Invers Fungsi, Komposisi, Dan Domain: Cara Menghitungnya

Hay guys! Kali ini kita bakal bahas soal matematika yang sering bikin penasaran: cara mencari invers fungsi, komposisi fungsi, dan nentuin domainnya. Soalnya kayak gini nih:

Diketahui:

$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{untuk } x \ge 0 \\ \frac{1-x}{x}, & \text{untuk } x < 0 \end{cases}$$

dan

$$g(x) = \frac{|x-3|}{x+2}$$

Kira-kira, gimana ya cara ngitung $f^{-1}$, $g \circ f$, dan domainnya masing-masing? Yuk, kita bedah satu-satu!

Mencari Invers Fungsi $f^{-1}(x)$

Oke, pertama-tama kita cari invers fungsi f(x) dulu ya. Invers fungsi itu sederhananya adalah fungsi yang kebalikan dari fungsi aslinya. Jadi, kalau kita masukin suatu nilai ke fungsi f, terus hasilnya kita masukin ke inversnya, kita bakal dapet nilai awal kita lagi. Nah, untuk mencari invers fungsi yang berbentuk piecewise (bercabang) kayak f(x) ini, kita harus cari invers di masing-masing cabang:

Kasus 1: $x \ge 0$

Di bagian ini, f(x) = √x. Langkah-langkah mencari inversnya adalah:

1. Ganti f(x) dengan y: Jadi, kita punya y = √x.
2. Tukar posisi x dan y: Sekarang jadi x = √y.
3. Selesaikan persamaan untuk y: Untuk ngilangin akar kuadrat, kita kuadratkan kedua sisi: x² = y. Jadi, invers untuk bagian ini adalah f⁻¹(x) = x².
4. Tentukan Domainnya: Karena f(x) = √x hanya terdefinisi untuk x ≥ 0, maka range (hasil) dari f(x) juga ≥ 0. Range dari fungsi awal akan menjadi domain bagi inversnya. Jadi, domain untuk bagian ini adalah x ≥ 0.

Kasus 2: $x < 0$

Di bagian ini, f(x) = (1-x)/x. Langkah-langkahnya mirip:

1. Ganti f(x) dengan y: y = (1-x)/x.
2. Tukar posisi x dan y: x = (1-y)/y.
3. Selesaikan persamaan untuk y: Kita kali kedua sisi dengan y: xy = 1 - y. Terus, kita kumpulin semua suku yang ada y-nya: xy + y = 1. Kita faktorin y-nya: y(x + 1) = 1. Terakhir, kita bagi kedua sisi dengan (x + 1): y = 1/(x + 1). Jadi, invers untuk bagian ini adalah f⁻¹(x) = 1/(x + 1).
4. Tentukan Domainnya: Karena f(x) = (1-x)/x untuk x < 0, kita perlu cari range dari f(x) di interval ini. Kita lihat bahwa f(x) bisa menghasilkan semua nilai kecuali 0. Jadi, domain untuk bagian ini adalah x < 0 dan x ≠ -1.

Kesimpulan Invers Fungsi $f(x)$

Nah, dari dua kasus tadi, kita bisa simpulin invers fungsi f(x) secara keseluruhan adalah:

$$f^{-1}(x) = \begin{cases} x^2, & \text{untuk } x \ge 0 \\ \frac{1}{x+1}, & \text{untuk } x < 0 \end{cases}$$

Dengan domainnya adalah x ≥ 0 untuk bagian x² dan x < 0 serta x ≠ -1 untuk bagian 1/(x+1).

Mencari Komposisi Fungsi $(g \circ f)(x)$

Selanjutnya, kita cari komposisi fungsi (g ∘ f)(x). Komposisi fungsi itu artinya kita masukin hasil dari fungsi f(x) ke dalam fungsi g(x). Jadi, (g ∘ f)(x) = g(f(x)). Untuk mencari ini, kita juga perlu perhatikan cabang dari fungsi f(x).

Kasus 1: $x \ge 0$

Di sini, f(x) = √x. Jadi, kita masukin √x ke dalam g(x):

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = \frac{|\sqrt{x} - 3|}{\sqrt{x} + 2}$$

Untuk domainnya, kita perlu perhatikan dua hal:

1. Domain dari f(x): Karena kita pakai √x, maka x ≥ 0.
2. Domain dari g(x) setelah dimasukkan f(x): Penyebutnya adalah √x + 2. Karena akar kuadrat selalu positif dan kita tambahkan 2, maka penyebutnya tidak akan pernah nol. Jadi, tidak ada masalah di sini.

Jadi, untuk kasus ini, domainnya adalah x ≥ 0.

Kasus 2: $x < 0$

Di sini, f(x) = (1-x)/x. Kita masukin ini ke dalam g(x):

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\frac{1-x}{x}) = \frac{|\frac{1-x}{x} - 3|}{\frac{1-x}{x} + 2}$$

Wah, kelihatannya agak ribet ya? Kita sederhanain dulu deh. Kita kali pembilang dan penyebut dengan x:

$$(g \circ f)(x) = \frac{|1 - x - 3x|}{1 - x + 2x} = \frac{|1 - 4x|}{1 + x}$$

Untuk domainnya, kita perhatikan:

1. Domain dari f(x): Kita pakai f(x) = (1-x)/x, jadi x < 0 dan x ≠ 0.
2. Domain dari g(x) setelah dimasukkan f(x): Penyebutnya adalah (1 + x). Jadi, x ≠ -1.

Jadi, untuk kasus ini, domainnya adalah x < 0 dan x ≠ -1.

Kesimpulan Komposisi Fungsi $(g \circ f)(x)$

Dari dua kasus tadi, kita bisa simpulin komposisi fungsi (g ∘ f)(x) secara keseluruhan adalah:

$$(g \circ f)(x) = \begin{cases} \frac{|\sqrt{x} - 3|}{\sqrt{x} + 2}, & \text{untuk } x \ge 0 \\ \frac{|1 - 4x|}{1 + x}, & \text{untuk } x < 0 \end{cases}$$

Dengan domainnya adalah x ≥ 0 untuk bagian pertama dan x < 0 serta x ≠ -1 untuk bagian kedua.

Menentukan Domain Masing-Masing Fungsi

Nah, terakhir, kita udah sekalian nentuin domainnya pas nyari invers dan komposisi tadi. Tapi, biar lebih jelas, kita rangkum lagi ya:

• Domain f(x): Dari definisi soal, domain f(x) adalah semua bilangan real (x ∈ ℝ).
• Domain g(x): Dari g(x) = |x-3|/(x+2), kita tahu penyebutnya gak boleh nol. Jadi, x + 2 ≠ 0 atau x ≠ -2. Jadi, domain g(x) adalah semua bilangan real kecuali -2 (x ∈ ℝ, x ≠ -2).
• Domain f⁻¹(x): Udah kita bahas tadi, domainnya adalah x ≥ 0 untuk bagian x² dan x < 0 serta x ≠ -1 untuk bagian 1/(x+1).
• Domain (g ∘ f)(x): Juga udah kita bahas, domainnya adalah x ≥ 0 untuk bagian pertama dan x < 0 serta x ≠ -1 untuk bagian kedua.

Kesimpulan

Oke guys, jadi gitu ya cara nyari invers fungsi, komposisi fungsi, dan nentuin domainnya. Emang agak panjang dan perlu teliti, tapi step-by-step-nya jelas kok. Kuncinya adalah:

• Pecah jadi kasus: Kalau fungsinya piecewise, pecah jadi kasus per kasus.
• Perhatikan domain: Domain fungsi awal akan mempengaruhi domain invers dan komposisinya.
• Sederhanakan: Kalau nemu bentuk yang ribet, sederhanain dulu biar gak pusing.

Semoga penjelasan ini membantu ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu buat tanya di kolom komentar. Semangat terus belajarnya!