Memahami Fungsi Kuadratik: Panduan Lengkap & Mudah!

Nov 12, 2025 by ADMIN 52 views

Memahami Fungsi Kuadratik $f(x) = 3x^2 - 9x - 30$

Halo guys! Mari kita selami dunia fungsi kuadratik! Kita akan membahas fungsi khusus: $f(x) = 3x^2 - 9x - 30$ . Jangan khawatir, kita akan membuatnya mudah dipahami. Tujuan utama kita adalah untuk mengungkapkan fungsi ini dalam bentuk pintasan dan mencari tahu nilai-nilai penting. Yuk, mulai petualangan matematika kita!

(a) Mengungkapkan $f(x)$ dalam Bentuk Pintasan

(i) Mencari Bentuk Pintasan $f(x) = a(x - p)(x - q)$

Oke, guys, langkah pertama adalah mengubah fungsi kuadratik kita menjadi bentuk yang lebih mudah dibaca, yaitu bentuk pintasan. Bentuk pintasan ini sangat berguna karena langsung memberikan kita informasi tentang akar-akar persamaan kuadratik. Ingat, akar-akar ini adalah nilai-nilai x di mana grafik fungsi memotong sumbu x. Dalam kata lain, nilai-nilai x yang membuat $f(x) = 0$ .

Mari kita mulai! Fungsi awal kita adalah $f(x) = 3x^2 - 9x - 30$ . Untuk mengubahnya ke bentuk pintasan, kita perlu melakukan beberapa langkah. Pertama, kita bisa mengeluarkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari semua suku. Dalam kasus ini, FPB-nya adalah 3. Jadi, kita bisa menulis ulang fungsi sebagai:

$f(x) = 3(x^2 - 3x - 10)$

Sekarang, fokus kita adalah pada bagian di dalam kurung, yaitu $x^2 - 3x - 10$ . Kita perlu memfaktorkannya menjadi dua binomial. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -10 dan jika dijumlahkan menghasilkan -3. Setelah berpikir sejenak, kita menemukan bahwa bilangan-bilangan itu adalah -5 dan 2. Jadi, kita bisa memfaktorkan $x^2 - 3x - 10$ menjadi $(x - 5)(x + 2)$ .

Sekarang, kita bisa menulis ulang fungsi kuadratik kita dalam bentuk pintasan: $f(x) = 3(x - 5)(x + 2)$ .

Perhatikan bahwa bentuk ini sekarang sesuai dengan bentuk pintasan yang kita inginkan, $f(x) = a(x - p)(x - q)$ . Dengan membandingkan kedua bentuk ini, kita bisa mengidentifikasi nilai-nilai $a$ , $p$ , dan $q$ .

(ii) Menentukan Nilai $a$ , $p$ , dan $q$ dengan $p > q$

Setelah kita berhasil mengubah fungsi kuadratik kita ke bentuk pintasan, langkah selanjutnya adalah mengidentifikasi nilai-nilai $a$ , $p$ , dan $q$ . Ingat, bentuk pintasan kita adalah $f(x) = a(x - p)(x - q)$ . Dan bentuk pintasan yang kita peroleh adalah $f(x) = 3(x - 5)(x + 2)$ .

Mari kita bandingkan kedua bentuk ini. Kita bisa melihat bahwa:

$a = 3$
$(x - p) = (x - 5)$ , yang berarti $p = 5$
$(x - q) = (x + 2)$ , yang berarti $q = -2$

Sekarang, mari kita perhatikan syarat tambahan yang diberikan, yaitu $p > q$ . Dalam kasus kita, $p = 5$ dan $q = -2$ . Karena 5 memang lebih besar dari -2, maka syarat ini terpenuhi. Jadi, kita telah berhasil menemukan nilai-nilai yang diminta. Kita punya $a = 3$ , $p = 5$ , dan $q = -2$ .

Dengan memiliki nilai-nilai ini, kita sekarang tahu bahwa akar-akar persamaan kuadratik adalah x = 5 dan x = -2. Ini berarti grafik fungsi memotong sumbu x pada titik (5, 0) dan (-2, 0).

Kesimpulan: Kita telah berhasil mengubah fungsi kuadratik ke bentuk pintasan, menemukan nilai-nilai $a$ , $p$ , dan $q$ , dan mengidentifikasi akar-akar persamaan. Keren, kan?

(b) Sketsa Grafik Fungsi

(i) Langkah-langkah Pembuatan Sketsa Grafik Fungsi Kuadratik

Sekarang, mari kita buat sketsa grafik dari fungsi kuadratik kita. Membuat sketsa grafik membantu kita memvisualisasikan perilaku fungsi. Ada beberapa langkah penting yang perlu kita ikuti:

Tentukan Arah Pembukaan Grafik: Koefisien a dalam bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$ atau bentuk pintasan $f(x) = a(x - p)(x - q)$ menentukan arah pembukaan grafik. Jika a positif (seperti dalam kasus kita, di mana $a = 3$ ), grafik membuka ke atas (tersenyum). Jika a negatif, grafik membuka ke bawah (cemberut).
Temukan Akar-akar Persamaan (Titik Potong dengan Sumbu x): Kita sudah menemukan akar-akar persamaan di bagian sebelumnya. Akar-akar ini adalah nilai-nilai x di mana grafik memotong sumbu x. Dalam kasus kita, akar-akarnya adalah x = 5 dan x = -2. Jadi, grafik akan memotong sumbu x pada titik (5, 0) dan (-2, 0).
Temukan Titik Potong dengan Sumbu y: Untuk menemukan titik potong dengan sumbu y, kita atur x = 0 dalam fungsi. Dalam kasus kita, $f(0) = 3(0)^2 - 9(0) - 30 = -30$ . Jadi, grafik memotong sumbu y pada titik (0, -30).
Temukan Sumbu Simetri: Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi grafik menjadi dua bagian yang simetris. Sumbu simetri terletak di tengah-tengah antara akar-akar persamaan. Rumus untuk menemukan sumbu simetri adalah $x = (p + q) / 2$ . Dalam kasus kita, $x = (5 + (-2)) / 2 = 3 / 2 = 1.5$ . Jadi, sumbu simetri adalah garis x = 1.5.
Temukan Titik Puncak (Vertex): Titik puncak adalah titik tertinggi (jika grafik membuka ke bawah) atau titik terendah (jika grafik membuka ke atas) dari grafik. Kita bisa menemukan koordinat y dari titik puncak dengan mengganti nilai x dari sumbu simetri ke dalam fungsi. Dalam kasus kita, $f(1.5) = 3(1.5)^2 - 9(1.5) - 30 = -36.75$ . Jadi, titik puncak adalah (1.5, -36.75).
Sketsa Grafik: Sekarang kita punya semua informasi yang dibutuhkan. Gambarlah sumbu x dan sumbu y. Tandai akar-akar persamaan, titik potong dengan sumbu y, dan titik puncak. Gambarlah kurva mulus yang melewati titik-titik ini, ingatlah bahwa grafik membuka ke atas (karena a positif).

(ii) Menggambar Grafik dengan Akurat

Untuk menggambar grafik dengan akurat, gunakan kertas grafik atau alat menggambar grafik digital. Pastikan untuk menandai skala yang tepat pada sumbu x dan sumbu y. Gambarlah titik-titik yang telah kita temukan (akar-akar, titik potong sumbu y, dan titik puncak) dengan presisi. Tarik kurva mulus melalui titik-titik ini, pastikan kurva membuka ke atas dan simetris terhadap sumbu simetri yang telah kita temukan.

Jika kamu menggunakan alat digital, kamu bisa memasukkan fungsi kuadratik ke dalam alat tersebut dan alat tersebut akan secara otomatis menggambar grafiknya. Ini bisa menjadi cara yang bagus untuk memeriksa apakah gambar tanganmu sudah benar.

Tips Tambahan:

Gunakan Penggaris: Gunakan penggaris untuk menggambar sumbu x, sumbu y, dan sumbu simetri. Ini akan membantu grafikmu terlihat lebih rapi dan akurat.
Berikan Label: Beri label pada sumbu x dan sumbu y dengan jelas. Labeli juga titik-titik penting, seperti akar-akar, titik potong sumbu y, dan titik puncak.
Latihan: Semakin banyak kamu berlatih membuat sketsa grafik fungsi kuadratik, semakin mudah dan cepat kamu akan melakukannya. Jadi, jangan takut untuk mencoba berbagai contoh soal.

Kesimpulan: Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kamu dapat membuat sketsa grafik fungsi kuadratik dengan mudah dan akurat. Selamat mencoba!

(c) Menentukan Nilai Minimum Fungsi

(i) Menemukan Nilai Minimum Fungsi Kuadratik

Nilai minimum dari fungsi kuadratik adalah nilai y terkecil yang dapat dicapai oleh fungsi tersebut. Karena grafik fungsi kuadratik kita membuka ke atas (karena a positif), maka nilai minimum fungsi terletak pada titik puncak (vertex) dari grafik. Ingat, titik puncak adalah titik terendah pada grafik.

Kita sudah menemukan titik puncak di bagian sebelumnya. Titik puncak kita adalah (1.5, -36.75). Koordinat y dari titik puncak ini adalah -36.75. Jadi, nilai minimum dari fungsi kuadratik $f(x) = 3x^2 - 9x - 30$ adalah -36.75.

(ii) Menggunakan Turunan untuk Menemukan Nilai Minimum

Kita juga bisa menggunakan kalkulus untuk menemukan nilai minimum fungsi. Caranya adalah dengan mencari turunan pertama dari fungsi, menetapkannya sama dengan nol, dan menyelesaikan untuk x. Nilai x yang kita temukan ini akan menjadi koordinat x dari titik puncak.

Mari kita lakukan ini. Fungsi kita adalah $f(x) = 3x^2 - 9x - 30$ . Turunan pertamanya adalah $f'(x) = 6x - 9$ .

Sekarang, kita atur $f'(x) = 0$ : $6x - 9 = 0$ .

Menyelesaikan persamaan ini untuk x, kita dapatkan $6x = 9$ , atau $x = 1.5$ . Ini adalah koordinat x dari titik puncak, yang sama dengan yang kita temukan sebelumnya.

Untuk menemukan nilai minimum, kita masukkan nilai x = 1.5 ke dalam fungsi awal kita: $f(1.5) = 3(1.5)^2 - 9(1.5) - 30 = -36.75$ . Ini adalah nilai minimum fungsi.

Kesimpulan: Kita telah menemukan nilai minimum fungsi kuadratik kita dengan dua cara: menggunakan titik puncak dari grafik dan menggunakan turunan. Kedua cara memberikan hasil yang sama, yaitu -36.75. Hebat!

Semoga panduan ini membantu kalian memahami dan menguasai fungsi kuadratik. Jangan ragu untuk berlatih lebih banyak soal dan mencoba berbagai variasi. Semangat terus belajar, guys! Kalian pasti bisa! Jangan lupa untuk selalu mencari referensi tambahan dan bertanya jika ada yang kurang jelas. Selamat belajar dan semoga sukses!