Invers Fungsi: Soal Dan Pembahasan Lengkap

by ADMIN 43 views

Hay guys! Kali ini kita akan membahas soal tentang invers fungsi yang sering muncul dalam pelajaran matematika. Soal yang akan kita bahas kali ini cukup menarik karena melibatkan beberapa konsep, mulai dari fungsi itu sendiri, invers fungsi, sampai faktorisasi prima. Yuk, langsung aja kita bedah soalnya!

Soal Invers Fungsi dan Faktor Prima

Soal:

Diketahui fungsi f(x) = (x+1)/x, dengan x ≠ 0, dan f⁻¹ adalah invers dari f. Jika k adalah banyaknya faktor prima dari 210, maka nilai dari f⁻¹(k) adalah?

(A) 1/5 (B) 1/4 (C) 1/3 (D) 3 (E) 4

Memahami Soal Invers Fungsi

Sebelum kita masuk ke penyelesaian, penting banget nih buat kita paham dulu apa yang dimaksud dengan invers fungsi. Secara sederhana, invers fungsi itu adalah kebalikan dari fungsi aslinya. Jadi, kalau kita punya fungsi f(x) yang mengubah x menjadi y, maka invers fungsinya, yaitu f⁻¹(x), akan mengubah y kembali menjadi x. Gampangnya gitu deh!

Dalam soal ini, kita dikasih fungsi f(x) = (x+1)/x. Tugas kita adalah mencari inversnya, yaitu f⁻¹(x). Setelah itu, kita akan mencari nilai dari f⁻¹(k), di mana k adalah banyaknya faktor prima dari 210. Nah, di sinilah kita akan menggabungkan konsep invers fungsi dengan faktorisasi prima. Jadi, pastikan kalian udah paham banget tentang kedua konsep ini ya.

Langkah 1: Mencari Invers Fungsi f(x)

Oke, langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah mencari invers dari fungsi f(x) = (x+1)/x. Gimana caranya? Tenang, guys, ini nggak sesulit yang dibayangkan kok. Ada beberapa langkah sederhana yang bisa kita ikuti:

  1. Ganti f(x) dengan y. Jadi, persamaan kita sekarang menjadi y = (x+1)/x.

  2. Tukar posisi x dan y. Persamaan kita sekarang menjadi x = (y+1)/y.

  3. Selesaikan persamaan untuk y. Ini berarti kita harus mengisolasi y di satu sisi persamaan. Yuk, kita coba!

    • Kalikan kedua sisi dengan y: xy = y + 1
    • Pindahkan semua suku yang mengandung y ke satu sisi: xy - y = 1
    • Faktorkan y: y(x - 1) = 1
    • Bagi kedua sisi dengan (x - 1): y = 1/(x - 1)

  4. Ganti y dengan f⁻¹(x). Nah, kita sudah dapat invers fungsinya! Jadi, f⁻¹(x) = 1/(x - 1).

Langkah 2: Mencari Faktor Prima dari 210

Langkah selanjutnya adalah mencari faktor prima dari 210. Apa itu faktor prima? Faktor prima adalah bilangan prima yang merupakan faktor dari bilangan tersebut. Bilangan prima itu sendiri adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri (contoh: 2, 3, 5, 7, dan seterusnya).

Untuk mencari faktor prima dari 210, kita bisa menggunakan pohon faktor atau cara pembagian langsung. Kita coba cara pembagian langsung aja ya:

  • 210 dibagi 2 = 105 (2 adalah faktor prima)
  • 105 dibagi 3 = 35 (3 adalah faktor prima)
  • 35 dibagi 5 = 7 (5 adalah faktor prima)
  • 7 dibagi 7 = 1 (7 adalah faktor prima)

Jadi, faktor prima dari 210 adalah 2, 3, 5, dan 7. Ada berapa faktor prima? Yup, ada 4 faktor prima. Jadi, nilai k dalam soal ini adalah 4.

Langkah 3: Menghitung f⁻¹(k)

Akhirnya, kita sampai di langkah terakhir! Kita sudah punya invers fungsi f⁻¹(x) = 1/(x - 1) dan nilai k = 4. Sekarang, kita tinggal menghitung f⁻¹(k) atau f⁻¹(4). Caranya gampang banget, kita tinggal substitusikan x dengan 4 dalam persamaan invers fungsi:

f⁻¹(4) = 1/(4 - 1) = 1/3

Jawaban Akhir

Jadi, nilai dari f⁻¹(k) adalah 1/3. Jawaban yang benar adalah (C) 1/3.

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Invers Fungsi

Nah, itu tadi pembahasan lengkap tentang soal invers fungsi dan faktor prima ini. Biar kalian makin jago, ada beberapa tips dan trik yang bisa kalian terapkan nih:

  • Pahami Konsep Dasar: Pastikan kalian benar-benar paham konsep dasar tentang fungsi, invers fungsi, dan faktorisasi prima. Kalau konsep dasarnya kuat, kalian akan lebih mudah mengerjakan soal-soal yang lebih kompleks.
  • Latihan Soal: Nggak ada cara yang lebih baik untuk menguasai materi matematika selain dengan latihan soal. Semakin banyak kalian latihan, semakin terbiasa kalian dengan berbagai jenis soal dan cara penyelesaiannya.
  • Perhatikan Detail: Invers fungsi bisa jadi agak tricky karena ada beberapa langkah yang perlu diperhatikan dengan cermat. Pastikan kalian nggak kelewatan langkah-langkah penting dan teliti dalam perhitungan.
  • Gunakan Strategi yang Tepat: Dalam mengerjakan soal matematika, penting untuk punya strategi yang tepat. Identifikasi dulu jenis soalnya, lalu pilih cara penyelesaian yang paling efektif. Jangan ragu untuk mencoba berbagai cara sampai kalian menemukan yang paling cocok.

Kesimpulan dan Penutup

Oke guys, itu tadi pembahasan lengkap tentang soal invers fungsi yang melibatkan konsep faktorisasi prima. Semoga penjelasan ini bisa membantu kalian lebih memahami materi ini ya. Jangan lupa terus latihan soal dan jangan takut untuk bertanya kalau ada yang belum jelas. Semangat terus belajarnya!

Matematika itu seru kok, asalkan kita mau belajar dan berusaha. Sampai jumpa di pembahasan soal-soal menarik lainnya! Bye bye!

Tambahan: Contoh Soal Invers Fungsi Lainnya

Buat kalian yang pengen latihan lebih banyak, berikut ini ada beberapa contoh soal invers fungsi lainnya yang bisa kalian coba kerjakan:

  1. Diketahui f(x) = 2x - 3. Tentukan f⁻¹(x).
  2. Jika g(x) = (x + 5) / (3x - 2), tentukan g⁻¹(x).
  3. Fungsi h(x) = √(x - 1) memiliki invers h⁻¹(x). Tentukan h⁻¹(x).

Selamat mencoba dan semoga sukses!

Referensi

  • Buku Teks Matematika SMA
  • Modul Pembelajaran Matematika
  • Internet (Sumber-sumber terpercaya tentang invers fungsi dan faktorisasi prima)