Menghitung Nilai Invers Fungsi Akar Kuadrat

Halo, guys! Kali ini kita bakal ngebahas topik yang seru banget nih dari dunia matematika, yaitu tentang fungsi invers. Khususnya, kita akan fokus pada gimana cara menghitung nilai invers dari sebuah fungsi akar kuadrat. Udah kebayang kan gimana bentuknya? Nah, soal yang ada di depan kita ini adalah contoh klasik yang sering banget muncul, terutama buat kalian yang lagi persiapan ujian atau sekadar pengen ngasah otak. Kita punya fungsi $f(x) = \sqrt{2x + 3}$, dengan syarat $x \geq -3/2$. Terus, kita diminta mencari nilai dari $f^{-1}(3)$. Kedengarannya rumit? Tenang aja, kita bakal bedah pelan-pelan sampai paham banget.

Sebelum kita terjun ke perhitungan, penting banget buat kita ngerti dulu apa sih itu fungsi invers. Gampangnya gini, fungsi invers itu ibarat kayak kebalikan dari fungsi aslinya. Kalau fungsi $f$ mengubah nilai $x$ jadi $y$, nah fungsi invers $f^{-1}$ ini bakal ngubah nilai $y$ balik lagi jadi $x$. Jadi, kalau kita punya pasangan $(x, y)$ di fungsi $f$, maka di fungsi invers $f^{-1}$ bakal jadi pasangan $(y, x)$. Konsep ini krusial banget buat kita bisa nyelesaiin soal-soal kayak gini. Kita nggak perlu panik kalau ketemu simbol $f^{-1}(x)$, anggap aja itu adalah fungsi 'pencari' nilai awal.

Nah, sekarang kita lihat lagi fungsi yang kita punya: $f(x) = \sqrt{2x + 3}$. Domainnya adalah $x \geq -3/2$. Kenapa domain ini penting? Soalnya, fungsi akar kuadrat itu punya syarat, yaitu nilai di dalam akarnya nggak boleh negatif. Jadi, $2x + 3$ harus $\geq 0$. Kalau kita selesaikan ketaksamaan ini, kita dapat $2x \geq -3$, yang artinya $x \geq -3/2$. Jadi, domain yang dikasih di soal itu memang sudah sesuai dengan syarat fungsi akar kuadrat. Oke, sampai sini paham ya? Keren!

Sekarang, mari kita fokus pada tujuan utama kita: mencari nilai $f^{-1}(3)$. Ada dua cara utama buat nyari nilai ini. Cara pertama, kita cari dulu bentuk umum dari fungsi invers $f^{-1}(x)$, baru nanti kita substitusikan $x=3$. Cara kedua, kita bisa pakai pemahaman konsep invers tadi. Ingat, kalau $f(a) = b$, maka $f^{-1}(b) = a$. Nah, di soal ini kita mau cari $f^{-1}(3)$. Berarti, kita lagi nyari nilai $a$ sedemikian rupa sehingga $f(a) = 3$. Ini cara yang lebih cepat dan efisien, apalagi kalau kita cuma butuh satu nilai spesifik, bukan seluruh fungsi inversnya. Jadi, kita akan gunakan cara kedua ini, karena lebih singkat dan langsung ke sasaran. Yuk, kita mulai beraksi!

Mencari Nilai Fungsi Invers dengan Cepat

Oke, guys, kita sudah sepakat mau pakai cara cepat. Ingat lagi konsepnya: kalau kita mau cari $f^{-1}(3)$, itu sama aja dengan mencari nilai $x$ (atau kita sebut aja $a$ biar nggak bingung sama variabel $x$ di $f(x)$) sedemikian rupa sehingga $f(a) = 3$. Langsung aja kita substitusikan $a$ ke dalam fungsi $f(x)$ dan samakan hasilnya dengan 3.

Fungsi kita adalah $f(x) = \sqrt{2x + 3}$. Jadi, kalau kita ganti $x$ dengan $a$, jadinya $f(a) = \sqrt{2a + 3}$.

Sekarang, kita samakan $f(a)$ dengan 3:

$\sqrt{2a + 3} = 3$

Langkah selanjutnya adalah menghilangkan akar kuadratnya. Caranya gampang, kita kuadratkan kedua sisi persamaan. Ingat ya, mengkuadratkan kedua sisi itu aman dilakukan selama kedua sisi bernilai positif. Dalam kasus ini, sisi kanan jelas positif (yaitu 3), dan sisi kiri, $\sqrt{2a + 3}$, juga pasti positif karena hasil dari akar kuadrat memang selalu non-negatif.

$(\sqrt{2a + 3})^2 = 3^2$

$2a + 3 = 9$

Nah, sekarang kita punya persamaan linear biasa. Tinggal kita cari nilai $a$. Kurangi kedua sisi dengan 3:

$2a = 9 - 3$

$2a = 6$

Terakhir, bagi kedua sisi dengan 2:

$a = \frac{6}{2}$

$a = 3$

Jadi, kita dapatkan nilai $a$ adalah 3. Ingat, nilai $a$ ini adalah nilai yang kita cari untuk $f^{-1}(3)$. Jadi, $f^{-1}(3) = 3$. Gampang banget kan? Nggak perlu pusing mikirin rumus yang ribet, cukup pahami konsep dasarnya aja.

Kita juga perlu sedikit cross-check nih, apakah nilai $a=3$ ini memenuhi domain dari fungsi $f(x)$? Domainnya adalah $x \geq -3/2$. Karena $3 \geq -3/2$, jadi nilai $a=3$ ini valid. Ini penting biar jawaban kita benar-benar mantap.

Memverifikasi Jawaban dengan Cara Mencari Fungsi Invers Lengkap

Buat kalian yang masih penasaran atau pengen lebih yakin lagi, kita bisa coba cara kedua, yaitu mencari bentuk umum dari fungsi invers $f^{-1}(x)$ terlebih dahulu. Cara ini memang sedikit lebih panjang, tapi hasilnya harus sama. Ini juga bagus buat melatih kemampuan aljabar kalian, guys.

Langkah pertama dalam mencari fungsi invers adalah mengganti $f(x)$ dengan $y$. Jadi, kita punya:

$y = \sqrt{2x + 3}$

Selanjutnya, kita tukar posisi $x$ dan $y$. Ingat, ini adalah inti dari proses mencari fungsi invers. Kita menganggap $y$ sebagai input baru dan $x$ sebagai outputnya.

$x = \sqrt{2y + 3}$

Sekarang, tujuan kita adalah mengisolasi $y$ agar bisa kita tulis sebagai $f^{-1}(x)$. Langkah pertama, kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar:

$x^2 = (\sqrt{2y + 3})^2$

$x^2 = 2y + 3$

Selanjutnya, kita pindahkan konstanta 3 ke sisi kiri:

$x^2 - 3 = 2y$

Terakhir, bagi kedua sisi dengan 2 untuk mendapatkan $y$ sendirian:

$y = \frac{x^2 - 3}{2}$

Nah, inilah bentuk dari fungsi inversnya, $f^{-1}(x) = \frac{x^2 - 3}{2}$. Tapi, kita perlu hati-hati nih. Karena fungsi aslinya $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ punya domain $x \geq -3/2$ dan range $y \geq 0$, maka fungsi inversnya $f^{-1}(x)$ akan punya domain $x \geq 0$ dan range $y \geq -3/2$. Jadi, kita perlu membatasi domain dari $f^{-1}(x)$ menjadi $x \geq 0$.

Sekarang, kita tinggal substitusikan $x=3$ ke dalam fungsi invers yang sudah kita dapatkan:

$f^{-1}(3) = \frac{3^2 - 3}{2}$

$f^{-1}(3) = \frac{9 - 3}{2}$

$f^{-1}(3) = \frac{6}{2}$

$f^{-1}(3) = 3$

Dan voila! Hasilnya sama persis dengan cara pertama. Keduanya memberikan jawaban $f^{-1}(3) = 3$. Ini membuktikan bahwa pemahaman konsep dan perhitungan kita sudah benar. Jadi, pilihan yang tepat adalah A. 6 dan B. 3. Jawaban kita adalah 3.

Pentingnya Memahami Konsep Domain dan Range pada Fungsi Invers

Satu hal lagi yang penting buat kita garis bawahi, guys, adalah soal domain dan range. Pada soal ini, fungsi aslinya $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ memiliki domain $x \geq -3/2$. Nah, apa sih artinya domain ini? Artinya, kita hanya bisa memasukkan nilai $x$ yang lebih besar atau sama dengan $-3/2$ ke dalam fungsi ini agar hasilnya terdefinisi (tidak ada akar dari bilangan negatif). Lalu, bagaimana dengan range atau hasil dari fungsi $f(x)$? Karena $f(x)$ adalah akar kuadrat, hasil utamanya pasti selalu positif atau nol. Jadi, range dari $f(x)$ adalah $y \geq 0$.

Nah, ketika kita berbicara tentang fungsi invers, domain dan range ini bertukar tempat. Jadi, domain dari fungsi invers $f^{-1}(x)$ adalah range dari fungsi asli $f(x)$. Sebaliknya, range dari fungsi invers $f^{-1}(x)$ adalah domain dari fungsi asli $f(x)$.

Dalam kasus kita:

• Domain $f(x)$ adalah $x \geq -3/2$.
• Range $f(x)$ adalah $y \geq 0$.

Maka, untuk fungsi invers $f^{-1}(x)$:

• Domain $f^{-1}(x)$ adalah $x \geq 0$. Ini penting banget! Saat kita mencari bentuk umum $f^{-1}(x) = \frac{x^2 - 3}{2}$, kita harus ingat bahwa input untuk fungsi invers ini (yaitu $x$ pada $f^{-1}(x)$) haruslah nilai yang berasal dari range $f(x)$, yaitu $x \geq 0$.
• Range $f^{-1}(x)$ adalah $y \geq -3/2$. Ini adalah nilai-nilai hasil dari $f^{-1}(x)$, yang harus berada dalam domain $f(x)$.

Kenapa ini krusial? Coba bayangkan kalau kita diminta mencari $f^{-1}(-1)$. Kalau kita langsung pakai rumus $f^{-1}(x) = \frac{x^2 - 3}{2}$, kita akan dapat $\frac{(-1)^2 - 3}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$. Tapi, nilai input $-1$ ini tidak ada dalam domain $f^{-1}(x)$ yang seharusnya $x \geq 0$. Jadi, $f^{-1}(-1)$ itu tidak terdefinisi. Memahami domain dan range ini mencegah kita membuat kesalahan fatal dan memastikan bahwa setiap langkah perhitungan kita logis dan sesuai dengan definisi fungsi.

Jadi, selalu perhatikan domain dan range fungsi asli saat kalian menentukan domain dan range fungsi inversnya, ya! Ini akan sangat membantu kalian dalam menyelesaikan soal-soal matematika dengan lebih akurat dan percaya diri. Selamat belajar dan terus berlatih, guys!