Menyelesaikan Soal Matematika Bentuk Sederhana Dan Operasi Aljabar

Memahami Bentuk Sederhana dan Operasi Aljabar dalam Matematika

Bentuk sederhana dari $2\sqrt{125} - 5\sqrt{245} + \sqrt{45} - 3\sqrt{80}$ merupakan soal matematika yang melibatkan penyederhanaan bentuk akar. Mari kita bedah soal ini secara mendalam, guys! Pertama-tama, kita perlu memahami konsep dasar penyederhanaan bentuk akar. Penyederhanaan bentuk akar melibatkan pencarian faktor-faktor kuadrat sempurna dari bilangan di dalam akar. Tujuannya adalah untuk mengeluarkan faktor-faktor kuadrat sempurna ini dari dalam akar, sehingga bentuknya menjadi lebih sederhana.

Mari kita mulai dengan $2\sqrt{125}$. Bilangan 125 dapat difaktorkan menjadi $25 \times 5$. Karena 25 adalah kuadrat sempurna (5 x 5), kita bisa menyederhanakannya menjadi $2 \times \sqrt{25 \times 5} = 2 \times 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$. Selanjutnya, kita punya $-5\sqrt{245}$. Bilangan 245 dapat difaktorkan menjadi $49 \times 5$. Karena 49 adalah kuadrat sempurna (7 x 7), kita bisa menyederhanakannya menjadi $-5 \times \sqrt{49 \times 5} = -5 \times 7\sqrt{5} = -35\sqrt{5}$. Sekarang, mari kita lihat $\sqrt{45}$. Bilangan 45 dapat difaktorkan menjadi $9 \times 5$. Karena 9 adalah kuadrat sempurna (3 x 3), kita bisa menyederhanakannya menjadi $\sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$. Terakhir, kita punya $-3\sqrt{80}$. Bilangan 80 dapat difaktorkan menjadi $16 \times 5$. Karena 16 adalah kuadrat sempurna (4 x 4), kita bisa menyederhanakannya menjadi $-3 \times \sqrt{16 \times 5} = -3 \times 4\sqrt{5} = -12\sqrt{5}$.

Setelah menyederhanakan setiap suku, kita memiliki $10\sqrt{5} - 35\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 12\sqrt{5}$. Sekarang, kita bisa menjumlahkan suku-suku yang memiliki akar yang sama. Jadi, $10\sqrt{5} - 35\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 12\sqrt{5} = (10 - 35 + 3 - 12)\sqrt{5} = -34\sqrt{5}$. Jadi, bentuk sederhana dari soal tersebut adalah $-34\sqrt{5}$. Gampang kan, guys? Kuncinya adalah mengenali kuadrat sempurna dan memfaktorkan bilangan di dalam akar dengan tepat. Latihan terus ya, biar makin jago!

Menghitung Nilai dari $(\sqrt{27} - \sqrt{125})(\sqrt{3} + \sqrt{30})$

Soal kedua meminta kita untuk menghitung nilai dari $(\sqrt{27} - \sqrt{125})(\sqrt{3} + \sqrt{30})$. Soal ini melibatkan operasi perkalian bentuk akar. Langkah pertama adalah menyederhanakan masing-masing bentuk akar di dalam kurung, sama seperti soal sebelumnya. Mari kita mulai dengan $\sqrt{27}$. Bilangan 27 dapat difaktorkan menjadi $9 \times 3$. Karena 9 adalah kuadrat sempurna (3 x 3), kita bisa menyederhanakannya menjadi $\sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$. Selanjutnya, kita punya $\sqrt{125}$. Seperti yang sudah kita hitung di soal sebelumnya, $\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$. Jadi, $(\sqrt{27} - \sqrt{125})$ menjadi $(3\sqrt{3} - 5\sqrt{5})$.

Sekarang, mari kita lihat $(\sqrt{3} + \sqrt{30})$. Bentuk akar $\sqrt{3}$ sudah sederhana, jadi kita biarkan saja. Untuk $\sqrt{30}$, kita bisa memfaktorkannya menjadi $2 \times 3 \times 5$. Karena tidak ada faktor kuadrat sempurna, maka $\sqrt{30}$ tetap dalam bentuk akar. Jadi, $(\sqrt{3} + \sqrt{30})$ tetap seperti itu. Sekarang, kita akan mengalikan $(3\sqrt{3} - 5\sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{30})$. Kita gunakan metode distribusi (hukum distributif), yaitu mengalikan setiap suku dalam kurung pertama dengan setiap suku dalam kurung kedua.

Jadi, $(3\sqrt{3} - 5\sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{30}) = (3\sqrt{3} \times \sqrt{3}) + (3\sqrt{3} \times \sqrt{30}) - (5\sqrt{5} \times \sqrt{3}) - (5\sqrt{5} \times \sqrt{30})$. Mari kita hitung satu per satu. $3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \times 3 = 9$. $3\sqrt{3} \times \sqrt{30} = 3\sqrt{90} = 3\sqrt{9 \times 10} = 3 \times 3\sqrt{10} = 9\sqrt{10}$. $5\sqrt{5} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{15}$. $5\sqrt{5} \times \sqrt{30} = 5\sqrt{150} = 5\sqrt{25 \times 6} = 5 \times 5\sqrt{6} = 25\sqrt{6}$.

Jadi, hasil perkaliannya adalah $9 + 9\sqrt{10} - 5\sqrt{15} - 25\sqrt{6}$. Karena tidak ada suku yang bisa dijumlahkan atau dikurangkan lagi, maka inilah jawaban akhirnya. Perhatikan bahwa dalam soal ini, kita perlu teliti dalam melakukan perkalian dan penyederhanaan bentuk akar. Ingat selalu hukum distributif dan cara menyederhanakan akar kuadrat.

Menghitung Hasil dari $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6})^2$

Soal terakhir meminta kita untuk menghitung hasil dari $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6})^2$. Soal ini melibatkan kuadrat dari sebuah trinomial (ekspresi dengan tiga suku) yang melibatkan bentuk akar. Untuk menyelesaikannya, kita bisa menggunakan rumus $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$. Dalam hal ini, $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3}$, dan $c = -\sqrt{6}$. Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus.

Jadi, $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{6})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) + 2(\sqrt{2})(-\sqrt{6}) + 2(\sqrt{3})(-\sqrt{6})$. Sekarang, mari kita hitung satu per satu. $(\sqrt{2})^2 = 2$. $(\sqrt{3})^2 = 3$. $(-\sqrt{6})^2 = 6$. $2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$. $2(\sqrt{2})(-\sqrt{6}) = -2\sqrt{12} = -2\sqrt{4 \times 3} = -2 \times 2\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$. $2(\sqrt{3})(-\sqrt{6}) = -2\sqrt{18} = -2\sqrt{9 \times 2} = -2 \times 3\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$.

Dengan demikian, kita memiliki $2 + 3 + 6 + 2\sqrt{6} - 4\sqrt{3} - 6\sqrt{2}$. Sekarang, kita jumlahkan bilangan bulatnya: $2 + 3 + 6 = 11$. Jadi, hasilnya adalah $11 + 2\sqrt{6} - 4\sqrt{3} - 6\sqrt{2}$. Tidak ada suku yang bisa dijumlahkan atau dikurangkan lagi karena memiliki akar yang berbeda. Oleh karena itu, inilah jawaban akhirnya. Soal ini mengharuskan kita untuk memahami cara mengkuadratkan trinomial dan melakukan operasi pada bentuk akar. Ingatlah untuk selalu berhati-hati dalam menghitung dan menyederhanakan setiap suku. Latihan terus-menerus akan membuat kalian semakin mahir dalam menyelesaikan soal-soal seperti ini. Semangat terus, guys!