Rotasi Garis: Menentukan Koordinat Titik

Nov 11, 2025 by ADMIN 41 views

Hai teman-teman! Kali ini kita akan membahas soal matematika yang seru tentang rotasi garis. Soalnya begini: Garis $l$ adalah hasil rotasi garis $3x + 2y = 6$ sejauh $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik $(2,0)$ . Tugas kita adalah mencari koordinat titik-titik mana saja yang terletak pada garis $l$ hasil rotasi tersebut. Siap? Yuk, kita mulai!

Memahami Konsep Rotasi Garis

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting banget untuk memahami konsep rotasi garis itu sendiri. Rotasi adalah transformasi geometri yang memutar suatu objek (dalam hal ini garis) terhadap suatu titik pusat. Dalam soal ini, garis $3x + 2y = 6$ diputar sejauh $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di $(2,0)$ .

Kenapa kita perlu memahami konsep ini? Karena dengan memahami konsepnya, kita bisa membayangkan bagaimana garis tersebut bergerak dan bagaimana persamaannya berubah setelah dirotasi. Ini akan membantu kita dalam menentukan titik-titik yang terletak pada garis hasil rotasi.

Penting untuk diingat: Rotasi tidak mengubah bentuk dan ukuran objek, hanya mengubah posisinya saja. Jadi, garis tetaplah garis, hanya saja posisinya berbeda setelah dirotasi.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan beberapa langkah:

Mencari persamaan garis awal (garis $3x + 2y = 6$ ).
Melakukan rotasi pada garis tersebut.
Mencari titik-titik yang terletak pada garis hasil rotasi.

Yuk, kita bahas langkah-langkah ini satu per satu!

Langkah 1: Mencari Persamaan Garis Awal

Persamaan garis awal kita sudah diberikan, yaitu $3x + 2y = 6$ . Kita bisa mengubah persamaan ini ke bentuk yang lebih umum, yaitu $y = mx + c$ , di mana $m$ adalah gradien garis dan $c$ adalah titik potong garis dengan sumbu y. Mari kita ubah:

$3x + 2y = 6$

$2y = -3x + 6$

$y = -\frac{3}{2}x + 3$

Dari persamaan ini, kita tahu bahwa gradien garis awal adalah $m = -\frac{3}{2}$ dan titik potong dengan sumbu y adalah $(0, 3)$ . Informasi ini akan berguna nanti saat kita melakukan rotasi.

Tips: Mengubah persamaan garis ke bentuk $y = mx + c$ akan memudahkan kita dalam memahami karakteristik garis tersebut, seperti gradien dan titik potong dengan sumbu y.

Langkah 2: Melakukan Rotasi pada Garis

Nah, ini bagian yang sedikit tricky! Kita akan merotasi garis $3x + 2y = 6$ sejauh $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di $(2,0)$ . Untuk melakukan ini, kita perlu menggunakan transformasi rotasi.

Misalkan titik $(x, y)$ terletak pada garis awal. Setelah dirotasi, titik ini akan menjadi $(x', y')$ . Hubungan antara $(x, y)$ dan $(x', y')$ dapat dinyatakan dengan rumus rotasi:

$x' = (x - a) \cos \theta - (y - b) \sin \theta + a$

$y' = (x - a) \sin \theta + (y - b) \cos \theta + b$

Di mana:

$(a, b)$ adalah pusat rotasi, yaitu $(2, 0)$ dalam kasus ini.
$\theta$ adalah sudut rotasi, yaitu $90^{\circ}$ atau $\frac{\pi}{2}$ radian.

Karena $\cos 90^{\circ} = 0$ dan $\sin 90^{\circ} = 1$ , maka rumus rotasi menjadi:

$x' = -(y - 0) + 2 = -y + 2$

$y' = (x - 2) + 0 = x - 2$

Dari sini, kita bisa mendapatkan:

$x = y' + 2$

$y = -x' + 2$

Sekarang, kita substitusikan nilai $x$ dan $y$ ini ke persamaan garis awal $3x + 2y = 6$ :

$3(y' + 2) + 2(-x' + 2) = 6$

$3y' + 6 - 2x' + 4 = 6$

$-2x' + 3y' + 4 = 0$

$2x' - 3y' - 4 = 0$

Jadi, persamaan garis $l$ setelah dirotasi adalah $2x - 3y - 4 = 0$ atau $2x - 3y = 4$ .

Catatan Penting: Jangan lupa untuk mengganti $x'$ dan $y'$ dengan $x$ dan $y$ setelah mendapatkan persamaan garis hasil rotasi. Ini hanya masalah notasi saja.

Langkah 3: Mencari Titik-Titik yang Terletak pada Garis Hasil Rotasi

Oke, langkah terakhir! Sekarang kita punya persamaan garis $l$ , yaitu $2x - 3y = 4$ . Tugas kita adalah mencari titik-titik mana saja yang memenuhi persamaan ini. Caranya adalah dengan mencoba memasukkan koordinat titik ke dalam persamaan dan melihat apakah persamaan tersebut benar.

Misalnya, kita punya beberapa pilihan titik:

(2, 0)
(5, 2)
(-1, -2)
(8, 4)

Mari kita coba satu per satu:

Titik (2, 0): $2(2) - 3(0) = 4 - 0 = 4$ . Persamaan benar, jadi titik (2, 0) terletak pada garis $l$ .
Titik (5, 2): $2(5) - 3(2) = 10 - 6 = 4$ . Persamaan benar, jadi titik (5, 2) terletak pada garis $l$ .
Titik (-1, -2): $2(-1) - 3(-2) = -2 + 6 = 4$ . Persamaan benar, jadi titik (-1, -2) terletak pada garis $l$ .
Titik (8, 4): $2(8) - 3(4) = 16 - 12 = 4$ . Persamaan benar, jadi titik (8, 4) terletak pada garis $l$ .

Jadi, semua titik yang kita coba, yaitu (2, 0), (5, 2), (-1, -2), dan (8, 4), terletak pada garis $l$ hasil rotasi.

Kesimpulan

Gimana, guys? Seru kan belajar tentang rotasi garis? Dari soal ini, kita belajar bagaimana melakukan rotasi pada garis menggunakan transformasi rotasi dan bagaimana mencari titik-titik yang terletak pada garis hasil rotasi.

Intinya adalah:

Pahami konsep rotasi.
Gunakan rumus rotasi dengan benar.
Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke persamaan garis awal.
Cek apakah titik-titik yang diberikan memenuhi persamaan garis hasil rotasi.

Semoga penjelasan ini bermanfaat dan membantu kalian dalam memahami konsep rotasi garis. Selamat belajar dan sampai jumpa di pembahasan soal-soal menarik lainnya!