Kumpulan Soal SPLTV & Penyelesaian: Mudah Dipahami!

by ADMIN 52 views

Hai, guys! Kali ini kita akan membahas tuntas tentang Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Tenang, jangan panik dulu! Kita akan kupas tuntas mulai dari soal-soal dasar sampai soal cerita yang seru. Tujuannya, supaya kalian makin jago dan nggak bingung lagi kalau ketemu soal SPLTV. Mari kita mulai dengan memahami apa itu SPLTV, lalu lanjut ke contoh soal dan penyelesaiannya. Yuk, siap-siap!

Apa Itu Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)?

SPLTV adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel. Masing-masing persamaan berbentuk linear, artinya variabelnya memiliki pangkat tertinggi satu. Nah, tujuan kita dalam menyelesaikan SPLTV adalah menemukan nilai dari ketiga variabel tersebut. Biasanya, variabel ini dilambangkan dengan huruf seperti x, y, dan z. Tapi bisa juga menggunakan huruf lain, tergantung soalnya. Gampangnya, SPLTV itu kayak teka-teki, di mana kita harus menemukan angka yang tepat untuk setiap variabel agar semua persamaan bernilai benar.

Metode Penyelesaian SPLTV

Ada beberapa metode yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan SPLTV, di antaranya:

  1. Metode Eliminasi: Metode ini bertujuan untuk menghilangkan salah satu variabel dari dua persamaan, sehingga kita mendapatkan persamaan dengan dua variabel. Kemudian, kita ulangi proses ini sampai tersisa satu variabel. Setelah menemukan nilai variabel tersebut, kita bisa substitusikan ke persamaan lain untuk menemukan nilai variabel yang lain.
  2. Metode Substitusi: Metode ini melibatkan mengganti salah satu variabel dalam persamaan dengan ekspresi variabel lain. Dengan cara ini, kita bisa mengurangi jumlah variabel dalam persamaan dan akhirnya menemukan nilai dari variabel-variabel tersebut.
  3. Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi): Metode ini adalah kombinasi dari kedua metode di atas. Kita bisa menggunakan eliminasi untuk menyederhanakan persamaan, lalu menggunakan substitusi untuk menemukan nilai variabel.

Kenapa SPLTV Penting?

SPLTV bukan cuma materi pelajaran matematika, guys! Konsep ini punya banyak aplikasi di dunia nyata. Misalnya, dalam bidang ekonomi untuk menganalisis pasar, dalam bidang teknik untuk menghitung struktur bangunan, atau dalam bidang sains untuk memecahkan masalah kompleks. Jadi, dengan memahami SPLTV, kalian nggak cuma jago matematika, tapi juga belajar berpikir logis dan memecahkan masalah secara sistematis. Keren, kan?

5 Soal Umum SPLTV Beserta Penyelesaiannya

Sekarang, mari kita mulai latihan dengan soal-soal SPLTV yang umum. Tenang, soalnya nggak susah kok! Kita akan mulai dari yang paling dasar, lalu naik level.

Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

  • x + y + z = 6
  • x + y - z = 2
  • x - y + z = 4

Penyelesaian:

  1. Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2:
    • (x + y + z) + (x + y - z) = 6 + 2
    • 2x + 2y = 8
    • x + y = 4 (Persamaan 4)
  2. Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
    • (x + y + z) + (x - y + z) = 6 + 4
    • 2x + 2z = 10
    • x + z = 5 (Persamaan 5)
  3. Eliminasi y dari persamaan 4 dan 3:
    • (x + y) - (x - y + z) = 4 - 4
    • 2y - z = 0
    • z = 2y (Persamaan 6)
  4. Substitusi z = 2y ke persamaan 5:
    • x + 2y = 5 (Persamaan 7)
  5. Eliminasi y dari persamaan 4 dan 7:
    • (x + y) + (x + 2y) = 4 + 5
    • 2x + 3y = 9
  6. Substitusi x = 4 - y ke persamaan 7:
    • (4 - y) + 2y = 5
    • y = 1
  7. Substitusi y = 1 ke persamaan 4:
    • x + 1 = 4
    • x = 3
  8. Substitusi x = 3 dan y = 1 ke persamaan 1:
    • 3 + 1 + z = 6
    • z = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1, 2)}.

Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

  • 2x + y - z = 1
  • x - y + z = 6
  • x + 2y + z = 9

Penyelesaian:

  1. Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2:
    • (2x + y - z) + (x - y + z) = 1 + 6
    • 3x = 7
    • x = 7/3
  2. Eliminasi z dari persamaan 2 dan 3:
    • (x - y + z) - (x + 2y + z) = 6 - 9
    • -3y = -3
    • y = 1
  3. Substitusi x = 7/3 dan y = 1 ke persamaan 1:
    • 2(7/3) + 1 - z = 1
    • 14/3 - z = 0
    • z = 14/3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(7/3, 1, 14/3)}.

Soal 3

Selesaikan sistem persamaan berikut:

  • x + 2y + 3z = 14
  • 2x - y + z = 3
  • 3x + y - z = 5

Penyelesaian:

  1. Eliminasi z dari persamaan 2 dan 3:
    • (2x - y + z) + (3x + y - z) = 3 + 5
    • 5x = 8
    • x = 8/5
  2. Substitusi x = 8/5 ke persamaan 2:
    • 2(8/5) - y + z = 3
    • 16/5 - y + z = 3
    • -y + z = -1/5 (Persamaan 4)
  3. Substitusi x = 8/5 ke persamaan 3:
    • 3(8/5) + y - z = 5
    • 24/5 + y - z = 5
    • y - z = 1/5 (Persamaan 5)
  4. Eliminasi y dari persamaan 4 dan 5:
    • (-y + z) + (y - z) = -1/5 + 1/5
    • 0 = 0
  5. Substitusi x = 8/5 ke persamaan 1:
    • 8/5 + 2y + 3z = 14
    • 2y + 3z = 62/5 (Persamaan 6)
  6. Eliminasi z dari persamaan 4 dan 6:
    • (-y + z) * 3 + (2y + 3z) = -1/5 * 3 + 62/5
    • -3y + 3z + 2y + 3z = -3/5 + 62/5
    • -y + 6z = 59/5
    • -y = 59/5 - 6z
    • y = 6z - 59/5
  7. Substitusi y = 6z - 59/5 ke persamaan 5:
    • (6z - 59/5) - z = 1/5
    • 5z = 60/5
    • z = 12/5
  8. Substitusi z = 12/5 ke persamaan 5:
    • y - 12/5 = 1/5
    • y = 13/5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(8/5, 13/5, 12/5)}.

Soal 4

Selesaikan sistem persamaan berikut:

  • 3x + 2y + z = 17
  • x + y + z = 9
  • 2x - y + 3z = 12

Penyelesaian:

  1. Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2:
    • (3x + 2y + z) - (x + y + z) = 17 - 9
    • 2x + y = 8 (Persamaan 4)
  2. Eliminasi z dari persamaan 2 dan 3:
    • (x + y + z) - (2x - y + 3z) = 9 - 12
    • -x + 2y - 2z = -3
    • -x + 2y - 2z = -3 (Persamaan 5)
  3. Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
    • (3x + 2y + z) - 3(2x - y + 3z) = 17 - 36
    • 3x + 2y + z - 6x + 3y - 9z = -19
    • -3x + 5y - 8z = -19 (Persamaan 6)
  4. Eliminasi z dari persamaan 4 dan 5:
    • (2x + y) + 2(-x + 2y - 2z) = 8 + 2(-3)
    • 2x + y -2x + 4y - 4z = 2
    • 5y - 4z = 2 (Persamaan 7)
  5. Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2:
    • (3x + 2y + z) - (x + y + z) = 17 - 9
    • 2x + y = 8 (Persamaan 8)
  6. Substitusi x = (8 - y)/2 ke persamaan 5:
    • -(8 - y)/2 + 2y - 2z = -3
    • -4 + y/2 + 2y - 2z = -3
    • 5/2y - 2z = 1 (Persamaan 9)
  7. Eliminasi z dari persamaan 6 dan 7:
    • -3x + 5y - 8z + 5(5y - 4z) = -19 + 5(2)
    • -3x + 5y - 8z + 25y - 20z = -9
    • -3x + 30y - 28z = -9
  8. Substitusi x = (8 - y)/2 ke persamaan 1:
    • 3(8 - y)/2 + 2y + z = 17
    • 24/2 - 3y/2 + 2y + z = 17
    • 12 - 3y/2 + 2y + z = 17
    • y/2 + z = 5
    • z = 5 - y/2
  9. Substitusi z = 5 - y/2 ke persamaan 5:
    • -x + 2y - 2(5 - y/2) = -3
    • -x + 2y - 10 + y = -3
    • -x + 3y = 7 (Persamaan 10)
  10. Eliminasi x dari persamaan 8 dan 10:
    • (2x + y) + (-x + 3y) = 8 + 7
    • x + 4y = 15
  11. Substitusi y = 15 - x/4 ke persamaan 8:
    • 2x + 15 - x/4 = 8
    • 7x/4 = -7
    • x = -4
  12. Substitusi x = -4 ke persamaan 8:
    • 2(-4) + y = 8
    • -8 + y = 8
    • y = 16
  13. Substitusi x = -4 dan y = 16 ke persamaan 2:
    • -4 + 16 + z = 9
    • z = -3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-4, 16, -3)}.

Soal 5

Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan:

  • x + 2y - z = 4
  • 2x + y + z = 7
  • 3x - y + 2z = 9

Penyelesaian:

  1. Jumlahkan persamaan 1 dan 2:
    • (x + 2y - z) + (2x + y + z) = 4 + 7
    • 3x + 3y = 11 (Persamaan 4)
  2. Kalikan persamaan 1 dengan 2 dan jumlahkan dengan persamaan 3:
    • 2(x + 2y - z) + (3x - y + 2z) = 2(4) + 9
    • 2x + 4y - 2z + 3x - y + 2z = 17
    • 5x + 3y = 17 (Persamaan 5)
  3. Eliminasi y dari persamaan 4 dan 5:
    • (3x + 3y) - (5x + 3y) = 11 - 17
    • -2x = -6
    • x = 3
  4. Substitusi x = 3 ke persamaan 4:
    • 3(3) + 3y = 11
    • 9 + 3y = 11
    • 3y = 2
    • y = 2/3
  5. Substitusi x = 3 dan y = 2/3 ke persamaan 2:
    • 2(3) + 2/3 + z = 7
    • 6 + 2/3 + z = 7
    • z = 1/3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 2/3, 1/3)}.

5 Soal Cerita SPLTV Beserta Penyelesaiannya

Nah, sekarang kita akan mencoba soal cerita yang lebih menantang. Jangan khawatir, kita akan pecahkan bersama-sama!

Soal 1

Soal: Harga 2 buah pensil, 1 buku, dan 1 penghapus adalah Rp11.000. Harga 1 pensil, 2 buku, dan 2 penghapus adalah Rp16.000. Sedangkan harga 3 pensil, 1 buku, dan 1 penghapus adalah Rp15.000. Berapakah harga masing-masing pensil, buku, dan penghapus?

Penyelesaian:

  1. Misalkan:
    • Harga pensil = x
    • Harga buku = y
    • Harga penghapus = z
  2. Buat persamaan:
    • 2x + y + z = 11.000 (Persamaan 1)
    • x + 2y + 2z = 16.000 (Persamaan 2)
    • 3x + y + z = 15.000 (Persamaan 3)
  3. Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
    • (2x + y + z) - (3x + y + z) = 11.000 - 15.000
    • -x = -4.000
    • x = 4.000
  4. Substitusi x = 4.000 ke persamaan 1:
    • 2(4.000) + y + z = 11.000
    • 8.000 + y + z = 11.000
    • y + z = 3.000 (Persamaan 4)
  5. Substitusi x = 4.000 ke persamaan 2:
    • 4.000 + 2y + 2z = 16.000
    • 2y + 2z = 12.000
    • y + z = 6.000 (Persamaan 5)
  6. Eliminasi y dari persamaan 4 dan 5:
    • (y + z) - (y + z) = 3.000 - 6.000
    • 0 = -3.000 (Tidak konsisten)

Kesimpulan: Terdapat kesalahan pada soal cerita atau tidak ada solusi.

Soal 2

Soal: Ani, Budi, dan Cici pergi ke toko buku. Ani membeli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp8.500. Budi membeli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp7.000. Cici membeli 1 buku tulis, 1 pensil, dan 2 penghapus seharga Rp9.500. Berapakah harga masing-masing buku tulis, pensil, dan penghapus?

Penyelesaian:

  1. Misalkan:
    • Harga buku tulis = x
    • Harga pensil = y
    • Harga penghapus = z
  2. Buat persamaan:
    • 2x + y + z = 8.500 (Persamaan 1)
    • x + 2y + z = 7.000 (Persamaan 2)
    • x + y + 2z = 9.500 (Persamaan 3)
  3. Kurangkan persamaan 2 dari persamaan 1:
    • (2x + y + z) - (x + 2y + z) = 8.500 - 7.000
    • x - y = 1.500 (Persamaan 4)
  4. Kurangkan persamaan 2 dari persamaan 3:
    • (x + y + 2z) - (x + 2y + z) = 9.500 - 7.000
    • -y + z = 2.500 (Persamaan 5)
  5. Kalikan persamaan 4 dengan 2 dan jumlahkan dengan persamaan 1:
    • 2(x - y) = 2(1.500)
    • 2x - 2y = 3.000 (Persamaan 6)
  6. Jumlahkan persamaan 1 dan 6:
    • (2x + y + z) + (2x - 2y) = 8.500 + 3.000
    • 4x - y + z = 11.500
  7. Eliminasi z dari persamaan 1 dan 5:
    • (2x + y + z) - (-y + z) = 8.500 - 2.500
    • 2x + 2y = 6.000
    • x + y = 3.000 (Persamaan 7)
  8. Eliminasi y dari persamaan 4 dan 7:
    • (x - y) + (x + y) = 1.500 + 3.000
    • 2x = 4.500
    • x = 2.250
  9. Substitusi x = 2.250 ke persamaan 7:
    • 2.250 + y = 3.000
    • y = 750
  10. Substitusi y = 750 ke persamaan 5:
    • -750 + z = 2.500
    • z = 3.250

Jadi, harga buku tulis adalah Rp2.250, pensil adalah Rp750, dan penghapus adalah Rp3.250.

Soal 3

Soal: Sebuah toko menjual tiga jenis buah: apel, pisang, dan jeruk. Harga 2 kg apel, 1 kg pisang, dan 1 kg jeruk adalah Rp60.000. Harga 1 kg apel, 2 kg pisang, dan 1 kg jeruk adalah Rp55.000. Harga 1 kg apel, 1 kg pisang, dan 2 kg jeruk adalah Rp65.000. Berapakah harga per kg masing-masing buah?

Penyelesaian:

  1. Misalkan:
    • Harga apel per kg = x
    • Harga pisang per kg = y
    • Harga jeruk per kg = z
  2. Buat persamaan:
    • 2x + y + z = 60.000 (Persamaan 1)
    • x + 2y + z = 55.000 (Persamaan 2)
    • x + y + 2z = 65.000 (Persamaan 3)
  3. Kurangkan persamaan 2 dari persamaan 1:
    • (2x + y + z) - (x + 2y + z) = 60.000 - 55.000
    • x - y = 5.000 (Persamaan 4)
  4. Kurangkan persamaan 2 dari persamaan 3:
    • (x + y + 2z) - (x + 2y + z) = 65.000 - 55.000
    • -y + z = 10.000 (Persamaan 5)
  5. Kurangkan persamaan 3 dari persamaan 1:
    • (2x + y + z) - (x + y + 2z) = 60.000 - 65.000
    • x - z = -5.000 (Persamaan 6)
  6. Eliminasi y dari persamaan 4 dan 5:
    • -y + z = 10.000
    • x - y = 5.000
    • y = x - 5.000
    • -(x - 5.000) + z = 10.000
    • -x + z = 5.000 (Persamaan 7)
  7. Eliminasi z dari persamaan 6 dan 7:
    • x - z + (-x + z) = -5.000 + 5.000
    • 0 = 0 (Terpenuhi)
  8. Dari Persamaan 4, x = y + 5.000
  9. Substitusi x = y + 5.000 ke Persamaan 1
    • 2(y + 5.000) + y + z = 60.000
    • 2y + 10.000 + y + z = 60.000
    • 3y + z = 50.000 (Persamaan 8)
  10. Substitusi x = y + 5.000 ke Persamaan 6
    • y + 5.000 - z = -5.000
    • y - z = -10.000 (Persamaan 9)
  11. Jumlahkan persamaan 8 dan 9
    • 3y + z + y - z = 50.000 - 10.000
    • 4y = 40.000
    • y = 10.000
  12. Substitusi y = 10.000 ke x = y + 5.000
    • x = 10.000 + 5.000
    • x = 15.000
  13. Substitusi x = 15.000 ke Persamaan 6
    • 15.000 - z = -5.000
    • z = 20.000

Jadi, harga apel per kg adalah Rp15.000, pisang per kg adalah Rp10.000, dan jeruk per kg adalah Rp20.000.

Soal 4

Soal: Sebuah perusahaan memproduksi tiga jenis produk: A, B, dan C. Untuk memproduksi produk A, diperlukan 2 jam kerja mesin I, 1 jam kerja mesin II, dan 1 jam kerja mesin III. Untuk produk B, diperlukan 1 jam kerja mesin I, 2 jam kerja mesin II, dan 1 jam kerja mesin III. Untuk produk C, diperlukan 1 jam kerja mesin I, 1 jam kerja mesin II, dan 2 jam kerja mesin III. Jika mesin I bekerja selama 11 jam, mesin II bekerja selama 10 jam, dan mesin III bekerja selama 13 jam, berapa banyak produk A, B, dan C yang dapat diproduksi?

Penyelesaian:

  1. Misalkan:
    • Jumlah produk A = x
    • Jumlah produk B = y
    • Jumlah produk C = z
  2. Buat persamaan:
    • 2x + y + z = 11 (Mesin I)
    • x + 2y + z = 10 (Mesin II)
    • x + y + 2z = 13 (Mesin III)
  3. Kurangkan persamaan 2 dari persamaan 1:
    • (2x + y + z) - (x + 2y + z) = 11 - 10
    • x - y = 1 (Persamaan 4)
  4. Kurangkan persamaan 2 dari persamaan 3:
    • (x + y + 2z) - (x + 2y + z) = 13 - 10
    • -y + z = 3 (Persamaan 5)
  5. Kurangkan persamaan 3 dari persamaan 1:
    • (2x + y + z) - (x + y + 2z) = 11 - 13
    • x - z = -2 (Persamaan 6)
  6. Eliminasi y dari persamaan 4 dan 5:
    • y = x - 1
    • -(x - 1) + z = 3
    • -x + 1 + z = 3
    • -x + z = 2 (Persamaan 7)
  7. Eliminasi z dari persamaan 6 dan 7:
    • x - z + (-x + z) = -2 + 2
    • 0 = 0 (Terpenuhi)
  8. Dari Persamaan 4, x = y + 1
  9. Substitusi x = y + 1 ke Persamaan 1
    • 2(y + 1) + y + z = 11
    • 2y + 2 + y + z = 11
    • 3y + z = 9 (Persamaan 8)
  10. Substitusi x = y + 1 ke Persamaan 6
    • y + 1 - z = -2
    • y - z = -3 (Persamaan 9)
  11. Jumlahkan persamaan 8 dan 9
    • 3y + z + y - z = 9 - 3
    • 4y = 6
    • y = 1.5

Kesimpulan: Karena hasil y (jumlah produk B) adalah desimal, sementara jumlah produk harus berupa bilangan bulat, maka soal ini tidak memiliki solusi yang realistis dalam konteks produksi.

Soal 5

Soal: Tiga orang sahabat, Ali, Budi, dan Cici, berbelanja di toko yang sama. Ali membeli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp7.000. Budi membeli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 2 penghapus seharga Rp8.000. Cici membeli 3 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp9.000. Berapakah harga masing-masing buku tulis, pensil, dan penghapus?

Penyelesaian:

  1. Misalkan:
    • Harga buku tulis = x
    • Harga pensil = y
    • Harga penghapus = z
  2. Buat persamaan:
    • 2x + y + z = 7.000 (Persamaan 1)
    • x + 2y + 2z = 8.000 (Persamaan 2)
    • 3x + y + z = 9.000 (Persamaan 3)
  3. Kurangkan persamaan 1 dari persamaan 3:
    • (3x + y + z) - (2x + y + z) = 9.000 - 7.000
    • x = 2.000 (Persamaan 4)
  4. Substitusi x = 2.000 ke persamaan 1:
    • 2(2.000) + y + z = 7.000
    • 4.000 + y + z = 7.000
    • y + z = 3.000 (Persamaan 5)
  5. Substitusi x = 2.000 ke persamaan 2:
    • 2.000 + 2y + 2z = 8.000
    • 2y + 2z = 6.000
    • y + z = 3.000 (Persamaan 6)
  6. Karena persamaan 5 dan 6 sama, kita perlu informasi tambahan untuk menyelesaikan soal.

Kesimpulan: Soal ini tidak dapat diselesaikan karena persamaan yang terbentuk tidak cukup untuk menemukan nilai unik dari y dan z.

Tips Tambahan Belajar SPLTV

  • Latihan Rutin: Semakin sering kalian berlatih, semakin mudah kalian memahami konsep dan menyelesaikan soal SPLTV.
  • Pahami Konsep Dasar: Pastikan kalian benar-benar mengerti apa itu variabel, persamaan linear, dan bagaimana cara mengeliminasi atau mensubstitusi variabel.
  • Gunakan Metode yang Paling Nyaman: Jangan terpaku pada satu metode saja. Coba berbagai metode (eliminasi, substitusi, campuran) untuk menemukan metode yang paling cocok untuk kalian.
  • Perhatikan Tanda: Jangan sampai salah dalam menghitung tanda positif dan negatif. Hal ini bisa menyebabkan kesalahan dalam penyelesaian soal.
  • Cek Kembali Jawaban: Setelah selesai mengerjakan soal, selalu cek kembali jawaban kalian. Pastikan jawaban kalian memenuhi semua persamaan.

Kesimpulan

SPLTV memang terlihat rumit di awal, tapi dengan latihan dan pemahaman yang baik, kalian pasti bisa menguasainya. Jangan menyerah, teruslah berlatih, dan jangan takut untuk mencoba berbagai soal. Ingat, kunci sukses adalah konsisten dan terus belajar. Semangat, guys! Semoga artikel ini bermanfaat!