Menentukan Range Pemetaan Fungsi: Contoh Soal

by ADMIN 46 views

Kalian pernah denger istilah range dalam matematika, kan? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas gimana cara nentuin range atau daerah hasil dari suatu pemetaan fungsi. Biar makin seru, kita langsung masuk ke contoh soal, ya!

Soal dan Pembahasan

Soal:

Diketahui himpunan R = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} dan himpunan S = {bilangan cacah}. Suatu pemetaan g: R → S didefinisikan sebagai berikut:

  • g(x) = x² + 1 untuk x = -3, -2, -1
  • g(x) = 3x + 2 untuk x = 0, 1, 2, 3

Tentukan daerah hasil (range) pemetaan tersebut.

Pembahasan:

Oke, guys, untuk nyelesain soal ini, kita perlu cari tau hasil pemetaan dari setiap elemen di himpunan R ke himpunan S. Caranya gimana? Tinggal substitusi aja nilai x dari himpunan R ke dalam fungsi g(x) yang sesuai.

Langkah 1: Substitusi untuk g(x) = x² + 1

Kita mulai dengan nilai x = -3, -2, dan -1:

  • Untuk x = -3: g(-3) = (-3)² + 1 = 9 + 1 = 10
  • Untuk x = -2: g(-2) = (-2)² + 1 = 4 + 1 = 5
  • Untuk x = -1: g(-1) = (-1)² + 1 = 1 + 1 = 2

Langkah 2: Substitusi untuk g(x) = 3x + 2

Sekarang kita lanjut dengan nilai x = 0, 1, 2, dan 3:

  • Untuk x = 0: g(0) = 3(0) + 2 = 0 + 2 = 2
  • Untuk x = 1: g(1) = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5
  • Untuk x = 2: g(2) = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8
  • Untuk x = 3: g(3) = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11

Langkah 3: Menentukan Daerah Hasil (Range)

Setelah kita hitung semua hasil pemetaannya, kita dapatkan nilai-nilai berikut: 10, 5, 2, 2, 5, 8, 11. Nah, daerah hasil (range) itu adalah himpunan dari semua nilai ini. Tapi, ingat guys, dalam himpunan, kalau ada nilai yang sama, cukup ditulis sekali aja.

Jadi, daerah hasil (range) dari pemetaan ini adalah {2, 5, 8, 10, 11}.

Penjelasan Tambahan: Memahami Daerah Hasil (Range) Secara Mendalam

Daerah hasil, atau yang sering disebut sebagai range, adalah salah satu konsep penting dalam memahami fungsi matematika. Dalam konteks pemetaan (fungsi), range adalah himpunan semua nilai output yang dihasilkan oleh fungsi tersebut ketika inputnya diambil dari domain (daerah asal). Dengan kata lain, range adalah himpunan semua nilai y yang mungkin dalam fungsi y = f(x), di mana x adalah elemen dari domain.

Perbedaan Antara Range dan Kodomain

Penting untuk membedakan antara range dan kodomain. Kodomain adalah himpunan yang berisi semua nilai output yang mungkin, sedangkan range adalah himpunan nilai output yang sebenarnya dihasilkan oleh fungsi. Dengan kata lain, range adalah subset dari kodomain. Misalnya, jika kita memiliki fungsi f: A → B, maka A adalah domain, B adalah kodomain, dan range adalah himpunan semua f(x) di mana x adalah elemen dari A. Range ini selalu merupakan subset dari B, tetapi tidak selalu sama dengan B.

Cara Menentukan Range

Menentukan range suatu fungsi bisa menjadi tantangan tersendiri, tergantung pada jenis fungsi dan domain yang diberikan. Berikut beberapa metode umum yang bisa digunakan:

  1. Substitusi Langsung: Jika domainnya terbatas (seperti pada contoh soal kita), kita bisa substitusikan setiap elemen domain ke dalam fungsi dan mencatat semua nilai output yang dihasilkan. Himpunan dari semua nilai output ini adalah range.
  2. Analisis Grafik: Jika kita memiliki grafik fungsi, kita bisa menentukan range dengan melihat semua nilai y yang dicakup oleh grafik tersebut. Ini terutama berguna untuk fungsi kontinu.
  3. Mencari Nilai Minimum dan Maksimum: Untuk beberapa fungsi, kita bisa menentukan range dengan mencari nilai minimum dan maksimum dari fungsi tersebut pada domain yang diberikan. Misalnya, jika fungsi kuadrat memiliki nilai minimum m dan nilai maksimum M pada domain tertentu, maka range fungsi tersebut adalah [m, M].
  4. Menggunakan Sifat Fungsi: Beberapa fungsi memiliki sifat-sifat khusus yang bisa membantu kita menentukan range. Misalnya, fungsi eksponensial selalu menghasilkan nilai positif, sehingga range-nya adalah (0, ∞).

Contoh Lain Menentukan Range

Contoh 1:

Tentukan range dari fungsi f(x) = x² dengan domain D = {-2, -1, 0, 1, 2}.

Penyelesaian:

  • f(-2) = (-2)² = 4
  • f(-1) = (-1)² = 1
  • f(0) = 0² = 0
  • f(1) = 1² = 1
  • f(2) = 2² = 4

Jadi, range dari fungsi ini adalah {0, 1, 4}.

Contoh 2:

Tentukan range dari fungsi f(x) = 2x + 1 dengan domain semua bilangan real.

Penyelesaian:

Karena x bisa berupa bilangan real apa saja, maka 2x juga bisa berupa bilangan real apa saja. Akibatnya, 2x + 1 juga bisa berupa bilangan real apa saja. Jadi, range dari fungsi ini adalah semua bilangan real.

Kesimpulan

Menentukan daerah hasil (range) pemetaan fungsi itu seru, kan? Intinya, kita cuma perlu substitusi nilai dari domain ke dalam fungsi, terus catat semua hasilnya. Jangan lupa, kalau ada nilai yang sama, cukup tulis sekali aja di dalam himpunan range. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan bikin kalian makin jago matematika, ya! Semangat terus belajarnya, guys! Jangan lupa, matematika itu asyik kalau kita paham konsepnya. Selamat mencoba soal-soal lainnya dan sampai jumpa di pembahasan berikutnya!