke dalam fungsi tujuan (Z = 5000X1 + 3000X2) untuk mencari keuntungan di setiap titik.

  1. Titik (0, 0): Z = 5000(0) + 3000(0) = 0
  2. Titik (5, 0): Z = 5000(5) + 3000(0) = 25000
  3. Titik (0, 5): Z = 5000(0) + 3000(5) = 15000
  4. Titik (3, 4): Z = 5000(3) + 3000(4) = 15000 + 12000 = 27000

5. Menentukan Solusi Optimal

Dari hasil perhitungan di atas, kita lihat bahwa keuntungan maksimum adalah Rp 27.000, yang diperoleh pada titik (3, 4). Jadi, solusi optimalnya adalah:

  • X1 (jumlah tas) = 3
  • X2 (jumlah dompet) = 4

Kesimpulannya, usaha kecil tersebut harus memproduksi 3 tas dan 4 dompet untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar Rp 27.000.

Tips Tambahan

  • Perhatikan Satuan: Pastikan semua satuan dalam model matematika konsisten. Misalnya, jika keuntungan per unit dalam rupiah, maka total keuntungan juga harus dalam rupiah.
  • Cek Kembali Perhitungan: Pastikan tidak ada kesalahan dalam perhitungan, terutama saat mencari titik perpotongan garis.
  • Interpretasikan Hasil: Setelah mendapatkan solusi optimal, interpretasikan hasilnya dalam konteks soal. Jangan hanya memberikan angka, tapi jelaskan apa arti angka tersebut.

Penutup

Nah, itu dia guys, pembahasan lengkap tentang cara menyelesaikan soal program linear untuk mencari keuntungan maksimum. Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian yang lagi belajar atau punya usaha kecil-kecilan. Jangan lupa, matematika itu seru dan bisa membantu kita mengambil keputusan yang lebih baik dalam bisnis! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu tulis di kolom komentar ya. Sampai jumpa di artikel berikutnya!