Hitung Proyeksi Vektor Ortogonal Dengan Mudah

Halo semuanya! Balik lagi nih sama kita, kali ini kita bakal ngebahas topik yang lumayan sering bikin pusing, tapi sebenarnya seru banget kalau udah ngerti: proyeksi vektor ortogonal. Buat kalian yang lagi belajar matematika, terutama yang suka ngulik vektor, pasti udah nggak asing lagi kan sama istilah ini? Nah, di artikel ini, kita bakal kupas tuntas sampai ke akar-akarnya, biar kalian nggak lagi takut sama yang namanya proyeksi. Kita akan mulai dari konsep dasarnya, rumus-rumusnya, sampai contoh soal yang bikin otak langsung plug and play. Siap? Yuk, kita mulai petualangan kita di dunia vektor!

Memahami Konsep Proyeksi Vektor Ortogonal

Sebelum kita masuk ke rumus-rumus yang bikin jidat berkerut, penting banget buat kita pahami dulu apa sih sebenarnya proyeksi vektor ortogonal itu. Bayangin aja deh, kalian lagi ada di bawah terik matahari, terus ada tongkat berdiri tegak. Nah, bayangan tongkat itu di tanah, itu loh yang namanya proyeksi. Dalam dunia vektor, konsepnya mirip-mirip, tapi kita mainnya di ruang yang lebih abstrak. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\vec{u}$ pada vektor $\vec{v}$, yang biasa kita tulis sebagai \text{proj}_\vec{v} \vec{u}, itu ibaratnya 'bayangan' dari vektor $\vec{u}$ yang 'jatuh' tegak lurus pada garis yang dibentuk oleh vektor $\vec{v}$. Jadi, kita lagi ngeliat seberapa besar kontribusi vektor $\vec{u}$ yang searah atau berlawanan arah dengan $\vec{v}$, tapi dengan cara yang tegak lurus.

Kenapa sih kita perlu belajar proyeksi ortogonal? Ada banyak banget kegunaannya, guys. Dalam fisika, misalnya, proyeksi ini dipakai buat ngitung usaha. Usaha kan didefinisikan sebagai gaya dikali perpindahan. Nah, kalau gayanya nggak searah sama perpindahannya, kita perlu cari komponen gaya yang searah perpindahan aja pakai proyeksi. Di teknik gambar juga kepake banget, buat ngegambarin objek tiga dimensi ke bidang dua dimensi. Intinya, proyeksi ortogonal ini alat bantu yang ampuh buat memecah masalah vektor yang kompleks jadi bagian-bagian yang lebih sederhana dan gampang dianalisis. Jadi, jangan anggap remeh, ya!

Dalam definisi matematisnya, proyeksi vektor ortogonal $\vec{p}$ dari $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ itu adalah vektor yang searah dengan $\vec{v}$, dan panjangnya adalah proyeksi skalar $\vec{u}$ pada $\vec{v}$. Proyeksi skalar ini sendiri dihitung dengan rumus $(\vec{u} \cdot \vec{v}) / |\vec{v}|$. Nah, karena vektor hasil proyeksi itu harus searah dengan $\vec{v}$, kita perlu mengalikannya dengan vektor satuan dari $\vec{v}$. Vektor satuan $\vec{v}$ itu kan $\vec{v} / |\vec{v}|$. Jadi, kalau digabungin, rumus proyeksi vektor ortogonalnya jadi:

\qquad \text{proj}_\vec{v} \vec{u} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}

Atau, bisa juga ditulis kayak gini:

$\qquad \vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \right) \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Ini penting banget buat dicatat dan dipahami, soalnya rumus ini bakal jadi 'senjata' utama kita buat ngerjain soal-soal proyeksi. Ingat, $\vec{u} \cdot \vec{v}$ itu hasil kali titik (dot product) antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$, yang hasilnya berupa skalar. Sementara $|\vec{v}|$ itu panjang (magnitude) dari vektor $\vec{v}$. Nah, hasil akhir dari proyeksi vektor ortogonal ini adalah vektor, bukan skalar, jadi arahnya harus diperhatikan.

Mengurai Soal Proyeksi Vektor Ortogonal

Oke, guys, sekarang kita udah punya bekal konsep dan rumus. Saatnya kita coba terapin ke contoh soal yang dikasih. Soalnya gini: Diberikan vektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$. Jika proyeksi vektor ortogonal $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$. Tentukan nilai $2x$. Nah, loh! Ada yang janggal nih di soal ini. Coba perhatiin baik-baik. Vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ itu kan vektor dua dimensi, artinya mereka cuma punya komponen di sumbu x dan y. Tapi, hasil proyeksinya, si $\vec{p}$, malah vektor tiga dimensi! Ini kayak kita coba masukin data dari Excel ke program yang cuma bisa baca data dari Word. Ada ketidakcocokan dimensi, guys. Kemungkinan besar ada salah ketik di soalnya. Kita asumsikan aja, ya, bahwa vektor $\vec{p}$ ini seharusnya juga vektor dua dimensi, karena di-proyeksikan dari vektor dua dimensi. Atau, bisa jadi vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ itu sebenarnya tiga dimensi, tapi komponen ketiganya nol. Nah, mari kita coba selesaikan dengan dua asumsi.

Asumsi 1: $\vec{p}$ adalah vektor dua dimensi.

Kalau $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j}$, berarti $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \end{pmatrix}$. Ingat rumus proyeksi vektor ortogonal: $\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}$.

Pertama, kita hitung dulu hasil kali titik $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (x)(2) + (-10)(1) = 2x - 10$

Kedua, kita hitung kuadrat panjang vektor $\vec{v}$:

$|\vec{v}|^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

Sekarang, kita masukkan ke rumus proyeksi:

$\vec{p} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$

Karena $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \end{pmatrix}$, maka:

$\begin{pmatrix} 4 \ -4 \end{pmatrix} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$

Ini berarti:

$4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \times 2$

Dan

$-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) imes 1$

Dari persamaan kedua, kita dapat:

$-4 = \frac{2x - 10}{5}$

$-20 = 2x - 10$

$-10 = 2x$

$x = -5$

Kalau kita cek pakai persamaan pertama:

$4 = \left( \frac{2(-5) - 10}{5} \right) imes 2$

$4 = \left( \frac{-10 - 10}{5} \right) imes 2$

$4 = \left( \frac{-20}{5} \right) imes 2$

$4 = (-4) imes 2$

$4 = -8$

Nah, di sini ada masalah lagi, guys. Hasilnya nggak konsisten. Ini makin menguatkan dugaan kita kalau soalnya ada yang salah. Mari kita coba asumsi kedua.

Asumsi 2: $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah vektor tiga dimensi.

Kalau $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, berarti $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$.

Jika $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah vektor tiga dimensi, maka bentuknya bisa jadi:

$\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ 0 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$ (asumsi komponen ketiga nol).

Atau mungkin komponen ketiganya bukan nol, tapi kita nggak tahu nilainya. Kalau kita pakai asumsi di atas:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (x)(2) + (-10)(1) + (0)(0) = 2x - 10$

$|\vec{v}|^2 = 2^2 + 1^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5$

Rumus proyeksi vektor ortogonal:

$\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}$

$\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$

Dari sini, kita dapat tiga persamaan:

1. $4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) imes 2$
2. $-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) imes 1$
3. $2 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) imes 0$

Persamaan ketiga $2 = 0$ ini jelas salah, guys. Ini membuktikan kalau asumsi komponen ketiga nol itu juga nggak bener kalau $\vec{p}$-nya adalah vektor tiga dimensi seperti yang diberikan. Ini aneh banget. Ada kemungkinan besar proyeksi vektor ortogonalnya tidak pada $\vec{v}$ yang $\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$, tapi pada vektor lain yang tiga dimensi.

Kemungkinan Koreksi Soal yang Paling Masuk Akal

Kalau kita lihat hasil $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, ini kan bentuknya $\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$. Nah, kalau vektor hasil proyeksi ini adalah $\vec{p}$, dan $\vec{p}$ ini adalah proyeksi dari $\vec{u}$ pada $\vec{v}$, maka $\vec{p}$ ini harus searah dengan $\vec{v}$. Artinya, $\vec{p}$ adalah kelipatan dari $\vec{v}$.

Kalau $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$, ini vektor dua dimensi. Kalau $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$, ini vektor tiga dimensi. Mereka nggak mungkin searah, nggak mungkin juga $\vec{p}$ adalah proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ yang dimensi-nya berbeda.

Mari kita buat asumsi lain yang lebih mungkin: vektor $\vec{v}$ yang diberikan seharusnya adalah vektor tiga dimensi, dan $\vec{p}$ adalah proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ tersebut.

Misalkan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ k \end{pmatrix}$ untuk suatu nilai $k$ yang belum diketahui.

Dan $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ m \end{pmatrix}$ untuk suatu nilai $m$ yang belum diketahui.

Proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$.

Rumus proyeksinya adalah $\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}$.

Karena $\vec{p}$ dan $\vec{v}$ searah, maka \vec{p} = c egin{pmatrix} 2 \ 1 \ k \\\end{pmatrix} dan \vec{v} = d egin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} untuk konstanta $c$ dan $d$. Tapi ini juga rumit.

Cara paling umum kalau proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p}$, maka $\vec{p}$ itu pasti kelipatan dari $\vec{v}$. Jadi, \vec{p} = eta \\vec{v} untuk suatu skalar $\beta$. Atau $\vec{v} = \alpha \vec{p}$ untuk suatu skalar $\alpha$.

Jika $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$, dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$ (asumsi komponen ketiga tidak ada).

Mungkin soalnya begini: $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ z \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ w \end{pmatrix}$. Proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$.

Kalau $\vec{p}$ adalah proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$, maka $\vec{p}$ harus searah dengan $\vec{v}$.

Jadi, $\vec{v}$ harus merupakan kelipatan dari $\vec{p}$ (atau sebaliknya).

Kalau kita lihat $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$.

Jika $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$, ini 2D. $\vec{p}$ adalah 3D. Ini nggak mungkin.

Kalau $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$ (asumsi 3D, komponen ketiga 0). $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$. Apakah $\vec{p}$ searah dengan $\vec{v}$? $\frac{4}{2} = 2$. $\frac{-4}{1} = -4$. $\frac{2}{0}$ tidak terdefinisi. Jadi, tidak searah.

Kemungkinan besar, soalnya maksudnya adalah $\vec{v}$ itu sendiri yang punya arah yang sama dengan $\vec{p}$, atau $\vec{v}$ adalah salah satu vektor pembentuk $\vec{p}$.

Mari kita coba interpretasi lain yang paling logis berdasarkan rumus proyeksi $\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}$.

Ini berarti $\vec{p}$ dan $\vec{v}$ itu VEKTOR YANG SEARAH. Jadi, $\vec{p} = k e\vec{v}$ untuk suatu skalar $k$. Atau $\vec{v} = m e\vec{p}$ untuk suatu skalar $m$.

Kalau kita pakai $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$, ini aneh. Tapi jika kita anggap $\vec{v}$ itu sebenarnya adalah $\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$ (3D, komponen k = 0), maka $\vec{p}$ tidak mungkin proyeksinya karena tidak searah.

Bagaimana jika $\vec{v}$ itu adalah kelipatan dari $\vec{p}$? Misalnya, $\vec{v}$ itu salah satu dari $(4, -4, 2)$, $(2, -2, 1)$, atau $(8, -8, 4)$, dst. Tapi soalnya jelas bilang $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$.

Ini membingungkan. Mari kita coba asumsi bahwa hasil proyeksi $\vec{p}$ ini sebenarnya adalah skalar proyeksi yang dikalikan dengan $\vec{v}$ itu sendiri, tapi ada kesalahan penulisan di $\vec{p}$.

Misalnya, $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$. Proyeksi skalar $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{2x-10}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{2x-10}{\sqrt{5}}$.

Proyeksi vektor ortogonalnya adalah $\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} = \left( \frac{2x-10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$.

Jika $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$.

Ini tetap tidak cocok karena $\vec{p}$ harusnya sejajar $\vec{v}$.

Asumsi Koreksi Soal Paling Realistis

Kemungkinan besar, soalnya maksudnya adalah: $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ dan ada vektor lain $\vec{w}$ yang ketika $\vec{u}$ diproyeksikan pada $\vec{w}$, hasilnya adalah $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$. Dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$ itu informasi terpisah atau salah ketik.

Atau, $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah vektor 3D, tapi komponennya tidak lengkap ditulis.

Mari kita coba asumsi terkuat: $\vec{v}$ adalah vektor 3D yang searah dengan $\vec{p}$, dan $\vec{u}$ adalah vektor 3D.

Jika $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$ adalah proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$, maka $\vec{v}$ harus searah dengan $\vec{p}$.

Jadi, $\vec{v}$ bisa jadi $\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$ atau kelipatannya. Tapi di soal tertulis $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$.

Ini nggak nyambung, guys. Oke, mari kita coba anggap bahwa $\vec{v}$ di soal adalah $\vec{v}_{dimensi2} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$, dan $\vec{p}$ adalah hasil proyeksi dari $\vec{u}$ pada vektor lain $\vec{w}$ (yang 3D).

Tapi kalau kita harus pakai $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$ untuk mendapatkan $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$.

Satu-satunya cara agar ini bisa dikerjakan adalah jika kesalahan ada pada $\vec{p}$, dan $\vec{p}$ seharusnya sejajar $\vec{v}$.

Misalkan $\vec{p}$ seharusnya adalah $\vec{p}'$, yang sejajar $\vec{v}$. Maka \vec{p}' = k e\vec{v} = k egin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix}.

Jika $\vec{p}'$ ini adalah proyeksi ortogonal $\vec{u}$ pada $\vec{v}$, maka:

$\vec{p}' = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}$

$\begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix} = \left( \frac{x(2) + (-10)(1)}{2^2 + 1^2} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$

Ini konsisten, karena kedua komponen $\vec{p}'$ sesuai.

Sekarang, bagaimana kita mendapatkan nilai $k$? Di soal asli, $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$. Ini kan $\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$.

Jika kita dipaksa menggunakan nilai-nilai ini, dan mengabaikan ketidaksesuaian dimensi, kita bisa coba lihat:\

Dari $\vec{p} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \vec{v}$.

Kalau $\vec{p}$ itu sejajar $\vec{v}$, maka harusnya:

Komponen x: $4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 2$ --> $2 = \frac{2x - 10}{5}$ --> $10 = 2x - 10$ --> $2x = 20$ --> $x = 10$.

Komponen y: $-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 1$ --> $-4 = \frac{2x - 10}{5}$ --> $-20 = 2x - 10$ --> $2x = -10$ --> $x = -5$.

Lagi-lagi kita dapat hasil yang kontradiktif untuk $x$ jika kita memaksakan $\vec{p}$ sejajar $\vec{v}$ dan menggunakan nilai-nilai dari $\vec{p}$ asli.

Koreksi Paling Mungkin dan Penyelesaiannya

Kita kembali ke asumsi paling dasar: proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p}$, maka $\vec{p}$ harus sejajar dengan $\vec{v}$.

Di soal diberikan $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$. Hasil proyeksi $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$.

Ketidaksesuaian paling besar adalah dimensi $\vec{v}$ (2D) dan $\vec{p}$ (3D).

Jika kita menganggap soalnya punya typo dan yang dimaksud adalah $\vec{v}$ adalah vektor 3D, dan $\vec{p}$ adalah proyeksinya, maka $\vec{p}$ harus sejajar $\vec{v}$.

Kemungkinan, $\vec{v}$ seharusnya adalah $\begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$ atau kelipatan lain yang searah dengan $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$.

Jika kita anggap $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$ (karena ini kelipatan dari $\vec{p}$ dengan faktor 0.5, jika komponen 3nya 1). Tapi ini tidak sesuai dengan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$.

Mari kita buat asumsi paling kuat untuk bisa menyelesaikan soal ini:

1. $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ (2D)
2. $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$ (2D)
3. Proyeksi ortogonal $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p}$, dan $\vec{p}$ harus searah $\vec{v}$.
4. Nilai $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ adalah SALAH KAPRAH, dan seharusnya nilai ini mengacu pada sesuatu yang lain, atau salah ketik total.

Namun, jika kita dipaksa menggunakan $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$ dan kita harus mencari $\vec{x}$ (yang sebenarnya adalah $x$ di $\vec{u}$), maka kita harus membuat $\vec{p}$ sejajar $\vec{v}$.

Jika $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$, dan $\vec{p}$ hasil proyeksinya, maka $\vec{p}$ harusnya berbentuk $\begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix}$.

Dari $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, kita punya komponen $(4, -4, 2)$.

Anggap saja ada kesalahan dalam soal, dan komponen $\vec{p}$ yang 3D ini seharusnya memberikan informasi tentang konstanta skalarnya.

Jika kita pakai salah satu komponen $\vec{p}$ untuk mendapatkan nilai $x$, kita dapat hasil berbeda.

Misal kita ambil komponen $\mathbf{i}$ dan komponen $\vec{v}$:

$4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 2$ $2 = \frac{2x - 10}{5}$ $10 = 2x - 10$ $2x = 20$ $x = 10$

Jika kita ambil komponen $\mathbf{j}$:

$-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 1$ $-4 = \frac{2x - 10}{5}$ $-20 = 2x - 10$ $2x = -10$ $x = -5$

Karena hasil $x$ berbeda, soal ini tidak konsisten sebagaimana adanya. Namun, dalam konteks ujian atau latihan, seringkali kita diminta memilih salah satu interpretasi atau mengasumsikan ada typo.

Jika kita anggap bahwa komponen pertama (i) dari $\vec{p}$ adalah yang paling 'representatif' atau ada typo di komponen lainnya:

Maka kita dapat $x = 10$. Yang ditanya adalah $2x$. $2x = 2 imes 10 = 20$.

Jika kita anggap komponen kedua (j) adalah yang 'representatif': Maka kita dapat $x = -5$. Yang ditanya adalah $2x$. $2x = 2 imes (-5) = -10$.

Jika kita anggap komponen ketiga (k) memberi informasi, ini makin aneh karena $\vec{v}$ tidak punya komponen k.

Kesimpulan dan Penyelesaian Berdasarkan Asumsi Koreksi yang Paling Mungkin

Mengingat adanya ketidaksesuaian dimensi dan hasil yang kontradiktif, soal ini kemungkinan besar memiliki kesalahan penulisan. Namun, jika kita harus memberikan jawaban, kita perlu membuat asumsi.

Asumsi paling umum ketika ada proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p}$, maka $\vec{p}$ harus searah dengan $\vec{v}$. Dengan $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$, proyeksi $\vec{p}$ seharusnya berbentuk $\begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix}$.

Jika kita mengabaikan komponen $\mathbf{k}$ dari $\vec{p}$ dan hanya melihat $\vec{p}' = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \end{pmatrix}$, maka $\vec{p}'$ ini HARUS sejajar $\vec{v}$. Tapi $\frac{4}{2} = 2$ dan $\frac{-4}{1} = -4$. Ini juga tidak sejajar.

Kemungkinan besar, $\vec{v}$ yang dimaksud adalah vektor 3D yang searah dengan $\vec{p}$. Misalnya, $\vec{v}$ seharusnya adalah $\begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$ (agar searah dengan $\vec{p}$ yang $\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$).

Jika kita gunakan asumsi $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$ dan $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ z \end{pmatrix}$ (dimana $z$ bisa berapa saja, karena proyeksi ortogonal tidak bergantung pada komponen yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi), dan $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x(2) + (-10)(-2) + z(1) = 2x + 20 + z$ $|\vec{v}|^2 = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9$

$\vec{p} = \left( \frac{2x + 20 + z}{9} \right) \vec{v}$ $\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} = \left( \frac{2x + 20 + z}{9} \right) \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$

Dari komponen pertama: $4 = \left( \frac{2x + 20 + z}{9} \right) e 2 e 2$. Ini sama dengan \vec{p} = eta e e e e e v, di mana eta adalah skalar. $\frac{4}{2} = 2$. $\frac{-4}{-2} = 2$. $\frac{2}{1} = 2$. Ya, $\vec{p}$ dan $\vec{v}$ searah dengan faktor skala 2.

Jadi, $\beta = 2$. Maka: $2 = \frac{2x + 20 + z}{9}$ $18 = 2x + 20 + z$ $2x + z = -2$

Kita punya satu persamaan dengan dua variabel ($x$ dan $z$). Ini berarti kita tidak bisa menemukan nilai $x$ secara unik.

Kemungkinan paling akhir dan paling mungkin diinginkan oleh pembuat soal: $\vec{v}$ yang tertulis $\begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$ itu adalah vektor basis atau arah lain, dan $\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ adalah hasil proyeksi ortogonal $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ pada vektor lain yang tidak disebutkan, tapi memiliki komponen arah $(4, -4, 2)$.

Jika ini kasusnya, dan kita pakai $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ dan proyeksi pada $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$ menghasilkan $\vec{p}$ yang kita asumsikan harus sejajar $\vec{v}$.

Mari kita coba fokus pada $\vec{p}$ yang diberikan, $4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$. Ini adalah vektor 3D. \vec{u} = egin{pmatrix} x \ -10 \\\end{pmatrix} adalah vektor 2D. \vec{v} = egin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} adalah vektor 2D.

Jika $\vec{p}$ adalah proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$, maka $\vec{p}$ harus searah dengan $\vec{v}$. Jelas ini tidak mungkin karena dimensi berbeda.

SOLUSI PALING LOGIS DENGAN MEMPERBAIKI SOAL: Asumsikan $\vec{v}$ seharusnya adalah vektor 3D yang searah dengan $\vec{p}$. Misalnya, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$. Dan $\vec{u}$ juga vektor 3D, $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ z \end{pmatrix}$.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4x - 10(-4) + z(2) = 4x + 40 + 2z$ $|\vec{v}|^2 = 4^2 + (-4)^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36$

$\vec{p} = \left( \frac{4x + 40 + 2z}{36} \right) \vec{v}$ $\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} = \left( \frac{4x + 40 + 2z}{36} \right) \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}$

Ini berarti $\frac{4x + 40 + 2z}{36} = 1$ (karena $\vec{p} = 1 e e e e e v$). $4x + 40 + 2z = 36$ $4x + 2z = -4$ $2x + z = -2$

Masih sama, satu persamaan dua variabel.

Namun, jika soalnya mengartikan bahwa $\vec{v}$ yang tertulis $\begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$ adalah VEKTOR BASIS ATAU ARAH UTAMA, dan $\vec{p}$ adalah hasil proyeksinya, maka $\vec{p}$ harusnya sejajar $\vec{v}$.

Mari kita gunakan informasi $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$, dan kita perbaiki $\vec{p}$ agar sejajar $\vec{v}$ dan menyerap informasi dari $\vec{p}$ asli.

Misal, kita anggap bahwa proporsi komponen dari $\vec{p}$ yang 3D itu penting. Tapi ini tidak matematis.

Baik, mari kita kembali ke perhitungan di mana kita mendapatkan dua nilai $x$ yang berbeda:

1. Menggunakan komponen $\mathbf{i}$ dari $\vec{p}$: $x = 10$. Maka $2x = 20$.
2. Menggunakan komponen $\mathbf{j}$ dari $\vec{p}$: $x = -5$. Maka $2x = -10$.

Karena soal tidak konsisten, tidak ada jawaban yang benar-benar 'benar'. Namun, jika ini adalah soal pilihan ganda, kita mungkin bisa menebak mana yang dimaksud. Seringkali, komponen pertama yang digunakan.

Mari kita ambil asumsi bahwa komponen $\mathbf{i}$ dari $\vec{p}$ dan $\vec{v}$ yang digunakan untuk mencari $x$.

Dari $4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 2$, kita dapat $x = 10$.

Maka, $2x = 2 imes 10 = 20$.

Jika kita mengasumsikan komponen $\mathbf{j}$: Dari $-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 1$, kita dapat $x = -5$.

Maka, $2x = 2 imes (-5) = -10$.

Karena soal ini sangat ambigu dan tidak konsisten, saya akan memberikan jawaban berdasarkan asumsi bahwa komponen $\mathbf{i}$ dari $\vec{p}$ yang relevan untuk dicocokkan dengan komponen $\vec{v}$ (meskipun ini tidak sepenuhnya benar secara matematis karena proyeksi harus sejajar).

Jadi, dengan asumsi $x=10$, maka $2x = 20$.

Ini adalah contoh bagaimana kesalahan dalam soal matematika bisa sangat membingungkan. Selalu periksa konsistensi dimensi dan hubungan antar vektor, guys!