Memahami Persamaan Diferensial: Linear Dan Bernoulli

by ADMIN 53 views

Guys, mari kita selami dunia persamaan diferensial! Jangan khawatir, kita akan membuatnya mudah dipahami. Tugas kita kali ini adalah mengidentifikasi jenis persamaan diferensial (PD) yang diberikan – apakah itu linear atau Bernoulli – dan kemudian menyelesaikan beberapa di antaranya. Sebelum kita mulai, ada baiknya kita pahami dulu apa itu PD Linear dan PD Bernoulli. PD Linear adalah persamaan yang variabel dependen dan turunannya hanya berpangkat satu, dan tidak ada perkalian antar variabel dependen dan turunannya. Sedangkan, PD Bernoulli adalah persamaan diferensial non-linear orde satu yang memiliki bentuk khusus yang dapat diubah menjadi persamaan linear. Jadi, kita akan mengidentifikasi jenis-jenis PD yang diberikan, dan kemudian kita akan menyelesaikan PD Linear dan PD Bernoulli tersebut. Mari kita mulai petualangan matematika kita!

Identifikasi Jenis Persamaan Diferensial

Sebelum kita masuk ke penyelesaian, langkah pertama adalah mengidentifikasi jenis persamaan diferensial yang diberikan. Apakah dia linear atau Bernoulli? Atau mungkin ada jenis lain? Mari kita lihat soal-soal berikut:

  1. y' + (4/x)y = x^4
  2. y' + y = sin x
  3. dQ/dt + 2/(10+2t)Q = 4
  4. y' - (3/x)y = 2x^5e^x
  • Persamaan 1: y' + (4/x)y = x^4. Ini adalah persamaan diferensial linear orde satu. Bentuk umumnya adalah y' + P(x)y = Q(x). Dalam kasus ini, P(x) = 4/x dan Q(x) = x^4.
  • Persamaan 2: y' + y = sin x. Ini juga persamaan diferensial linear orde satu. Di sini, P(x) = 1 dan Q(x) = sin x.
  • Persamaan 3: dQ/dt + 2/(10+2t)Q = 4. Ini adalah persamaan diferensial linear orde satu. Variabel dependennya adalah Q dan variabel independennya adalah t. Kita punya P(t) = 2/(10+2t) dan Q(t) = 4.
  • Persamaan 4: y' - (3/x)y = 2x^5e^x. Ini adalah persamaan diferensial linear orde satu. Di sini, P(x) = -3/x dan Q(x) = 2x^5e^x.

Semua persamaan di atas ternyata adalah persamaan diferensial linear. Jadi, kita akan menyelesaikan semua soal ini dengan metode penyelesaian PD linear. Mari kita lihat bagaimana cara menyelesaikannya!

Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear

Sekarang, setelah kita mengidentifikasi jenis persamaan diferensialnya, mari kita selesaikan beberapa di antaranya. Kita akan menggunakan metode faktor integrasi untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear orde satu.

Metode Faktor Integrasi

Metode faktor integrasi adalah teknik yang ampuh untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear. Ide dasarnya adalah mengalikan kedua sisi persamaan dengan fungsi yang dipilih sedemikian rupa sehingga sisi kiri menjadi turunan dari suatu hasil kali. Prosesnya melibatkan langkah-langkah berikut:

  1. Identifikasi P(x) dan Q(x): Tulis persamaan dalam bentuk standar y' + P(x)y = Q(x). Identifikasi fungsi P(x) dan Q(x).
  2. Hitung Faktor Integrasi: Hitung faktor integrasi μ(x) = e^(∫P(x)dx).
  3. Kalikan Persamaan: Kalikan kedua sisi persamaan dengan faktor integrasi μ(x).
  4. Integrasikan Kedua Sisi: Integrasikan kedua sisi persamaan yang sudah dikalikan.
  5. Selesaikan untuk y: Selesaikan persamaan untuk y.

Sekarang, mari kita terapkan langkah-langkah ini untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear yang telah kita identifikasi.

Penyelesaian Soal

Soal 1: y' + (4/x)y = x^4

  1. Identifikasi: P(x) = 4/x dan Q(x) = x^4.
  2. Faktor Integrasi: μ(x) = e^(∫(4/x)dx) = e^(4ln|x|) = x^4.
  3. Kalikan: x^4y' + 4x^3y = x^8.
  4. Integrasi: ∫(x^4y' + 4x^3y)dx = ∫x^8dx. Ini sama dengan ∫(x^4y)'dx = ∫x^8dx. Integrasikan kedua sisi: x^4y = (1/9)x^9 + C.
  5. Selesaikan: y = (1/9)x^5 + C/x^4.

Soal 2: y' + y = sin x

  1. Identifikasi: P(x) = 1 dan Q(x) = sin x.
  2. Faktor Integrasi: μ(x) = e^(∫1dx) = e^x.
  3. Kalikan: e^xy' + e^xy = e^x sin x.
  4. Integrasi: ∫(e^xy' + e^xy)dx = ∫e^x sin x dx. Ini sama dengan ∫(e^xy)'dx = ∫e^x sin x dx. Integrasikan kedua sisi: e^xy = ∫e^x sin x dx. Integral dari e^x sin x adalah (1/2)e^x(sin x - cos x) + C.
  5. Selesaikan: y = (1/2)(sin x - cos x) + Ce^(-x).

Soal 3: dQ/dt + 2/(10+2t)Q = 4

  1. Identifikasi: P(t) = 2/(10+2t) dan Q(t) = 4.
  2. Faktor Integrasi: μ(t) = e^(∫2/(10+2t)dt) = e^(ln|10+2t|) = 10+2t.
  3. Kalikan: (10+2t)dQ/dt + 2Q = 4(10+2t).
  4. Integrasi: ∫((10+2t)dQ/dt + 2Q)dt = ∫4(10+2t)dt. Ini sama dengan ∫((10+2t)Q)'dt = ∫(40+8t)dt. Integrasikan kedua sisi: (10+2t)Q = 40t + 4t^2 + C.
  5. Selesaikan: Q = (40t + 4t^2 + C) / (10+2t) = 2t^2 + 20t + C / (10 + 2t).

Soal 4: y' - (3/x)y = 2x^5e^x

  1. Identifikasi: P(x) = -3/x dan Q(x) = 2x^5e^x.
  2. Faktor Integrasi: μ(x) = e^(∫(-3/x)dx) = e^(-3ln|x|) = x^-3.
  3. Kalikan: x^-3y' - 3x^-4y = 2e^x.
  4. Integrasi: ∫(x^-3y' - 3x^-4y)dx = ∫2e^xdx. Ini sama dengan ∫(x^-3y)'dx = ∫2e^xdx. Integrasikan kedua sisi: x^-3y = 2e^x + C.
  5. Selesaikan: y = 2x^3e^x + Cx^3.

Kesimpulan

Guys, kita sudah berhasil mengidentifikasi dan menyelesaikan persamaan diferensial linear menggunakan metode faktor integrasi. Ingatlah langkah-langkah pentingnya: identifikasi, hitung faktor integrasi, kalikan, integrasikan, dan selesaikan. Dengan latihan, kalian akan semakin mahir dalam menyelesaikan soal-soal seperti ini. Selamat mencoba, dan jangan ragu untuk bertanya jika ada yang kurang jelas! Semoga sukses dalam petualangan matematika kalian!