Pembahasan Soal Eksponen & Grafik Fungsi Matematika Lengkap

Nov 12, 2025 by ADMIN 60 views

Hay guys! Kali ini kita bakal ngebahas tuntas soal-soal matematika tentang eksponen dan grafik fungsi. Materi ini penting banget buat dikuasai, apalagi buat kalian yang lagi persiapan ujian. Yuk, langsung aja kita bahas satu per satu!

Soal-Soal Eksponen dan Pembahasannya

Soal 1: Mencari Nilai X dalam Persamaan Eksponen

Soal: Jika 27^{2x - 1} = 18¹, maka nilai X adalah...

Pembahasan:

Oke, soal ini keliatannya agak rumit ya, tapi tenang, kita pecahkan sama-sama. Inti dari menyelesaikan persamaan eksponen adalah menyamakan basisnya. Jadi, kita coba ubah 27 dan 18 menjadi basis yang sama.

Perhatikan bahwa 27 itu sama dengan 3³ dan 18 itu bisa kita pecah jadi 2 * 3². Nah, dari sini kita bisa tulis ulang persamaan awalnya:

(3³)^{2x - 1} = 2 * 3²

Kita sederhanakan lagi:

3^{6x - 3} = 2 * 3²

Nah, di sini kita punya masalah nih, basis di ruas kiri dan kanan nggak sama persis. Di ruas kanan ada faktor 2 yang bikin repot. Tapi, kita bisa coba fokus ke bagian 3^{6x - 3} dan 3². Seandainya aja kita bisa bikin basis 3 di kedua ruas sama, kita bisa samakan pangkatnya. Sayangnya, dalam bentuk ini, kita gak bisa langsung menyamakan pangkatnya karena ada faktor 2 di sisi kanan.

Jadi, untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu logaritma. Kita bisa ambil logaritma kedua sisi persamaan (dengan basis berapa aja, tapi biasanya kita pakai logaritma basis 10 atau logaritma natural).

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponensiasi, jadi sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan di mana variabel muncul sebagai eksponen. Dengan menggunakan logaritma, kita dapat "menurunkan" eksponen menjadi perkalian, yang membuat persamaan lebih mudah dipecahkan. Dalam konteks ini, kita akan menggunakan sifat logaritma yang memungkinkan kita untuk memindahkan eksponen dari argumen logaritma menjadi koefisien, yaitu log_b(a^c) = c * log_b(a).

Mari kita terapkan logaritma pada kedua sisi persamaan kita:

log(3^{6x - 3}) = log(2 * 3²)

Sekarang kita gunakan sifat logaritma untuk menyederhanakan kedua sisi:

(6x - 3) * log(3) = log(2) + log(3²)

(6x - 3) * log(3) = log(2) + 2 * log(3)

Selanjutnya, kita akan membagi kedua sisi dengan log(3) untuk mengisolasi istilah yang mengandung x:

6x - 3 = (log(2) + 2 * log(3)) / log(3)

6x - 3 = log(2) / log(3) + 2

Sekarang, tambahkan 3 ke kedua sisi:

6x = log(2) / log(3) + 5

Akhirnya, bagi kedua sisi dengan 6 untuk mendapatkan nilai x:

x = (log(2) / log(3) + 5) / 6

Nilai log(2) dan log(3) dapat dihitung menggunakan kalkulator. log(2) ≈ 0.301 dan log(3) ≈ 0.477. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai x:

x ≈ (0.301 / 0.477 + 5) / 6 x ≈ (0.631 + 5) / 6 x ≈ 5.631 / 6 x ≈ 0.9385

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan awal adalah sekitar 0.9385. Ini adalah jawaban yang lebih akurat yang kita dapatkan dengan menggunakan logaritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.

Soal 2: Mencari Nilai X yang Memenuhi Persamaan Kuadrat dalam Bentuk Eksponen

Soal: Nilai X yang memenuhi persamaan 5^2x - 10 * 5^x + 25 = 0 adalah...

Pembahasan:

Nah, kalau soal ini, kita lihat ada bentuk kuadrat yang tersembunyi. Coba kita misalkan 5^x = y. Maka, persamaan kita jadi:

y² - 10y + 25 = 0

Ini kan persamaan kuadrat biasa ya. Kita bisa faktorkan:

(y - 5)² = 0

Jadi, kita dapat y = 5. Ingat, tadi kita misalkan 5^x = y, jadi:

5^x = 5

Nah, ini gampang kan? x = 1.

Soal 3: Menentukan Penyelesaian Persamaan Eksponen dengan Basis Berbeda

Soal: Tentukan penyelesaian dari persamaan 18^{5x - 2} = 32^{x + 1}

Pembahasan:

Sama kayak soal pertama, kita coba samakan basisnya. 18 itu 2 * 3² dan 32 itu 2⁵. Kita tulis ulang:

(2 * 3²)^{5x - 2} = (2⁵)^{x + 1}

Kita jabarkan:

2^{5x - 2} * 3^{10x - 4} = 2^{5x + 5}

Nah, di sini kita ketemu masalah lagi. Basisnya nggak bisa disamain langsung. Kita punya basis 2 dan 3 di ruas kiri, dan basis 2 di ruas kanan. Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan menggunakan logaritma. Dengan mengambil logaritma dari kedua sisi, kita dapat memisahkan eksponen dan menyederhanakan persamaan.

Mari kita ambil logaritma dari kedua sisi persamaan:

log(2^{5x - 2} * 3^{10x - 4}) = log(2^{5x + 5})

Menggunakan sifat logaritma bahwa log(a * b) = log(a) + log(b), kita dapat memisahkan logaritma di sisi kiri:

log(2^{5x - 2}) + log(3^{10x - 4}) = log(2^{5x + 5})

Selanjutnya, gunakan sifat logaritma log_b(a^c) = c * log_b(a) untuk membawa eksponen ke depan:

(5x - 2) * log(2) + (10x - 4) * log(3) = (5x + 5) * log(2)

Sekarang kita punya persamaan linear dalam x. Mari kita kelompokkan semua istilah yang mengandung x di satu sisi dan konstanta di sisi lain:

5x * log(2) - 2 * log(2) + 10x * log(3) - 4 * log(3) = 5x * log(2) + 5 * log(2)

Kurangkan 5x * log(2) dari kedua sisi:

-2 * log(2) + 10x * log(3) - 4 * log(3) = 5 * log(2)

Sekarang, pindahkan semua istilah tanpa x ke sisi kanan:

10x * log(3) = 5 * log(2) + 2 * log(2) + 4 * log(3)

10x * log(3) = 7 * log(2) + 4 * log(3)

Selanjutnya, bagi kedua sisi dengan 10 * log(3) untuk menyelesaikan x:

x = (7 * log(2) + 4 * log(3)) / (10 * log(3))

Kita bisa menggunakan kalkulator untuk menemukan nilai log(2) dan log(3). log(2) ≈ 0.301 dan log(3) ≈ 0.477.

x ≈ (7 * 0.301 + 4 * 0.477) / (10 * 0.477) x ≈ (2.107 + 1.908) / 4.77 x ≈ 4.015 / 4.77 x ≈ 0.8417

Jadi, solusi untuk persamaan tersebut adalah x ≈ 0.8417.

Soal-Soal Grafik Fungsi Eksponen

Soal 4: Menggambar Grafik Fungsi Eksponen

Soal: Gambarlah grafik fungsi eksponen f(x) = 3^x

Pembahasan:

Untuk menggambar grafik fungsi eksponen, kita perlu beberapa titik bantu. Kita bisa pilih beberapa nilai x, lalu hitung nilai f(x).

Misalnya:

x = -2, f(x) = 3^-2 = 1/9
x = -1, f(x) = 3^-1 = 1/3
x = 0, f(x) = 3⁰ = 1
x = 1, f(x) = 3¹ = 3
x = 2, f(x) = 3² = 9

Kita plot titik-titik ini di koordinat kartesius, lalu hubungkan dengan kurva mulus. Grafik fungsi eksponen akan selalu naik (karena basisnya lebih dari 1), dan mendekati sumbu x tapi tidak pernah memotongnya.

Soal 5: Mendeskripsikan Sifat-Sifat Grafik Fungsi Eksponen

Soal: Deskripsikan sifat-sifat grafik fungsi eksponen f(x) = 3^x

Pembahasan:

Nah, dari grafik yang udah kita gambar tadi, kita bisa lihat beberapa sifat penting:

Domain: Semua bilangan real (x bisa berapa aja)
Range: Bilangan real positif (f(x) selalu positif)
Asimtot: Sumbu x (grafik mendekati sumbu x tapi nggak pernah menyentuh)
Monoton naik: Grafik selalu naik dari kiri ke kanan
Memotong sumbu y di (0,1): Karena 3⁰ = 1
Tidak memotong sumbu x: Karena nggak ada nilai x yang bikin 3^x = 0

Kesimpulan

Nah, itu dia pembahasan lengkap tentang soal-soal eksponen dan grafik fungsi. Gimana, guys? Udah mulai kebayang kan cara ngerjainnya? Intinya, kuasai konsep dasar, banyak latihan soal, dan jangan takut buat nyoba cara-cara baru. Semoga pembahasan ini bermanfaat buat kalian ya! Semangat terus belajarnya!

Jangan lupa, matematika itu seru kok, asal kita mau belajar dan nggak gampang nyerah! Good luck!