Isometri: Soal Dan Pembahasan Transformasi Matematika

by ADMIN 54 views

Hay guys! Kali ini kita bakal bahas soal-soal tentang isometri dalam transformasi matematika. Isometri itu apa sih? Gampangnya, isometri adalah transformasi yang mempertahankan jarak antar titik. Jadi, kalau ada dua titik yang jaraknya 5 satuan, setelah ditransformasi, jaraknya tetap 5 satuan. Nah, biar lebih jelas, yuk kita langsung bahas soal-soal berikut ini!

Soal 1: Transformasi T(x,y) = (2x,2y)

Soalnya: Diketahui transformasi T(x,y)=(2x,2y)T(x,y) = (2x,2y). Apakah T merupakan isometri?

Pembahasan Soal 1

Untuk membuktikan apakah suatu transformasi merupakan isometri atau bukan, kita perlu memeriksa apakah transformasi tersebut mempertahankan jarak. Misalkan kita punya dua titik, (x1,y1)(x_1, y_1) dan (x2,y2)(x_2, y_2). Jarak antara kedua titik ini bisa kita hitung menggunakan rumus jarak:

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Sekarang, kita transformasikan kedua titik ini menggunakan transformasi T(x,y)=(2x,2y)T(x,y) = (2x,2y). Hasil transformasinya adalah:

  • T(x1,y1)=(2x1,2y1)T(x_1, y_1) = (2x_1, 2y_1)
  • T(x2,y2)=(2x2,2y2)T(x_2, y_2) = (2x_2, 2y_2)

Selanjutnya, kita hitung jarak antara kedua titik hasil transformasi ini:

d′=((2x2)−(2x1))2+((2y2)−(2y1))2d' = \sqrt{((2x_2) - (2x_1))^2 + ((2y_2) - (2y_1))^2}

Kita bisa sederhanakan persamaan ini:

d′=(2(x2−x1))2+(2(y2−y1))2d' = \sqrt{(2(x_2 - x_1))^2 + (2(y_2 - y_1))^2}

d′=4(x2−x1)2+4(y2−y1)2d' = \sqrt{4(x_2 - x_1)^2 + 4(y_2 - y_1)^2}

d′=4((x2−x1)2+(y2−y1)2)d' = \sqrt{4((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)}

d′=2(x2−x1)2+(y2−y1)2d' = 2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Perhatikan bahwa d′=2dd' = 2d. Ini berarti jarak setelah transformasi menjadi dua kali lipat dari jarak semula. Karena jaraknya tidak dipertahankan, maka transformasi T(x,y)=(2x,2y)T(x,y) = (2x,2y) bukan merupakan isometri.

Kesimpulan: Transformasi T(x,y)=(2x,2y)T(x,y) = (2x,2y) bukan merupakan isometri karena mengubah jarak antar titik.

Soal 2: Transformasi F(x,y) = (3y, x)

Soalnya: Diketahui transformasi F(x,y)=(3y,x)F(x,y) = (3y, x). Apakah F merupakan isometri?

Pembahasan Soal 2

Sama seperti sebelumnya, kita akan menggunakan rumus jarak untuk membuktikan apakah transformasi ini isometri atau bukan. Misalkan kita punya dua titik, (x1,y1)(x_1, y_1) dan (x2,y2)(x_2, y_2), dengan jarak:

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Kita transformasikan kedua titik ini menggunakan transformasi F(x,y)=(3y,x)F(x,y) = (3y, x). Hasil transformasinya adalah:

  • F(x1,y1)=(3y1,x1)F(x_1, y_1) = (3y_1, x_1)
  • F(x2,y2)=(3y2,x2)F(x_2, y_2) = (3y_2, x_2)

Selanjutnya, kita hitung jarak antara kedua titik hasil transformasi:

d′=(3y2−3y1)2+(x2−x1)2d' = \sqrt{(3y_2 - 3y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2}

d′=(3(y2−y1))2+(x2−x1)2d' = \sqrt{(3(y_2 - y_1))^2 + (x_2 - x_1)^2}

d′=9(y2−y1)2+(x2−x1)2d' = \sqrt{9(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2}

Nah, di sini kita lihat bahwa d′d' tidak sama dengan dd. Ada faktor 9 yang mengalikan (y2−y1)2(y_2 - y_1)^2. Ini berarti transformasi F(x,y)=(3y,x)F(x,y) = (3y, x) bukan merupakan isometri.

Kesimpulan: Transformasi F(x,y)=(3y,x)F(x,y) = (3y, x) bukan merupakan isometri karena mengubah jarak antar titik. Transformasi ini meregangkan jarak pada arah y.

Perbedaan Utama Isometri dan Bukan Isometri

Guys, penting untuk diingat bahwa isometri itu mempertahankan jarak. Jadi, transformasi yang termasuk isometri misalnya translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), dan refleksi (pencerminan). Transformasi seperti dilatasi (penskalaan) dan shearing (geseran) bukan termasuk isometri karena mengubah ukuran atau bentuk objek.

Berikut adalah beberapa poin penting tentang isometri:

  • Mempertahankan Jarak: Jarak antara dua titik sebelum dan sesudah transformasi tetap sama.
  • Mempertahankan Bentuk: Bentuk objek tidak berubah setelah transformasi.
  • Contoh Isometri: Translasi, rotasi, refleksi.
  • Contoh Bukan Isometri: Dilatasi, shearing.

Contoh Soal Isometri Lainnya

Biar makin mantap, yuk kita lihat contoh soal lain tentang isometri:

Soal: Manakah dari transformasi berikut yang merupakan isometri?

  1. G(x,y)=(x+2,y−1)G(x,y) = (x + 2, y - 1)
  2. H(x,y)=(−x,y)H(x,y) = (-x, y)
  3. I(x,y)=(x,2y)I(x,y) = (x, 2y)

Pembahasan:

  1. G(x,y)=(x+2,y−1)G(x,y) = (x + 2, y - 1) merupakan translasi, jadi ini adalah isometri.
  2. H(x,y)=(−x,y)H(x,y) = (-x, y) merupakan refleksi terhadap sumbu y, jadi ini adalah isometri.
  3. I(x,y)=(x,2y)I(x,y) = (x, 2y) meregangkan objek pada arah y, jadi ini bukan isometri.

Jadi, jawabannya adalah transformasi G dan H merupakan isometri.

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Isometri

  • Pahami Konsep Dasar: Pastikan kamu benar-benar paham apa itu isometri dan sifat-sifatnya.
  • Gunakan Rumus Jarak: Ini adalah alat utama untuk membuktikan apakah suatu transformasi isometri atau bukan.
  • Kenali Jenis Transformasi: Beberapa jenis transformasi seperti translasi, rotasi, dan refleksi sudah pasti isometri. Jadi, kalau kamu lihat transformasi jenis ini, kamu bisa langsung tahu jawabannya.
  • Latihan Soal: Semakin banyak latihan soal, semakin terbiasa kamu dengan berbagai jenis soal isometri.

Kesimpulan

Nah, guys, itu tadi pembahasan tentang soal-soal isometri dalam transformasi matematika. Semoga penjelasan ini membantu kalian lebih memahami konsep isometri. Ingat, kunci utama untuk menguasai materi ini adalah dengan banyak latihan soal dan memahami konsep dasarnya. Selamat belajar dan semoga sukses!