Sifat Grup Permutasi S3: Non-Abel & Subgrup

by ADMIN 44 views

Hay guys! Kali ini kita bakal bahas soal grup permutasi S3 yang sering muncul di dunia matematika. Kita akan bedah sifat-sifatnya yang menarik, mulai dari kenapa S3 itu bukan grup Abel, sampai gimana cara menentukan subgrupnya. Siap? Yuk, langsung aja kita mulai!

Grup Permutasi S3: Sekilas Pandang

Sebelum kita masuk ke soal pembuktian, penting banget buat kita paham dulu apa itu grup permutasi S3. Jadi gini, S3 itu adalah himpunan semua permutasi dari tiga elemen. Biasanya, elemen ini kita lambangkan dengan angka 1, 2, dan 3.

Permutasi itu sederhananya adalah cara menyusun ulang elemen-elemen tersebut. Misalnya, (1 2 3) berarti urutannya tetap, (1 3 2) berarti angka 2 dan 3 ditukar posisinya, dan seterusnya. Totalnya, ada 6 permutasi yang mungkin di S3, yaitu:

  • (1) atau e (identitas, tidak ada perubahan)
  • (1 2) (menukar angka 1 dan 2)
  • (1 3) (menukar angka 1 dan 3)
  • (2 3) (menukar angka 2 dan 3)
  • (1 2 3) (1 jadi 2, 2 jadi 3, 3 jadi 1)
  • (1 3 2) (1 jadi 3, 3 jadi 2, 2 jadi 1)

Nah, S3 ini jadi grup kalau kita definisikan operasinya sebagai komposisi permutasi. Maksudnya, kita lakukan satu permutasi, lalu dilanjutkan dengan permutasi lainnya. Contohnya, (1 2) * (1 3) berarti kita tukar 1 dan 2 dulu, lalu tukar 1 dan 3. Hasilnya? Kita bisa telusuri:

1 -> 2 (karena (1 2)) 2 -> 2 (tetap)

Lalu:

1 -> 3 (karena (1 3)) 3 -> 1

Jadi, secara keseluruhan, 1 jadi 3, 3 jadi 2, dan 2 jadi 1. Ini sama dengan permutasi (1 3 2). Agak tricky ya? Tapi intinya gitu deh. Sekarang, kita udah punya gambaran tentang S3 dan operasinya. Mari kita lanjut ke soal yang pertama!

a) Buktikan S3 Bukan Grup Abel (10 Poin)

Oke, pertanyaan pertama adalah, gimana caranya kita membuktikan kalau S3 itu bukan grup Abel? Nah, buat yang belum familiar, grup Abel (atau grup komutatif) itu adalah grup di mana urutan operasi nggak ngaruh. Artinya, a * b harus sama dengan b * a untuk semua elemen a dan b di grup tersebut.

Untuk membuktikan S3 bukan grup Abel, kita cukup kasih satu contoh aja yang menunjukkan bahwa sifat komutatif itu nggak berlaku. Kita ambil dua elemen dari S3, misalnya (1 2) dan (1 3). Kita udah hitung sebelumnya kalau (1 2) * (1 3) = (1 3 2). Sekarang, kita coba hitung (1 3) * (1 2):

1 -> 3 (karena (1 3)) 3 -> 3 (tetap)

Lalu:

1 -> 2 (karena (1 2)) 2 -> 1

Jadi, secara keseluruhan, 1 jadi 2, 2 jadi 3, dan 3 jadi 1. Ini sama dengan permutasi (1 2 3).

Nah, kelihatan kan? (1 2) * (1 3) = (1 3 2), sedangkan (1 3) * (1 2) = (1 2 3). Dua-duanya beda! Jadi, kita udah berhasil menemukan contoh yang menunjukkan bahwa S3 nggak komutatif. Dengan kata lain, S3 bukan grup Abel.

Simpel kan? Intinya, buat nunjukkin sesuatu itu nggak berlaku secara umum, kita cukup kasih satu contoh yang nggak sesuai. Ini namanya counterexample, istilah kerennya.

b) Buktikan A = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} Subgrup dari S3. Apakah Subgrup Abel? (25 Poin + 10 Poin)

Sekarang, kita lanjut ke pertanyaan kedua. Kita punya himpunan A yang isinya tiga elemen: (1), (1 2 3), dan (1 3 2). Kita diminta buat buktiin kalau A ini adalah subgrup dari S3. Terus, kita juga harus tentuin, A ini subgrup Abel atau bukan.

Syarat Subgrup

Buat ngingetin lagi, suatu himpunan itu disebut subgrup kalau dia memenuhi tiga syarat:

  1. Tertutup: Kalau kita operasikan dua elemen di dalam himpunan itu, hasilnya harus tetap ada di dalam himpunan itu juga.
  2. Identitas: Elemen identitas (dalam kasus ini, (1) atau e) harus ada di dalam himpunan.
  3. Invers: Setiap elemen di dalam himpunan harus punya invers, dan inversnya juga harus ada di dalam himpunan.

Pembuktian A Subgrup S3

Oke, sekarang kita cek satu per satu syaratnya:

  1. Identitas: Elemen identitas (1) jelas ada di dalam A. Beres!

  2. Tertutup: Nah, yang ini agak panjang nih. Kita harus hitung semua kemungkinan operasi antar elemen di A. Kita bikin tabel aja biar gampang:

    * (1) (1 2 3) (1 3 2)
    (1) (1) (1 2 3) (1 3 2)
    (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1)
    (1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3)

    Dari tabel ini, kelihatan jelas kan? Hasil operasi apapun di dalam A selalu menghasilkan elemen yang ada di dalam A juga. Jadi, A tertutup.

  3. Invers: Sekarang kita cari inversnya. Invers dari (1) jelas (1) itu sendiri. Invers dari (1 2 3) adalah (1 3 2), dan sebaliknya. Semua invers ada di dalam A. Sip!

Karena A memenuhi ketiga syarat subgrup, maka kita bisa simpulkan: A adalah subgrup dari S3.

Apakah A Subgrup Abel?

Nah, pertanyaan terakhir, apakah A ini subgrup Abel? Buat ngecek ini, kita bisa lihat lagi tabel operasi yang tadi. Perhatiin, hasilnya simetris kan? Artinya, (1 2 3) * (1 3 2) hasilnya sama dengan (1 3 2) * (1 2 3), yaitu (1). Ini berlaku buat semua pasangan elemen di A. Jadi, A adalah subgrup Abel.

c) Kategori Diskusi: Matematika

Bagian ini sih nggak perlu dijelasin panjang lebar ya. Jelas, topik kita ini masuk ke dalam kategori Matematika, khususnya aljabar abstrak yang ngebahas tentang grup dan struktur aljabar lainnya.

Kesimpulan

Oke guys, kita udah berhasil bedah soal tentang grup permutasi S3. Kita udah buktiin kalau S3 itu bukan grup Abel, terus kita juga udah tunjukkin kalau A = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} itu subgrup Abel dari S3. Lumayan panjang ya, tapi semoga penjelasannya gampang dimengerti. Kalau ada pertanyaan, jangan sungkan buat nanya ya! Sampai jumpa di pembahasan soal matematika lainnya!