Mencari F(x) Dari Komposisi Fungsi (f O G)(x) Dan G(x)

Oct 15, 2025 by ADMIN 55 views

Oke, guys! Kali ini kita bakal bahas tuntas gimana caranya nyari fungsi f(x) kalau kita udah dikasih tau dua hal penting: fungsi komposisi $(f ext{ o } g)(x)$ dan fungsi $g(x)$ itu sendiri. Buat kalian yang lagi pusing sama soal matematika kayak gini, santai aja, karena gue bakal jabarin pelan-pelan biar gampang dipahami. Soalnya, konsep dasar fungsi komposisi ini penting banget buat bekal kalian di jenjang pendidikan yang lebih tinggi, bahkan sampai kuliah nanti. Jadi, yuk kita mulai petualangan matematika kita hari ini!

Memahami Konsep Dasar Fungsi Komposisi

Sebelum kita nyemplung ke soal yang spesifik, penting banget buat kita pahami dulu apa sih maksudnya fungsi komposisi itu. Gampangnya gini, fungsi komposisi itu adalah fungsi yang dibikin dari dua fungsi lain. Kalau kita punya fungsi $f$ dan fungsi $g$ , maka $(f ext{ o } g)(x)$ itu artinya kita masukin dulu si $x$ ke dalam fungsi $g$ , hasilnya nanti dimasukin lagi ke dalam fungsi $f$ . Jadi, urutannya itu $x ightarrow g ightarrow f$ . Kebalikannya, kalau $(g ext{ o } f)(x)$ , berarti $x ightarrow f ightarrow g$ . Nah, yang perlu diingat, umumnya $(f ext{ o } g)(x)$ itu nggak bakal sama hasilnya sama $(g ext{ o } f)(x)$ . Jadi, urutan itu penting banget, ya!

Dalam soal yang bakal kita bahas ini, kita dikasih tau $(f ext{ o } g)(x) = rac{3x-1}{x-2}$ dan $g(x) = rac{x+2}{2x-3}$ . Tugas kita adalah nyari bentuk asli dari fungsi $f(x)$ . Ibaratnya, kita tahu hasil akhir dari sebuah resep masakan yang udah dicampur-campur, dan kita dikasih tau salah satu bahan utamanya, nah kita harus nebak bahan utama yang satunya lagi. Keren kan? Konsep ini sering banget muncul di ujian, jadi nguasain ini bakal jadi senjata ampuh buat kalian.

Strategi Menemukan f(x)

Nah, gimana sih strategi jitunya buat nemuin f(x)? Kunci utamanya adalah kita perlu memanipulasi si fungsi $g(x)$ sampai bentuknya menyerupai variabel yang ada di dalam $(f ext{ o } g)(x)$ . Begini langkah-langkahnya secara umum:

Substitusi Variabel: Kita misalkan dulu variabel di dalam fungsi $g(x)$ . Misalnya, kita bikin permisalan $y = g(x)$ .
Cari Invers g(x): Dari permisalan $y = g(x)$ , kita harus bisa ngubah-ubah bentuk persamaannya sampai ketemu $x = g^{-1}(y)$ . Ini yang disebut sebagai fungsi invers dari $g$ . Mencari fungsi invers ini juga punya triknya sendiri, guys. Kalau kita punya fungsi $h(x) = rac{ax+b}{cx+d}$ , maka inversnya $h^{-1}(x) = rac{-dx+b}{cx-a}$ . Nanti kita pakai trik ini buat nyari invers dari $g(x)$ .
Substitusi ke Fungsi Komposisi: Setelah kita dapet $x$ dalam bentuk $g^{-1}(y)$ , kita substitusikan bentuk $g(x)$ yang sama dengan $y$ tadi ke dalam fungsi komposisi $(f ext{ o } g)(x)$ . Ingat, $(f ext{ o } g)(x)$ itu kan artinya $f(g(x))$ . Kalau kita udah misalkan $y = g(x)$ , berarti $(f ext{ o } g)(x)$ itu sama aja dengan $f(y)$ .
Selesaikan Persamaan: Sekarang kita punya persamaan yang bentuknya $f(y) = ext{suatu bentuk dalam } y$ . Langkah terakhir adalah tinggal mengganti variabel $y$ dengan $x$ lagi untuk mendapatkan bentuk $f(x)$ yang asli.

Kelihatannya mungkin agak ribet, tapi kalau udah dipraktikkan langsung, pasti jadi lebih kebayang. Yuk, kita langsung cobain pakai contoh soal yang ada!

Menyelesaikan Soal Spesifik: Mencari f(x) dari g(x) dan (f o g)(x)

Oke, guys, sekarang kita fokus ke soal yang diberikan: Diketahui $g(x) = rac{x+2}{2x-3}$ dan $(f ext{ o } g)(x) = rac{3x-1}{x-2}$ . Kita harus menemukan $f(x)$ .

Ikuti langkah-langkah yang sudah kita bahas tadi, ya. Dijamin mantul!

Langkah 1: Misalkan g(x)

Langkah pertama, kita misalkan $y = g(x)$ .

$y = rac{x+2}{2x-3}$

Sekarang, tujuan kita adalah mengubah persamaan ini agar $x$ menjadi subjeknya, atau dengan kata lain, kita akan mencari invers dari fungsi $g(x)$ tapi dalam bentuk $x$ sama dengan sesuatu.

Langkah 2: Cari Invers dari g(x) (Menemukan x dalam bentuk g^{-1}(y))

Kita akan memanipulasi persamaan $y = rac{x+2}{2x-3}$ untuk mendapatkan $x$ .

Kalikan kedua sisi dengan $(2x-3)$ untuk menghilangkan penyebut:

$y(2x-3) = x+2$

Sebarkan $y$ ke dalam kurung:

$2xy - 3y = x+2$

Sekarang, kita kumpulkan semua suku yang mengandung $x$ di satu sisi dan suku yang tidak mengandung $x$ di sisi lain. Pindahkan $x$ dari sisi kanan ke sisi kiri, dan $-3y$ dari sisi kiri ke sisi kanan:

$2xy - x = 3y + 2$

Faktorkan $x$ dari suku-suku di sisi kiri:

$x(2y - 1) = 3y + 2$

Terakhir, bagi kedua sisi dengan $(2y - 1)$ untuk mendapatkan $x$ sendirian:

$x = rac{3y+2}{2y-1}$

Jadi, kita sudah berhasil mendapatkan bentuk $x$ dalam kaitannya dengan $y$ . Ini artinya, kita sudah menemukan invers dari $g(x)$ , yaitu $g^{-1}(y) = rac{3y+2}{2y-1}$ . Kalau mau ditulis dalam variabel $x$ , maka $g^{-1}(x) = rac{3x+2}{2x-1}$ . Tapi untuk langkah selanjutnya, kita akan pakai bentuk $x = rac{3y+2}{2y-1}$ karena kita sudah memisalkan $y=g(x)$ .

Langkah 3: Substitusi ke Fungsi Komposisi $(f ext{ o } g)(x)$

Ingat lagi, $(f ext{ o } g)(x)$ itu sama dengan $f(g(x))$ . Karena kita sudah memisalkan $y = g(x)$ , maka $(f ext{ o } g)(x)$ bisa kita tulis sebagai $f(y)$ .

Kita punya informasi bahwa $(f ext{ o } g)(x) = rac{3x-1}{x-2}$ .

Sekarang, bagian pentingnya: kita harus mengganti semua $x$ dalam ekspresi $rac{3x-1}{x-2}$ dengan ekspresi untuk $x$ yang sudah kita temukan di Langkah 2, yaitu $x = rac{3y+2}{2y-1}$ . Kenapa begitu? Karena ekspresi $rac{3x-1}{x-2}$ itu adalah hasil dari $f(g(x))$ , dan kita ingin mengubahnya menjadi $f(y)$ .

Jadi, kita substitusikan $x = rac{3y+2}{2y-1}$ ke dalam $rac{3x-1}{x-2}$ :

$f(y) = rac{3 egin{pmatrix} rac{3y+2}{2y-1} emove{ ) } - 1}{ egin{pmatrix} rac{3y+2}{2y-1} emove{ ) } - 2}$

Perhatikan tanda kurung yang saya tambahkan dan hilangkan untuk kejelasan. Intinya, semua variabel $x$ di ruas kanan diganti dengan $rac{3y+2}{2y-1}$ .

Langkah 4: Sederhanakan dan Temukan f(x)

Sekarang saatnya kita melakukan operasi aljabar untuk menyederhanakan ekspresi di atas dan mendapatkan bentuk $f(y)$ yang paling sederhana.

Untuk menyederhanakan pembilang $ig( 3 rac{3y+2}{2y-1} - 1 ig)$ , kita samakan penyebutnya:

$3 rac{3y+2}{2y-1} - 1 = rac{3(3y+2)}{2y-1} - rac{1(2y-1)}{2y-1}$

$= rac{9y+6}{2y-1} - rac{2y-1}{2y-1}$

$= rac{(9y+6) - (2y-1)}{2y-1}$

$= rac{9y+6 - 2y + 1}{2y-1}$

$= rac{7y+7}{2y-1}$

Selanjutnya, kita sederhanakan penyebut $ig( rac{3y+2}{2y-1} - 2 ig)$ dengan menyamakan penyebutnya:

$rac{3y+2}{2y-1} - 2 = rac{3y+2}{2y-1} - rac{2(2y-1)}{2y-1}$

$= rac{3y+2 - (4y-2)}{2y-1}$

$= rac{3y+2 - 4y + 2}{2y-1}$

$= rac{-y+4}{2y-1}$

Sekarang, kita gabungkan kembali pembilang dan penyebut yang sudah disederhanakan tadi:

$f(y) = rac{ rac{7y+7}{2y-1}}{ rac{-y+4}{2y-1}}$

Untuk membagi pecahan, kita kalikan pembilang dengan kebalikan dari penyebut:

$f(y) = rac{7y+7}{2y-1} imes rac{2y-1}{-y+4}$

Kita bisa mencoret $(2y-1)$ karena muncul di pembilang dan penyebut:

$f(y) = rac{7y+7}{-y+4}$

Kita juga bisa menulisnya sebagai:

$f(y) = rac{7(y+1)}{-(y-4)}$

$f(y) = - rac{7(y+1)}{y-4}$

Atau, agar lebih rapi, kita bisa mengalikan $-1$ ke pembilang dan penyebutnya:

$f(y) = rac{-7(y+1)}{-(y-4)} = rac{-7y-7}{4-y}$

Dan yang paling umum, kita bisa mengeluarkan faktor $7$ dari pembilang:

$f(y) = rac{7(y+1)}{4-y}$

Nah, kita sudah berhasil mendapatkan bentuk $f(y)$ . Langkah terakhir adalah mengganti variabel $y$ dengan $x$ untuk mendapatkan $f(x)$ :

$f(x) = rac{7(x+1)}{4-x}$

Atau bisa juga ditulis $f(x) = rac{7x+7}{4-x}$ .

Jadi, kesimpulannya, untuk mencari $f(x)$ dari $(f ext{ o } g)(x)$ dan $g(x)$ , kita perlu:

Misalkan $y = g(x)$ .
Cari $x$ dalam bentuk $g^{-1}(y)$ .
Substitusikan bentuk $x$ tersebut ke dalam ekspresi $(f ext{ o } g)(x)$ yang diberikan.
Sederhanakan hasilnya dan ganti variabel $y$ menjadi $x$ .

Dengan latihan yang cukup, kalian pasti akan terbiasa dan bisa menyelesaikan soal-soal seperti ini dengan cepat dan tepat. Semangat terus belajarnya, guys! Kalian pasti bisa!