Nilai Maksimum Fungsi Objektif: Cara Menghitungnya!

by ADMIN 52 views

Hey guys! Pernah nggak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin kepala pusing tujuh keliling? Nah, salah satu soal yang sering bikin bingung adalah mencari nilai maksimum dari suatu fungsi objektif dengan batasan-batasan tertentu. Kedengarannya rumit? Tenang, santai dulu! Di artikel ini, kita bakal kupas tuntas cara mencari nilai maksimum fungsi objektif, khususnya dengan metode grafik. Jadi, simak terus ya!

Apa Itu Fungsi Objektif dan Kendala?

Sebelum kita masuk ke cara menghitungnya, kita kenalan dulu yuk sama fungsi objektif dan kendala. Anggap aja fungsi objektif itu tujuan utama kita, misalnya kita pengen memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya. Fungsi objektif ini biasanya berbentuk persamaan linear, contohnya f(x, y) = 4x + 5y. Jadi, nilai fungsi ini tergantung sama nilai x dan y.

Nah, kendala itu batasan-batasan yang harus kita penuhi. Misalnya, kita punya keterbatasan sumber daya atau aturan tertentu yang harus diikuti. Kendala ini biasanya berbentuk pertidaksamaan linear, contohnya x + 2y ≥ 6 atau x + y ≤ 8. Kendala-kendala ini membatasi nilai x dan y yang bisa kita gunakan.

Jadi, intinya gini: Kita punya tujuan (fungsi objektif) yang pengen kita capai, tapi ada aturan mainnya (kendala) yang harus kita ikuti. Tugas kita adalah mencari nilai x dan y yang memenuhi semua kendala dan sekaligus membuat fungsi objektif kita mencapai nilai maksimum (atau minimum, tergantung soalnya).

Contoh Soal: Mencari Nilai Maksimum

Biar lebih jelas, yuk kita langsung ke contoh soal. Kita ambil contoh soal yang ada di keyword tadi:

Cari nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 4x + 5y yang memenuhi sistem pertidaksamaan:

  • x + 2y ≥ 6
  • x + y ≤ 8
  • x ≥ 0
  • y ≥ 0

Wah, keliatannya agak panjang ya? Tapi tenang, kita pecah jadi langkah-langkah kecil biar gampang:

Langkah 1: Menggambar Grafik Kendala

Langkah pertama adalah menggambar grafik dari setiap kendala. Ingat, kendala kita berbentuk pertidaksamaan, jadi grafiknya berupa daerah yang dibatasi oleh garis. Caranya gimana?

  1. Ubah pertidaksamaan jadi persamaan: Misalnya, x + 2y ≥ 6 kita ubah jadi x + 2y = 6.
  2. Cari dua titik yang memenuhi persamaan: Titik ini bisa kita dapatkan dengan memilih nilai x atau y sembarang, lalu mencari nilai pasangannya. Contoh:
    • Jika x = 0, maka 0 + 2y = 6, sehingga y = 3. Kita dapat titik (0, 3).
    • Jika y = 0, maka x + 2(0) = 6, sehingga x = 6. Kita dapat titik (6, 0).
  3. Hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus: Inilah garis yang merepresentasikan persamaan x + 2y = 6.
  4. Tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan: Karena pertidaksamaannya x + 2y ≥ 6, kita perlu menentukan daerah mana yang nilai x + 2y-nya lebih besar atau sama dengan 6. Caranya, kita bisa ambil titik uji (misalnya titik (0, 0)) dan substitusikan ke pertidaksamaan. Jika hasilnya benar, maka daerah yang mengandung titik uji adalah daerah yang memenuhi. Jika salah, maka daerah sebaliknya yang memenuhi. Dalam kasus ini, 0 + 2(0) ≥ 6 itu salah, jadi daerah yang memenuhi adalah daerah di atas garis.

Lakukan langkah-langkah ini untuk semua kendala. Untuk kendala x ≥ 0 dan y ≥ 0, daerahnya adalah kuadran pertama (daerah di mana x dan y positif).

Langkah 2: Menentukan Daerah Feasible (Daerah Layak)

Setelah kita menggambar semua grafik kendala, kita akan mendapatkan beberapa daerah yang diarsir. Daerah feasible (daerah layak) adalah daerah yang memenuhi semua kendala sekaligus. Jadi, daerah ini adalah irisan dari semua daerah yang diarsir tadi.

Biasanya, daerah feasible ini berbentuk poligon (segi banyak). Titik-titik sudut poligon ini sangat penting karena di sinilah kemungkinan nilai maksimum atau minimum fungsi objektif berada.

Langkah 3: Menghitung Nilai Fungsi Objektif di Titik-Titik Sudut

Nah, sekarang kita sudah punya daftar titik-titik sudut daerah feasible. Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai fungsi objektif f(x, y) = 4x + 5y di setiap titik sudut tersebut. Caranya gampang, tinggal substitusikan nilai x dan y dari setiap titik sudut ke dalam fungsi objektif.

Misalnya, kita punya titik sudut (2, 4). Maka, f(2, 4) = 4(2) + 5(4) = 8 + 20 = 28.

Langkah 4: Menentukan Nilai Maksimum (atau Minimum)

Setelah kita menghitung nilai fungsi objektif di semua titik sudut, kita tinggal bandingkan nilainya. Nilai yang paling besar adalah nilai maksimum fungsi objektif, dan nilai yang paling kecil adalah nilai minimum fungsi objektif.

Dalam contoh soal kita, setelah kita gambar grafiknya dan hitung nilai fungsi objektif di titik-titik sudut daerah feasible, kita akan mendapatkan nilai maksimum sebesar 40 yang terjadi pada titik (0, 8).

Tips Tambahan

  • Gambar Grafik dengan Rapi: Grafik yang rapi akan memudahkan kita melihat daerah feasible dan titik-titik sudutnya.
  • Perhatikan Skala: Pilih skala yang sesuai agar grafik kita tidak terlalu kecil atau terlalu besar.
  • Gunakan Warna Berbeda: Gunakan warna yang berbeda untuk setiap garis kendala agar tidak membingungkan.
  • Periksa Kembali: Setelah mendapatkan nilai maksimum (atau minimum), periksa kembali apakah titik tersebut benar-benar memenuhi semua kendala.

Kesimpulan

Mencari nilai maksimum fungsi objektif memang butuh ketelitian dan kesabaran. Tapi, dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kalian pasti bisa! Ingat, kuncinya adalah menggambar grafik kendala dengan benar, menentukan daerah feasible, menghitung nilai fungsi objektif di titik-titik sudut, dan membandingkan nilainya. Semangat belajar ya guys!

Semoga artikel ini bermanfaat dan bisa membantu kalian memahami cara mencari nilai maksimum fungsi objektif. Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya di kolom komentar ya! Sampai jumpa di artikel selanjutnya!