Latihan Soal Persamaan Linear Tiga Variabel Kelas 10

by ADMIN 53 views

Hey guys! Kalian anak kelas 10 dan lagi pusing sama persamaan linear tiga variabel? Tenang aja, kalian nggak sendirian kok! Materi ini emang keliatan agak rumit di awal, tapi kalau udah paham konsep dasarnya, dijamin deh soal-soal kayak apapun bakal bisa kalian taklukkin. Nah, di artikel ini, kita bakal bahas tuntas tentang soal persamaan linear tiga variabel khusus buat kalian anak kelas 10. Kita akan kupas tuntas mulai dari konsep dasar, contoh soal, sampai tips dan trik buat ngerjain soalnya dengan cepat dan tepat. Yuk, langsung aja kita mulai!

Apa itu Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV)?

Sebelum kita masuk ke contoh soal, penting banget buat kita paham dulu apa sih sebenarnya persamaan linear tiga variabel itu? Secara sederhana, PLTV adalah persamaan matematika yang memiliki tiga variabel (biasanya dilambangkan dengan x, y, dan z) dan semua variabelnya berpangkat satu. Bentuk umum dari PLTV adalah:

ax + by + cz = d

di mana a, b, c, dan d adalah konstanta (angka), dan x, y, z adalah variabel yang ingin kita cari nilainya. Sekarang, kenapa disebut linear? Karena kalau persamaan ini digambarkan dalam grafik tiga dimensi, hasilnya akan berupa bidang datar (garis lurus dalam tiga dimensi). Jadi, kebayang kan kenapa disebut linear?

Nah, biar lebih jelas, coba kita lihat beberapa contoh persamaan linear tiga variabel:

  • 2x + y - z = 5
  • x - 3y + 2z = 10
  • -x + 2y + 4z = -3

Contoh-contoh di atas adalah bentuk-bentuk PLTV yang sering muncul dalam soal. Tapi, nggak semua persamaan dengan tiga variabel bisa disebut PLTV ya. Ada beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

  1. Variabelnya ada tiga (x, y, z).
  2. Pangkat semua variabel harus satu.
  3. Tidak ada perkalian antar variabel (misalnya xy, xz, atau yz).

Kalau ada salah satu syarat yang nggak terpenuhi, berarti persamaan itu bukan PLTV. Sekarang, udah kebayang kan apa itu persamaan linear tiga variabel? Intinya, ini adalah persamaan dengan tiga variabel berpangkat satu. Nah, setelah kita paham konsep dasarnya, sekarang kita lanjut ke cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Karena biasanya, kita nggak cuma dikasih satu persamaan, tapi beberapa persamaan sekaligus yang harus kita selesaikan.

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Oke, sekarang kita masuk ke bagian yang paling penting, yaitu cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). SPLTV adalah kumpulan dari beberapa PLTV yang memiliki solusi yang sama. Artinya, ada nilai x, y, dan z yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut. Nah, ada beberapa metode yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan SPLTV, yaitu:

  1. Metode Substitusi
  2. Metode Eliminasi
  3. Metode Campuran (Substitusi dan Eliminasi)

Kita akan bahas satu per satu metode ini, lengkap dengan contoh soalnya biar kalian makin paham. Jadi, simak baik-baik ya!

1. Metode Substitusi

Metode substitusi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan mengganti (mensubstitusikan) salah satu variabel dengan variabel lain dari persamaan yang berbeda. Singkatnya, kita cari dulu nilai salah satu variabel dari sebuah persamaan, lalu kita masukkan (substitusikan) nilai itu ke persamaan lain. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana (biasanya yang koefisien salah satu variabelnya 1 atau -1).
  2. Nyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain (misalnya, nyatakan x dalam bentuk y dan z).
  3. Substitusikan (gantikan) variabel yang sudah dinyatakan tadi ke persamaan lain.
  4. Selesaikan persamaan yang baru (yang sekarang hanya memiliki dua variabel).
  5. Substitusikan nilai variabel yang sudah ditemukan ke persamaan lain untuk mencari nilai variabel yang tersisa.

Biar lebih jelas, kita langsung ke contoh soal aja ya:

Contoh Soal 1:

Selesaikan SPLTV berikut dengan metode substitusi:

  • x + y + z = 6
  • 2x - y + z = 3
  • x + 2y - z = 2

Penyelesaian:

  1. Kita pilih persamaan pertama (x + y + z = 6) karena paling sederhana. Kita nyatakan x dalam bentuk y dan z:

    x = 6 - y - z

  2. Substitusikan x = 6 - y - z ke persamaan kedua (2x - y + z = 3):

    2(6 - y - z) - y + z = 3 12 - 2y - 2z - y + z = 3 -3y - z = -9

  3. Substitusikan x = 6 - y - z ke persamaan ketiga (x + 2y - z = 2):

    (6 - y - z) + 2y - z = 2 y - 2z = -4

  4. Sekarang kita punya dua persamaan baru dengan dua variabel:

    • -3y - z = -9
    • y - 2z = -4

    Kita bisa selesaikan sistem persamaan ini dengan metode substitusi lagi. Pilih persamaan kedua (y - 2z = -4) dan nyatakan y dalam bentuk z:

    y = 2z - 4

  5. Substitusikan y = 2z - 4 ke persamaan -3y - z = -9:

    -3(2z - 4) - z = -9 -6z + 12 - z = -9 -7z = -21 z = 3

  6. Substitusikan z = 3 ke y = 2z - 4:

    y = 2(3) - 4 y = 2

  7. Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke x = 6 - y - z:

    x = 6 - 2 - 3 x = 1

Jadi, solusi dari SPLTV ini adalah x = 1, y = 2, dan z = 3. Gimana, guys? Udah mulai kebayang kan cara kerja metode substitusi? Intinya, kita ganti-ganti variabel sampai kita dapat nilai satu per satu. Sekarang, kita lanjut ke metode yang kedua, yaitu metode eliminasi.

2. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel. Caranya, kita samakan koefisien salah satu variabel dari dua persamaan, lalu kita kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan tersebut sehingga variabel yang koefisiennya sama akan hilang. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Pilih dua persamaan dari SPLTV.
  2. Samakan koefisien salah satu variabel dari kedua persamaan tersebut (kalau belum sama). Caranya, kita bisa kalikan kedua persamaan dengan bilangan yang sesuai.
  3. Kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan tersebut sehingga variabel yang koefisiennya sama akan hilang.
  4. Ulangi langkah 1-3 untuk persamaan lain sehingga kita mendapatkan persamaan dengan dua variabel.
  5. Selesaikan sistem persamaan dua variabel yang kita dapatkan (bisa dengan substitusi atau eliminasi lagi).
  6. Substitusikan nilai variabel yang sudah ditemukan ke persamaan lain untuk mencari nilai variabel yang tersisa.

Biar makin jelas, yuk kita lihat contoh soalnya:

Contoh Soal 2:

Selesaikan SPLTV berikut dengan metode eliminasi:

  • 2x + y - z = 1
  • x - y + 2z = 5
  • 3x + 2y + z = 8

Penyelesaian:

  1. Kita pilih persamaan pertama (2x + y - z = 1) dan persamaan kedua (x - y + 2z = 5). Kita akan eliminasi variabel y karena koefisiennya sudah sama (1 dan -1).

  2. Jumlahkan kedua persamaan tersebut:

    (2x + y - z) + (x - y + 2z) = 1 + 5 3x + z = 6

  3. Kita pilih persamaan pertama (2x + y - z = 1) dan persamaan ketiga (3x + 2y + z = 8). Kita akan eliminasi variabel y lagi. Kali ini, kita harus samakan dulu koefisiennya. Kita kalikan persamaan pertama dengan 2:

    2(2x + y - z) = 2(1) 4x + 2y - 2z = 2

  4. Sekarang kita punya dua persamaan:

    • 4x + 2y - 2z = 2
    • 3x + 2y + z = 8

    Kurangkan kedua persamaan tersebut:

    (4x + 2y - 2z) - (3x + 2y + z) = 2 - 8 x - 3z = -6

  5. Sekarang kita punya dua persamaan baru dengan dua variabel:

    • 3x + z = 6
    • x - 3z = -6

    Kita bisa selesaikan sistem persamaan ini dengan metode eliminasi lagi. Kita akan eliminasi variabel x. Kalikan persamaan kedua dengan 3:

    3(x - 3z) = 3(-6) 3x - 9z = -18

  6. Sekarang kita punya dua persamaan:

    • 3x + z = 6
    • 3x - 9z = -18

    Kurangkan kedua persamaan tersebut:

    (3x + z) - (3x - 9z) = 6 - (-18) 10z = 24 z = 2.4

  7. Substitusikan z = 2.4 ke 3x + z = 6:

    3x + 2.4 = 6 3x = 3.6 x = 1.2

  8. Substitusikan x = 1.2 dan z = 2.4 ke 2x + y - z = 1:

    2(1.2) + y - 2.4 = 1 2.4 + y - 2.4 = 1 y = 1

Jadi, solusi dari SPLTV ini adalah x = 1.2, y = 1, dan z = 2.4. Lumayan panjang ya, guys? Tapi, intinya adalah kita menghilangkan satu per satu variabel sampai kita dapat nilai akhirnya. Sekarang, kita lanjut ke metode yang terakhir, yaitu metode campuran.

3. Metode Campuran (Substitusi dan Eliminasi)

Metode campuran adalah gabungan dari metode substitusi dan eliminasi. Jadi, kita bisa pakai substitusi dulu, lalu eliminasi, atau sebaliknya. Metode ini biasanya lebih efektif untuk soal-soal yang kompleks, di mana kita perlu menggabungkan kedua metode ini untuk mendapatkan solusi yang paling mudah. Nggak ada langkah-langkah yang baku untuk metode ini, karena kita bebas mengkombinasikan substitusi dan eliminasi sesuai dengan soalnya. Intinya, kita lihat mana yang paling mudah dan efektif untuk kita gunakan.

Nah, biar kalian makin jago, coba deh kerjain soal-soal latihan tentang SPLTV ini. Semakin banyak latihan, semakin terbiasa kalian dengan berbagai macam soal dan cara penyelesaiannya. Jangan lupa juga buat pahami konsep dasarnya, karena itu adalah kunci utama untuk bisa menyelesaikan soal SPLTV dengan lancar. Oke guys, semangat terus belajarnya ya! Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian. Sampai jumpa di artikel selanjutnya!