Lingkaran Bersinggungan: Benar Atau Salah? Soal Matematika

by ADMIN 59 views

Hey guys, kali ini kita akan membahas soal matematika seru tentang lingkaran bersinggungan. Soal ini menantang kita untuk menentukan apakah pernyataan tentang dua lingkaran yang bersinggungan di titik tertentu itu benar atau salah. Yuk, kita bedah soalnya bareng-bareng!

Memahami Soal Lingkaran Bersinggungan

Soalnya begini:

Apakah pernyataan bahwa lingkaran L1ightarrowx2+y2−2x+6y−10=0L_1 ightarrow x^2 + y^2 - 2x + 6y - 10 = 0 dan L2ightarrowx2+y2−8x−6y+20=0L_2 ightarrow x^2 + y^2 - 8x - 6y + 20 = 0 bersinggungan di titik A(3,1)A(3, 1) benar atau salah?

Untuk menjawab soal ini, kita perlu memahami beberapa konsep penting tentang lingkaran, yaitu persamaan lingkaran, titik pusat lingkaran, jari-jari lingkaran, dan kondisi dua lingkaran bersinggungan. Mari kita bahas satu per satu.

Persamaan Lingkaran

Persamaan umum lingkaran adalah:

(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Di mana:

  • (h, k) adalah koordinat titik pusat lingkaran
  • r adalah jari-jari lingkaran

Kita juga bisa menuliskan persamaan lingkaran dalam bentuk umum seperti ini:

x2+y2+Ax+By+C=0x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

Untuk mengubah persamaan umum ke bentuk standar, kita perlu melengkapi kuadrat pada suku x dan y. Dari bentuk standar ini, kita bisa menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran.

Menentukan Titik Pusat dan Jari-Jari

Dari persamaan lingkaran L1ightarrowx2+y2−2x+6y−10=0L_1 ightarrow x^2 + y^2 - 2x + 6y - 10 = 0, kita bisa menentukan titik pusat dan jari-jarinya. Pertama, kita kelompokkan suku x dan y:

(x2−2x)+(y2+6y)=10(x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 10

Kemudian, kita lengkapi kuadrat:

(x2−2x+1)+(y2+6y+9)=10+1+9(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 10 + 1 + 9

(x−1)2+(y+3)2=20(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 20

Jadi, lingkaran L1L_1 memiliki titik pusat di (1, -3) dan jari-jari 20=25\sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Dengan cara yang sama, kita bisa menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran L2ightarrowx2+y2−8x−6y+20=0L_2 ightarrow x^2 + y^2 - 8x - 6y + 20 = 0:

(x2−8x)+(y2−6y)=−20(x^2 - 8x) + (y^2 - 6y) = -20

(x2−8x+16)+(y2−6y+9)=−20+16+9(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = -20 + 16 + 9

(x−4)2+(y+3)2=5(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 5

Jadi, lingkaran L2L_2 memiliki titik pusat di (4, 3) dan jari-jari 5\sqrt{5}.

Kondisi Dua Lingkaran Bersinggungan

Dua lingkaran dikatakan bersinggungan jika jarak antara titik pusat kedua lingkaran sama dengan jumlah atau selisih jari-jari kedua lingkaran.

  • Bersinggungan luar: Jarak antara titik pusat sama dengan jumlah jari-jari.
  • Bersinggungan dalam: Jarak antara titik pusat sama dengan selisih jari-jari.

Selain itu, titik singgung kedua lingkaran harus terletak pada garis yang menghubungkan kedua titik pusat lingkaran.

Menganalisis Pernyataan

Sekarang, mari kita analisis pernyataan dalam soal. Kita punya dua lingkaran:

  • L1L_1 dengan titik pusat (1, -3) dan jari-jari 252\sqrt{5}
  • L2L_2 dengan titik pusat (4, 3) dan jari-jari 5\sqrt{5}

dan titik A(3,1)A(3, 1).

Langkah 1: Cek Apakah Titik A Terletak pada Kedua Lingkaran

Kita substitusikan koordinat titik A ke persamaan lingkaran L1L_1:

(3)2+(1)2−2(3)+6(1)−10=9+1−6+6−10=0(3)^2 + (1)^2 - 2(3) + 6(1) - 10 = 9 + 1 - 6 + 6 - 10 = 0

Karena hasilnya 0, maka titik A terletak pada lingkaran L1L_1.

Sekarang, kita substitusikan koordinat titik A ke persamaan lingkaran L2L_2:

(3)2+(1)2−8(3)−6(1)+20=9+1−24−6+20=0(3)^2 + (1)^2 - 8(3) - 6(1) + 20 = 9 + 1 - 24 - 6 + 20 = 0

Karena hasilnya 0, maka titik A juga terletak pada lingkaran L2L_2.

Langkah 2: Hitung Jarak Antara Titik Pusat Kedua Lingkaran

Jarak antara titik pusat L1L_1 (1, -3) dan titik pusat L2L_2 (4, 3) adalah:

(4−1)2+(3−(−3))2=32+62=9+36=45=35\sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

Langkah 3: Bandingkan Jarak dengan Jumlah dan Selisih Jari-Jari

  • Jumlah jari-jari: 25+5=352\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}
  • Selisih jari-jari: ∣25−5∣=5|2\sqrt{5} - \sqrt{5}| = \sqrt{5}

Ternyata, jarak antara titik pusat kedua lingkaran sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran (353\sqrt{5}). Ini berarti kedua lingkaran bersinggungan di luar.

Langkah 4: Cek Apakah Titik A Terletak pada Garis yang Menghubungkan Titik Pusat

Untuk mengecek apakah titik A(3, 1) terletak pada garis yang menghubungkan titik pusat (1, -3) dan (4, 3), kita bisa menggunakan persamaan garis yang melalui dua titik. Persamaan garis yang melalui titik (1, -3) dan (4, 3) adalah:

y−(−3)x−1=3−(−3)4−1\frac{y - (-3)}{x - 1} = \frac{3 - (-3)}{4 - 1}

y+3x−1=63\frac{y + 3}{x - 1} = \frac{6}{3}

y+3x−1=2\frac{y + 3}{x - 1} = 2

y+3=2(x−1)y + 3 = 2(x - 1)

y+3=2x−2y + 3 = 2x - 2

y=2x−5y = 2x - 5

Sekarang, kita substitusikan koordinat titik A(3, 1) ke persamaan garis:

1=2(3)−51 = 2(3) - 5

1=6−51 = 6 - 5

1=11 = 1

Karena persamaan ini benar, maka titik A terletak pada garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran.

Kesimpulan

Dari analisis yang telah kita lakukan, kita dapat menyimpulkan bahwa:

  • Titik A(3, 1) terletak pada kedua lingkaran.
  • Jarak antara titik pusat kedua lingkaran sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran.
  • Titik A terletak pada garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran.

Oleh karena itu, pernyataan bahwa lingkaran L1L_1 dan L2L_2 bersinggungan di titik A(3, 1) adalah benar.

Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami konsep lingkaran bersinggungan ya! Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Semangat belajar matematika!