Rotasi Dan Refleksi Garis: Contoh Soal & Pembahasan

by ADMIN 52 views

Hey guys! Kali ini kita bakal membahas soal matematika yang cukup menarik, yaitu tentang rotasi dan refleksi garis. Mungkin sebagian dari kalian udah familiar dengan konsep ini, tapi nggak ada salahnya kan kita perdalam lagi? Soalnya, soal-soal kayak gini sering banget muncul di ujian, lho! Jadi, yuk kita simak pembahasannya!

Soal yang Menantang

Soal kita kali ini adalah: Bagaimana persamaan bayangan garis x - 2y + 4 = 0 jika dirotasikan sebesar 90 derajat searah jarum jam dengan pusat rotasi O(0,0), kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x?

Wah, keliatannya agak panjang ya? Tapi tenang, guys! Kita bakal pecah soal ini jadi langkah-langkah yang lebih kecil dan mudah dipahami. Intinya, kita harus mencari persamaan garis baru setelah garis awal mengalami dua transformasi: rotasi dan refleksi.

Konsep Dasar Rotasi dan Refleksi

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting banget buat kitaReview sedikit tentang konsep dasar rotasi dan refleksi. Ini bakal jadi fondasi yang kuat buat kita memahami langkah-langkah selanjutnya.

Rotasi

Dalam matematika, rotasi itu adalah transformasi yang memutar suatu objek (dalam kasus ini, garis) terhadap suatu titik pusat. Besarnya putaran dinyatakan dalam derajat, dan arah putarannya bisa searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.

Penting nih: Rotasi sebesar 90 derajat searah jarum jam itu sama dengan rotasi -90 derajat (berlawanan arah jarum jam). Jadi, kita bisa pakai salah satu aja, guys, sesuai dengan rumus yang kita punya.

Rumus umum rotasi sebesar θ (theta) terhadap pusat O(0,0) adalah:

  • x' = x cos θ - y sin θ
  • y' = x sin θ + y cos θ

Di mana (x, y) adalah koordinat titik awal, dan (x', y') adalah koordinat titik setelah rotasi.

Refleksi

Refleksi atau pencerminan adalah transformasi yang mencerminkan suatu objek terhadap suatu garis (sumbu refleksi). Dalam soal ini, sumbu refleksinya adalah garis y = x. Artinya, setiap titik pada garis awal akan dicerminkan terhadap garis y = x.

Rumus refleksi terhadap garis y = x itu simpel banget, guys:

  • x' = y
  • y' = x

Jadi, kita tinggal tukar aja nilai x dan y nya!

Langkah-Langkah Penyelesaian

Oke, sekarang kita udahReview konsep dasarnya. Saatnya kita pecahkan soal tadi langkah demi langkah. Biar nggak bingung, kita bagi jadi dua tahap:

Tahap 1: Rotasi

  1. Tentukan sudut rotasi: Dalam soal, garis dirotasikan sebesar 90 derajat searah jarum jam. Jadi, θ = -90 derajat (atau 270 derajat, sama aja ya!).

  2. Gunakan rumus rotasi: Kita punya rumus:

    • x' = x cos θ - y sin θ
    • y' = x sin θ + y cos θ

    Kita substitusikan θ = -90 derajat ke dalam rumus:

    • x' = x cos (-90°) - y sin (-90°)
    • y' = x sin (-90°) + y cos (-90°)

    Karena cos (-90°) = 0 dan sin (-90°) = -1, maka:

    • x' = x * 0 - y * (-1) = y
    • y' = x * (-1) + y * 0 = -x

  3. Substitusikan ke persamaan garis awal: Persamaan garis awal kita adalah x - 2y + 4 = 0. Kita substitusikan x = -y' dan y = x' (kita dapat dari persamaan rotasi tadi):

    • (-y') - 2(x') + 4 = 0
    • -y' - 2x' + 4 = 0

    Kita kalikan kedua ruas dengan -1 biar lebih rapi:

    • 2x' + y' - 4 = 0

    Nah, ini adalah persamaan garis setelah rotasi. Tapi, kita belum selesai! Kita masih harus melakukan refleksi.

Tahap 2: Refleksi

  1. Gunakan rumus refleksi: Kita punya rumus refleksi terhadap garis y = x:

    • x' = y
    • y' = x

  2. Substitusikan ke persamaan garis hasil rotasi: Persamaan garis hasil rotasi kita adalah 2x' + y' - 4 = 0. Kita substitusikan x' = y'' dan y' = x'' (kita pakai notasi double prime karena ini transformasi kedua):

    • 2(y'') + (x'') - 4 = 0
    • x'' + 2y'' - 4 = 0

  3. Sederhanakan (optional): Kita bisa hilangkan notasi double prime biar lebih enak dilihat:

    • x + 2y - 4 = 0

    Yesss! Akhirnya kita dapat persamaan garis hasil rotasi dan refleksi.

Jawaban Akhir

Jadi, persamaan bayangan garis x - 2y + 4 = 0 setelah dirotasikan 90 derajat searah jarum jam dan direfleksikan terhadap garis y = x adalah x + 2y - 4 = 0.

Tips dan Trik

  • Pahami konsep dasar: Rotasi dan refleksi itu punya rumus yang spesifik. Pastikan kalian bener-bener paham rumusnya dan kapan harus dipakai.
  • Pecah soal jadi langkah-langkah kecil: Soal transformasi geometri seringkali keliatan rumit karena ada banyak langkah. Coba pecah jadi langkah-langkah kecil, kayak yang kita lakukan tadi. Ini bakal bikin soal jadi lebih mudah dikerjakan.
  • Hati-hati dengan tanda: Salah tanda bisa bikin jawaban jadi salah total! Jadi, teliti banget ya pas substitusi dan hitung-hitung.
  • Latihan soal: Nggak ada jalan pintas menuju kesuksesan! Semakin banyak kalian latihan soal, semakin lancar kalian mengerjakan soal-soal kayak gini.

Kesimpulan

Nah, itu dia pembahasan soal tentang rotasi dan refleksi garis. Gimana, guys? Udah mulai kebayang kan cara ngerjainnya? Intinya, pahami konsep dasar, pecah soal jadi langkah-langkah kecil, dan jangan lupa latihan soal. Semangat terus belajarnya, ya! Sampai jumpa di pembahasan soal-soal lainnya!