Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan: Panduan Lengkap

by ADMIN 63 views

Yo guys, kali ini kita bakal bahas tuntas tentang cara menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan. Materi ini penting banget dalam matematika, apalagi kalau kalian lagi belajar program linear. Jadi, simak baik-baik ya!

Memahami Konsep Dasar Pertidaksamaan

Sebelum kita masuk ke soal-soal yang lebih kompleks, ada baiknya kita pahami dulu konsep dasar pertidaksamaan. Pertidaksamaan adalah kalimat matematika yang menggunakan simbol-simbol seperti < (kurang dari), > (lebih dari), ≤ (kurang dari atau sama dengan), dan ≥ (lebih dari atau sama dengan). Nah, tujuan kita adalah mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Daerah penyelesaian pertidaksamaan adalah himpunan semua titik yang koordinatnya memenuhi pertidaksamaan tersebut. Biasanya, daerah penyelesaian ini digambarkan dalam bentuk grafik. Untuk pertidaksamaan linear dua variabel (misalnya x dan y), daerah penyelesaiannya berupa daerah yang dibatasi oleh garis lurus.

Langkah-langkah Menentukan Daerah Penyelesaian

Berikut adalah langkah-langkah umum untuk menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

  1. Gambar Garis Batas: Ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan, lalu gambar garisnya pada bidang koordinat. Misalnya, jika pertidaksamaannya adalah 4x + 5y ≤ 20, ubah menjadi 4x + 5y = 20. Untuk menggambar garis, cari dua titik yang memenuhi persamaan tersebut, lalu hubungkan.
  2. Tentukan Daerah Uji: Pilih sebuah titik uji yang tidak terletak pada garis batas. Biasanya, titik (0,0) adalah pilihan yang paling mudah. Substitusikan koordinat titik uji ke dalam pertidaksamaan.
  3. Uji Titik: Jika titik uji memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang mengandung titik uji adalah daerah penyelesaian. Jika tidak memenuhi, maka daerah sebaliknya adalah daerah penyelesaian.
  4. Arsir Daerah Penyelesaian: Arsir atau warnai daerah yang merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.
  5. Tentukan Daerah Penyelesaian Sistem: Jika ada lebih dari satu pertidaksamaan (sistem pertidaksamaan), maka daerah penyelesaiannya adalah daerah yang merupakan irisan dari semua daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Sekarang, mari kita coba terapkan langkah-langkah di atas pada contoh soal yang diberikan:

Soal 1:

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:

{4x+5y≤20x≥0y≥0 \begin{cases} 4x + 5y \leq 20 \\ x \geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}

untuk x dan y anggota bilangan real.

Pembahasan:

  1. Gambar Garis Batas:
    • 4x + 5y = 20. Untuk menggambar garis ini, kita cari dua titik:
      • Jika x = 0, maka 5y = 20 → y = 4. Jadi, titik (0,4)
      • Jika y = 0, maka 4x = 20 → x = 5. Jadi, titik (5,0)
    • Garis x = 0 adalah sumbu y.
    • Garis y = 0 adalah sumbu x.
  2. Tentukan Daerah Uji: Kita gunakan titik (0,0).
  3. Uji Titik:
    • Untuk 4x + 5y ≤ 20:
      • 4(0) + 5(0) ≤ 20 → 0 ≤ 20 (Benar)
    • Untuk x ≥ 0: 0 ≥ 0 (Benar)
    • Untuk y ≥ 0: 0 ≥ 0 (Benar)
  4. Arsir Daerah Penyelesaian: Karena titik (0,0) memenuhi semua pertidaksamaan, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah yang mengandung titik (0,0). Selain itu, karena x ≥ 0 dan y ≥ 0, maka daerah penyelesaiannya hanya berada di kuadran I.

Kesimpulan: Daerah penyelesaiannya adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh garis 4x + 5y = 20, sumbu x, dan sumbu y. Dalam pilihan ganda, jawaban yang sesuai adalah A. I (dengan asumsi bahwa daerah I adalah daerah yang dimaksud).

Soal 2:

Perhatikan gambar grafik berikut. Tentukan daerah penyelesaiannya.

(Karena tidak ada gambar grafik yang diberikan, saya akan memberikan contoh grafik dan pembahasannya)

Contoh Grafik:

Misalkan kita punya grafik dengan garis batas y = x + 2 dan y = -x + 4. Daerah yang diarsir adalah daerah di antara kedua garis tersebut, dan di atas sumbu x.

Pembahasan:

  1. Identifikasi Garis Batas: Dari grafik, kita bisa melihat dua garis batas, yaitu y = x + 2 dan y = -x + 4.
  2. Tentukan Pertidaksamaan:
    • Untuk garis y = x + 2, daerah yang diarsir berada di atas garis, sehingga pertidaksamaannya adalah y ≥ x + 2.
    • Untuk garis y = -x + 4, daerah yang diarsir berada di bawah garis, sehingga pertidaksamaannya adalah y ≤ -x + 4.
    • Karena daerahnya berada di atas sumbu x, maka y ≥ 0.
  3. Sistem Pertidaksamaan: Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah:

{y≥x+2y≤−x+4y≥0 \begin{cases} y \geq x + 2 \\ y \leq -x + 4 \\ y \geq 0 \end{cases}

Kesimpulan: Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memenuhi ketiga pertidaksamaan tersebut. Tanpa grafik yang spesifik, sulit untuk menentukan jawaban yang pasti, tetapi ini adalah cara untuk menganalisisnya.

Tips dan Trik

  • Gunakan Kertas Grafis: Menggambar grafik dengan tepat sangat penting. Gunakan kertas grafis atau aplikasi grafik untuk hasil yang lebih akurat.
  • Perhatikan Tanda Pertidaksamaan: Tanda pertidaksamaan (≤, ≥, <, >) menentukan apakah garis batas termasuk dalam daerah penyelesaian atau tidak. Jika tandanya ≤ atau ≥, garis batas termasuk. Jika tandanya < atau >, garis batas tidak termasuk (digambar sebagai garis putus-putus).
  • Cek Ulang: Setelah menemukan daerah penyelesaian, cek ulang dengan memilih beberapa titik di dalam daerah tersebut dan memastikan bahwa titik-titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

Kesimpulan

Menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan memang butuh ketelitian, tapi dengan memahami konsep dasar dan mengikuti langkah-langkah yang tepat, kalian pasti bisa! Jangan lupa untuk selalu berlatih soal-soal yang berbeda agar semakin mahir. Semoga panduan ini bermanfaat ya, guys! Semangat terus belajarnya!

Dengan panduan ini, diharapkan kalian bisa lebih memahami cara menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan. Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya ya! Selamat belajar dan semoga sukses!