Menemukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan: Solusi Matematika!

Guys, kali ini kita akan membahas tentang daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear, khususnya yang melibatkan beberapa batasan sekaligus. Pertidaksamaan yang akan kita pecahkan adalah $5x + 2y \ge 10$; $5x + 4y \le 20$; dan $y \ge 2$. Jangan khawatir kalau masih terasa asing, karena kita akan membahasnya langkah demi langkah dengan cara yang mudah dipahami. Tujuannya adalah agar kalian bisa menemukan daerah penyelesaian dengan mudah dan tepat. Jadi, mari kita mulai petualangan matematika yang seru ini!

Memahami Konsep Dasar Pertidaksamaan Linear

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, ada baiknya kita ingat kembali konsep dasar dari pertidaksamaan linear. Pertidaksamaan linear adalah kalimat matematika yang menyatakan hubungan tidak sama antara dua ekspresi linear. Bentuk umumnya adalah $ax + by \ge c$, $ax + by \le c$, $ax + by > c$, atau $ax + by < c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta, dan $x$ serta $y$ adalah variabel. Perbedaan utama antara persamaan dan pertidaksamaan adalah adanya tanda ketidaksamaan ($\ge$, $\le$, $>$, atau $<$). Tanda-tanda ini menunjukkan bahwa solusi dari pertidaksamaan bukanlah satu titik tertentu, melainkan suatu daerah yang memenuhi kondisi yang diberikan.

Penting untuk diingat: setiap pertidaksamaan linear merepresentasikan sebuah garis pada bidang kartesius. Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut terletak di salah satu sisi garis tersebut. Untuk menentukan sisi mana yang menjadi daerah penyelesaian, kita bisa menggunakan beberapa cara, misalnya dengan menguji titik (0,0) atau titik lain yang mudah dihitung. Jika titik uji memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang mengandung titik uji adalah daerah penyelesaian. Jika tidak, maka daerah di sisi lain garis adalah daerah penyelesaian.

Dalam soal ini, kita akan menghadapi tiga pertidaksamaan sekaligus, yang berarti kita akan memiliki tiga garis. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ini adalah daerah yang memenuhi semua tiga pertidaksamaan tersebut secara bersamaan. Bisa dibilang, daerah penyelesaian adalah irisan dari semua daerah penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan. Jadi, kita harus teliti dalam menggambar garis, menentukan daerah penyelesaian untuk masing-masing pertidaksamaan, dan mencari irisan dari semua daerah tersebut.

Langkah-langkah Penyelesaian Pertidaksamaan

Oke guys, sekarang kita akan masuk ke langkah-langkah konkret dalam menyelesaikan soal kita. Kita akan memecah soal ini menjadi beberapa langkah mudah agar lebih mudah dipahami. Jangan khawatir jika awalnya terasa rumit, karena dengan latihan, kalian pasti akan semakin mahir.

Langkah 1: Menggambar Garis Pertidaksamaan

Langkah pertama adalah menggambar garis untuk setiap pertidaksamaan. Kita akan mengubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan terlebih dahulu. Tujuannya adalah untuk mendapatkan persamaan garis lurus yang bisa kita gambar pada bidang kartesius.

• Pertidaksamaan 1: $5x + 2y \ge 10$. Ubah menjadi persamaan: $5x + 2y = 10$. Untuk menggambar garis ini, kita bisa mencari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.
  • Titik potong dengan sumbu x (y = 0): $5x = 10 \Rightarrow x = 2$. Jadi, titiknya adalah (2, 0).
  • Titik potong dengan sumbu y (x = 0): $2y = 10 \Rightarrow y = 5$. Jadi, titiknya adalah (0, 5).
• Pertidaksamaan 2: $5x + 4y \le 20$. Ubah menjadi persamaan: $5x + 4y = 20$. Cari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.
  • Titik potong dengan sumbu x (y = 0): $5x = 20 \Rightarrow x = 4$. Jadi, titiknya adalah (4, 0).
  • Titik potong dengan sumbu y (x = 0): $4y = 20 \Rightarrow y = 5$. Jadi, titiknya adalah (0, 5).
• Pertidaksamaan 3: $y \ge 2$. Ubah menjadi persamaan: $y = 2$. Ini adalah garis horizontal yang memotong sumbu y di titik (0, 2).

Tips: Gunakan penggaris dan pensil untuk menggambar garis dengan rapi. Jika menggunakan kertas berpetak, akan lebih mudah menentukan titik-titik koordinatnya. Pastikan kalian menggambar semua garis ini pada bidang kartesius yang sama agar mudah melihat daerah penyelesaiannya.

Langkah 2: Menentukan Daerah Penyelesaian untuk Setiap Pertidaksamaan

Setelah menggambar garis, langkah selanjutnya adalah menentukan daerah penyelesaian untuk masing-masing pertidaksamaan. Kita akan menggunakan metode pengujian titik untuk menentukan sisi mana dari garis yang menjadi daerah penyelesaian.

• Pertidaksamaan 1: $5x + 2y \ge 10$. Uji titik (0, 0): $5(0) + 2(0) \ge 10 \Rightarrow 0 \ge 10$. Pernyataan ini salah. Karena (0, 0) tidak memenuhi pertidaksamaan, maka daerah penyelesaian adalah sisi yang tidak mengandung titik (0, 0).
• Pertidaksamaan 2: $5x + 4y \le 20$. Uji titik (0, 0): $5(0) + 4(0) \le 20 \Rightarrow 0 \le 20$. Pernyataan ini benar. Karena (0, 0) memenuhi pertidaksamaan, maka daerah penyelesaian adalah sisi yang mengandung titik (0, 0).
• Pertidaksamaan 3: $y \ge 2$. Uji titik (0, 0): $0 \ge 2$. Pernyataan ini salah. Karena (0, 0) tidak memenuhi pertidaksamaan, maka daerah penyelesaian adalah sisi yang tidak mengandung titik (0, 0), yaitu daerah di atas garis $y = 2$.

Perhatikan: untuk pertidaksamaan dengan tanda $\ge$ atau $\le$, garisnya digambar secara penuh (tidak putus-putus). Jika tandanya adalah $>$ atau $<$, maka garisnya digambar putus-putus, yang menandakan bahwa titik-titik pada garis tersebut tidak termasuk dalam daerah penyelesaian.

Langkah 3: Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan

Nah, ini dia bagian yang paling penting! Setelah menentukan daerah penyelesaian untuk masing-masing pertidaksamaan, langkah terakhir adalah mencari irisan dari semua daerah penyelesaian tersebut. Daerah irisan ini adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan. Artinya, daerah tersebut harus terletak di sisi yang benar dari semua garis yang telah kita gambar.

Visualisasikan semua daerah penyelesaian pada bidang kartesius. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memiliki semua arsiran dari ketiga pertidaksamaan tersebut. Jika kalian menggambar dengan benar, kalian akan melihat bahwa daerah penyelesaian membentuk suatu bangun tertentu (misalnya, segitiga, segiempat, atau bahkan daerah tak terbatas). Pastikan kalian mengarsir daerah penyelesaian dengan jelas agar mudah dikenali.

Memilih Jawaban yang Tepat

Setelah menyelesaikan langkah-langkah di atas, kita akan mendapatkan daerah penyelesaian yang merupakan irisan dari ketiga pertidaksamaan. Dalam soal pilihan ganda seperti ini, kita harus mencocokkan daerah penyelesaian yang kita temukan dengan pilihan jawaban yang tersedia.

Perhatikan baik-baik letak daerah penyelesaian pada bidang kartesius. Apakah daerah tersebut terletak di kuadran I, II, III, atau IV? Atau mungkin sebagian di kuadran tertentu dan sebagian lagi di kuadran lainnya? Bandingkan dengan pilihan jawaban yang diberikan.

Dalam soal ini, pilihan jawaban yang mungkin adalah O I, O II, O III, atau O IV, yang mengacu pada kuadran-kuadran pada bidang kartesius. Setelah menggambar dan menentukan daerah penyelesaian, kalian akan melihat bahwa daerah penyelesaian terletak pada kuadran tertentu. Pilihlah jawaban yang sesuai dengan kuadran tempat daerah penyelesaian berada.

Tips: Jika kalian ragu, coba uji titik di dalam daerah yang diduga sebagai daerah penyelesaian ke dalam semua pertidaksamaan. Jika semua pertidaksamaan terpenuhi, maka daerah tersebut memang adalah daerah penyelesaian. Dengan begitu, kalian bisa memastikan bahwa jawaban yang kalian pilih sudah tepat.

Kesimpulan

Wah, guys, kita sudah sampai di akhir pembahasan tentang daerah penyelesaian pertidaksamaan linear. Kita telah mempelajari konsep dasar, langkah-langkah penyelesaian, dan cara memilih jawaban yang tepat. Ingatlah bahwa kunci utama dalam menyelesaikan soal seperti ini adalah ketelitian dalam menggambar garis, menentukan daerah penyelesaian, dan mencari irisan dari semua daerah penyelesaian.

Dengan memahami konsep dan langkah-langkah yang telah kita bahas, kalian akan semakin percaya diri dalam menghadapi soal-soal pertidaksamaan linear. Teruslah berlatih dan jangan ragu untuk bertanya jika ada hal yang kurang jelas. Selamat belajar dan semoga sukses!

Kesimpulan Singkat: Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama gambar garis-garis pertidaksamaan. Kemudian, tentukan daerah penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan dengan menguji titik. Terakhir, tentukan irisan dari semua daerah penyelesaian tersebut. Cocokkan daerah penyelesaian yang ditemukan dengan pilihan jawaban yang tersedia.