Hitung Proyeksi Vektor Ortogonal Dengan Mudah

by ADMIN 46 views

Halo semuanya! Balik lagi nih sama kita, kali ini kita bakal ngebahas topik yang lumayan sering bikin pusing, tapi sebenarnya seru banget kalau udah ngerti: proyeksi vektor ortogonal. Buat kalian yang lagi belajar matematika, terutama yang suka ngulik vektor, pasti udah nggak asing lagi kan sama istilah ini? Nah, di artikel ini, kita bakal kupas tuntas sampai ke akar-akarnya, biar kalian nggak lagi takut sama yang namanya proyeksi. Kita akan mulai dari konsep dasarnya, rumus-rumusnya, sampai contoh soal yang bikin otak langsung plug and play. Siap? Yuk, kita mulai petualangan kita di dunia vektor!

Memahami Konsep Proyeksi Vektor Ortogonal

Sebelum kita masuk ke rumus-rumus yang bikin jidat berkerut, penting banget buat kita pahami dulu apa sih sebenarnya proyeksi vektor ortogonal itu. Bayangin aja deh, kalian lagi ada di bawah terik matahari, terus ada tongkat berdiri tegak. Nah, bayangan tongkat itu di tanah, itu loh yang namanya proyeksi. Dalam dunia vektor, konsepnya mirip-mirip, tapi kita mainnya di ruang yang lebih abstrak. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor u⃗\vec{u} pada vektor v⃗\vec{v}, yang biasa kita tulis sebagai \text{proj}_\vec{v} \vec{u}, itu ibaratnya 'bayangan' dari vektor u⃗\vec{u} yang 'jatuh' tegak lurus pada garis yang dibentuk oleh vektor v⃗\vec{v}. Jadi, kita lagi ngeliat seberapa besar kontribusi vektor u⃗\vec{u} yang searah atau berlawanan arah dengan v⃗\vec{v}, tapi dengan cara yang tegak lurus.

Kenapa sih kita perlu belajar proyeksi ortogonal? Ada banyak banget kegunaannya, guys. Dalam fisika, misalnya, proyeksi ini dipakai buat ngitung usaha. Usaha kan didefinisikan sebagai gaya dikali perpindahan. Nah, kalau gayanya nggak searah sama perpindahannya, kita perlu cari komponen gaya yang searah perpindahan aja pakai proyeksi. Di teknik gambar juga kepake banget, buat ngegambarin objek tiga dimensi ke bidang dua dimensi. Intinya, proyeksi ortogonal ini alat bantu yang ampuh buat memecah masalah vektor yang kompleks jadi bagian-bagian yang lebih sederhana dan gampang dianalisis. Jadi, jangan anggap remeh, ya!

Dalam definisi matematisnya, proyeksi vektor ortogonal p⃗\vec{p} dari u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} itu adalah vektor yang searah dengan v⃗\vec{v}, dan panjangnya adalah proyeksi skalar u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v}. Proyeksi skalar ini sendiri dihitung dengan rumus (u⃗⋅v⃗)/∣v⃗∣(\vec{u} \cdot \vec{v}) / |\vec{v}|. Nah, karena vektor hasil proyeksi itu harus searah dengan v⃗\vec{v}, kita perlu mengalikannya dengan vektor satuan dari v⃗\vec{v}. Vektor satuan v⃗\vec{v} itu kan v⃗/∣v⃗∣\vec{v} / |\vec{v}|. Jadi, kalau digabungin, rumus proyeksi vektor ortogonalnya jadi:

\qquad \text{proj}_\vec{v} \vec{u} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}

Atau, bisa juga ditulis kayak gini:

p⃗=(u⃗⋅v⃗∣v⃗∣)v⃗∣v⃗∣\qquad \vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \right) \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

Ini penting banget buat dicatat dan dipahami, soalnya rumus ini bakal jadi 'senjata' utama kita buat ngerjain soal-soal proyeksi. Ingat, u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} itu hasil kali titik (dot product) antara u⃗\vec{u} dan v⃗\vec{v}, yang hasilnya berupa skalar. Sementara ∣v⃗∣|\vec{v}| itu panjang (magnitude) dari vektor v⃗\vec{v}. Nah, hasil akhir dari proyeksi vektor ortogonal ini adalah vektor, bukan skalar, jadi arahnya harus diperhatikan.

Mengurai Soal Proyeksi Vektor Ortogonal

Oke, guys, sekarang kita udah punya bekal konsep dan rumus. Saatnya kita coba terapin ke contoh soal yang dikasih. Soalnya gini: Diberikan vektor u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} dan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}. Jika proyeksi vektor ortogonal u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} adalah p⃗=4i−4j+2k\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}. Tentukan nilai 2x2x. Nah, loh! Ada yang janggal nih di soal ini. Coba perhatiin baik-baik. Vektor u⃗\vec{u} dan v⃗\vec{v} itu kan vektor dua dimensi, artinya mereka cuma punya komponen di sumbu x dan y. Tapi, hasil proyeksinya, si p⃗\vec{p}, malah vektor tiga dimensi! Ini kayak kita coba masukin data dari Excel ke program yang cuma bisa baca data dari Word. Ada ketidakcocokan dimensi, guys. Kemungkinan besar ada salah ketik di soalnya. Kita asumsikan aja, ya, bahwa vektor p⃗\vec{p} ini seharusnya juga vektor dua dimensi, karena di-proyeksikan dari vektor dua dimensi. Atau, bisa jadi vektor u⃗\vec{u} dan v⃗\vec{v} itu sebenarnya tiga dimensi, tapi komponen ketiganya nol. Nah, mari kita coba selesaikan dengan dua asumsi.

Asumsi 1: p⃗\vec{p} adalah vektor dua dimensi.

Kalau p⃗=4i−4j\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j}, berarti p⃗=(4 −4)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \end{pmatrix}. Ingat rumus proyeksi vektor ortogonal: p⃗=(u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2)v⃗\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}.

Pertama, kita hitung dulu hasil kali titik u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}:

u⃗⋅v⃗=(x)(2)+(−10)(1)=2x−10\vec{u} \cdot \vec{v} = (x)(2) + (-10)(1) = 2x - 10

Kedua, kita hitung kuadrat panjang vektor v⃗\vec{v}:

∣v⃗∣2=22+12=4+1=5|\vec{v}|^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5

Sekarang, kita masukkan ke rumus proyeksi:

p⃗=(2x−105)(2 1)\vec{p} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}

Karena p⃗=(4 −4)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \end{pmatrix}, maka:

(4 −4)=(2x−105)(2 1)\begin{pmatrix} 4 \ -4 \end{pmatrix} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}

Ini berarti:

4=(2x−105)×24 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \times 2

Dan

−4=(2x−105)imes1-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) imes 1

Dari persamaan kedua, kita dapat:

−4=2x−105-4 = \frac{2x - 10}{5}

−20=2x−10-20 = 2x - 10

−10=2x-10 = 2x

x=−5x = -5

Kalau kita cek pakai persamaan pertama:

4=(2(−5)−105)imes24 = \left( \frac{2(-5) - 10}{5} \right) imes 2

4=(−10−105)imes24 = \left( \frac{-10 - 10}{5} \right) imes 2

4=(−205)imes24 = \left( \frac{-20}{5} \right) imes 2

4=(−4)imes24 = (-4) imes 2

4=−84 = -8

Nah, di sini ada masalah lagi, guys. Hasilnya nggak konsisten. Ini makin menguatkan dugaan kita kalau soalnya ada yang salah. Mari kita coba asumsi kedua.

Asumsi 2: u⃗\vec{u} dan v⃗\vec{v} adalah vektor tiga dimensi.

Kalau p⃗=4i−4j+2k\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}, berarti p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}.

Jika u⃗\vec{u} dan v⃗\vec{v} adalah vektor tiga dimensi, maka bentuknya bisa jadi:

u⃗=(x −10 0)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ 0 \end{pmatrix} dan v⃗=(2 1 0)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} (asumsi komponen ketiga nol).

Atau mungkin komponen ketiganya bukan nol, tapi kita nggak tahu nilainya. Kalau kita pakai asumsi di atas:

u⃗⋅v⃗=(x)(2)+(−10)(1)+(0)(0)=2x−10\vec{u} \cdot \vec{v} = (x)(2) + (-10)(1) + (0)(0) = 2x - 10

∣v⃗∣2=22+12+02=4+1+0=5|\vec{v}|^2 = 2^2 + 1^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5

Rumus proyeksi vektor ortogonal:

p⃗=(u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2)v⃗\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}

(4 −4 2)=(2x−105)(2 1 0)\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}

Dari sini, kita dapat tiga persamaan:

  1. 4=(2x−105)imes24 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) imes 2
  2. −4=(2x−105)imes1-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) imes 1
  3. 2=(2x−105)imes02 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) imes 0

Persamaan ketiga 2=02 = 0 ini jelas salah, guys. Ini membuktikan kalau asumsi komponen ketiga nol itu juga nggak bener kalau p⃗\vec{p}-nya adalah vektor tiga dimensi seperti yang diberikan. Ini aneh banget. Ada kemungkinan besar proyeksi vektor ortogonalnya tidak pada v⃗\vec{v} yang (2 1 0)\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, tapi pada vektor lain yang tiga dimensi.

Kemungkinan Koreksi Soal yang Paling Masuk Akal

Kalau kita lihat hasil p⃗=4i−4j+2k\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}, ini kan bentuknya (4 −4 2)\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}. Nah, kalau vektor hasil proyeksi ini adalah p⃗\vec{p}, dan p⃗\vec{p} ini adalah proyeksi dari u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v}, maka p⃗\vec{p} ini harus searah dengan v⃗\vec{v}. Artinya, p⃗\vec{p} adalah kelipatan dari v⃗\vec{v}.

Kalau v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}, ini vektor dua dimensi. Kalau p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}, ini vektor tiga dimensi. Mereka nggak mungkin searah, nggak mungkin juga p⃗\vec{p} adalah proyeksi u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} yang dimensi-nya berbeda.

Mari kita buat asumsi lain yang lebih mungkin: vektor v⃗\vec{v} yang diberikan seharusnya adalah vektor tiga dimensi, dan p⃗\vec{p} adalah proyeksi u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} tersebut.

Misalkan v⃗=(2 1 k)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ k \end{pmatrix} untuk suatu nilai kk yang belum diketahui.

Dan u⃗=(x −10 m)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ m \end{pmatrix} untuk suatu nilai mm yang belum diketahui.

Proyeksi u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} adalah p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}.

Rumus proyeksinya adalah p⃗=(u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2)v⃗\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}.

Karena p⃗\vec{p} dan v⃗\vec{v} searah, maka \vec{p} = c egin{pmatrix} 2 \ 1 \ k \\\end{pmatrix} dan \vec{v} = d egin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} untuk konstanta cc dan dd. Tapi ini juga rumit.

Cara paling umum kalau proyeksi u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} adalah p⃗\vec{p}, maka p⃗\vec{p} itu pasti kelipatan dari v⃗\vec{v}. Jadi, \vec{p} = eta \\vec{v} untuk suatu skalar β\beta. Atau v⃗=αp⃗\vec{v} = \alpha \vec{p} untuk suatu skalar α\alpha.

Jika p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}, dan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} (asumsi komponen ketiga tidak ada).

Mungkin soalnya begini: u⃗=(x −10 z)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ z \end{pmatrix} dan v⃗=(2 1 w)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ w \end{pmatrix}. Proyeksi u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} adalah p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}.

Kalau p⃗\vec{p} adalah proyeksi u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v}, maka p⃗\vec{p} harus searah dengan v⃗\vec{v}.

Jadi, v⃗\vec{v} harus merupakan kelipatan dari p⃗\vec{p} (atau sebaliknya).

Kalau kita lihat p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}.

Jika v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}, ini 2D. p⃗\vec{p} adalah 3D. Ini nggak mungkin.

Kalau v⃗=(2 1 0)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} (asumsi 3D, komponen ketiga 0). p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}. Apakah p⃗\vec{p} searah dengan v⃗\vec{v}? 42=2\frac{4}{2} = 2. −41=−4\frac{-4}{1} = -4. 20\frac{2}{0} tidak terdefinisi. Jadi, tidak searah.

Kemungkinan besar, soalnya maksudnya adalah v⃗\vec{v} itu sendiri yang punya arah yang sama dengan p⃗\vec{p}, atau v⃗\vec{v} adalah salah satu vektor pembentuk p⃗\vec{p}.

Mari kita coba interpretasi lain yang paling logis berdasarkan rumus proyeksi p⃗=(u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2)v⃗\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}.

Ini berarti p⃗\vec{p} dan v⃗\vec{v} itu VEKTOR YANG SEARAH. Jadi, p⃗=kev⃗\vec{p} = k e\vec{v} untuk suatu skalar kk. Atau v⃗=mep⃗\vec{v} = m e\vec{p} untuk suatu skalar mm.

Kalau kita pakai p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} dan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}, ini aneh. Tapi jika kita anggap v⃗\vec{v} itu sebenarnya adalah (2 1 0)\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} (3D, komponen k = 0), maka p⃗\vec{p} tidak mungkin proyeksinya karena tidak searah.

Bagaimana jika v⃗\vec{v} itu adalah kelipatan dari p⃗\vec{p}? Misalnya, v⃗\vec{v} itu salah satu dari (4,−4,2)(4, -4, 2), (2,−2,1)(2, -2, 1), atau (8,−8,4)(8, -8, 4), dst. Tapi soalnya jelas bilang v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}.

Ini membingungkan. Mari kita coba asumsi bahwa hasil proyeksi p⃗\vec{p} ini sebenarnya adalah skalar proyeksi yang dikalikan dengan v⃗\vec{v} itu sendiri, tapi ada kesalahan penulisan di p⃗\vec{p}.

Misalnya, u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} dan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}. Proyeksi skalar u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} adalah u⃗⋅v⃗∣v⃗∣=2x−1022+12=2x−105\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{2x-10}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{2x-10}{\sqrt{5}}.

Proyeksi vektor ortogonalnya adalah p⃗=(u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2)v⃗=(2x−105)(2 1)\vec{p} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} = \left( \frac{2x-10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}.

Jika p⃗=4i−4j+2k=(4 −4 2)\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}.

Ini tetap tidak cocok karena p⃗\vec{p} harusnya sejajar v⃗\vec{v}.

Asumsi Koreksi Soal Paling Realistis

Kemungkinan besar, soalnya maksudnya adalah: u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} dan ada vektor lain w⃗\vec{w} yang ketika u⃗\vec{u} diproyeksikan pada w⃗\vec{w}, hasilnya adalah p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}. Dan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} itu informasi terpisah atau salah ketik.

Atau, u⃗\vec{u} dan v⃗\vec{v} adalah vektor 3D, tapi komponennya tidak lengkap ditulis.

Mari kita coba asumsi terkuat: v⃗\vec{v} adalah vektor 3D yang searah dengan p⃗\vec{p}, dan u⃗\vec{u} adalah vektor 3D.

Jika p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} adalah proyeksi u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v}, maka v⃗\vec{v} harus searah dengan p⃗\vec{p}.

Jadi, v⃗\vec{v} bisa jadi (4 −4 2)\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} atau kelipatannya. Tapi di soal tertulis v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}.

Ini nggak nyambung, guys. Oke, mari kita coba anggap bahwa v⃗\vec{v} di soal adalah v⃗dimensi2=(2 1)\vec{v}_{dimensi2} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}, dan p⃗\vec{p} adalah hasil proyeksi dari u⃗\vec{u} pada vektor lain w⃗\vec{w} (yang 3D).

Tapi kalau kita harus pakai u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} dan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} untuk mendapatkan p⃗=4i−4j+2k\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}.

Satu-satunya cara agar ini bisa dikerjakan adalah jika kesalahan ada pada p⃗\vec{p}, dan p⃗\vec{p} seharusnya sejajar v⃗\vec{v}.

Misalkan p⃗\vec{p} seharusnya adalah p⃗′\vec{p}', yang sejajar v⃗\vec{v}. Maka \vec{p}' = k e\vec{v} = k egin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix}.

Jika p⃗′\vec{p}' ini adalah proyeksi ortogonal u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v}, maka:

p⃗′=(u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2)v⃗\vec{p}' = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}

(2k k)=(x(2)+(−10)(1)22+12)(2 1)\begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix} = \left( \frac{x(2) + (-10)(1)}{2^2 + 1^2} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}

(2k k)=(2x−105)(2 1)\begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}

Ini konsisten, karena kedua komponen p⃗′\vec{p}' sesuai.

Sekarang, bagaimana kita mendapatkan nilai kk? Di soal asli, p⃗=4i−4j+2k\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}. Ini kan (4 −4 2)\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}.

Jika kita dipaksa menggunakan nilai-nilai ini, dan mengabaikan ketidaksesuaian dimensi, kita bisa coba lihat:\

Dari p⃗=(2x−105)v⃗\vec{p} = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) \vec{v}.

Kalau p⃗\vec{p} itu sejajar v⃗\vec{v}, maka harusnya:

Komponen x: 4=(2x−105)e24 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 2 --> 2=2x−1052 = \frac{2x - 10}{5} --> 10=2x−1010 = 2x - 10 --> 2x=202x = 20 --> x=10x = 10.

Komponen y: −4=(2x−105)e1-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 1 --> −4=2x−105-4 = \frac{2x - 10}{5} --> −20=2x−10-20 = 2x - 10 --> 2x=−102x = -10 --> x=−5x = -5.

Lagi-lagi kita dapat hasil yang kontradiktif untuk xx jika kita memaksakan p⃗\vec{p} sejajar v⃗\vec{v} dan menggunakan nilai-nilai dari p⃗\vec{p} asli.

Koreksi Paling Mungkin dan Penyelesaiannya

Kita kembali ke asumsi paling dasar: proyeksi vektor u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} adalah p⃗\vec{p}, maka p⃗\vec{p} harus sejajar dengan v⃗\vec{v}.

Di soal diberikan u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} dan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}. Hasil proyeksi p⃗=4i−4j+2k=(4 −4 2)\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}.

Ketidaksesuaian paling besar adalah dimensi v⃗\vec{v} (2D) dan p⃗\vec{p} (3D).

Jika kita menganggap soalnya punya typo dan yang dimaksud adalah v⃗\vec{v} adalah vektor 3D, dan p⃗\vec{p} adalah proyeksinya, maka p⃗\vec{p} harus sejajar v⃗\vec{v}.

Kemungkinan, v⃗\vec{v} seharusnya adalah (2 −2 1)\begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} atau kelipatan lain yang searah dengan p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}.

Jika kita anggap v⃗=(2 −2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} (karena ini kelipatan dari p⃗\vec{p} dengan faktor 0.5, jika komponen 3nya 1). Tapi ini tidak sesuai dengan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}.

Mari kita buat asumsi paling kuat untuk bisa menyelesaikan soal ini:

  1. u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} (2D)
  2. v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} (2D)
  3. Proyeksi ortogonal u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} adalah p⃗\vec{p}, dan p⃗\vec{p} harus searah v⃗\vec{v}.
  4. Nilai p⃗=4i−4j+2k\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} adalah SALAH KAPRAH, dan seharusnya nilai ini mengacu pada sesuatu yang lain, atau salah ketik total.

Namun, jika kita dipaksa menggunakan p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} dan kita harus mencari x⃗\vec{x} (yang sebenarnya adalah xx di u⃗\vec{u}), maka kita harus membuat p⃗\vec{p} sejajar v⃗\vec{v}.

Jika v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}, dan p⃗\vec{p} hasil proyeksinya, maka p⃗\vec{p} harusnya berbentuk (2k k)\begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix}.

Dari p⃗=4i−4j+2k\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}, kita punya komponen (4,−4,2)(4, -4, 2).

Anggap saja ada kesalahan dalam soal, dan komponen p⃗\vec{p} yang 3D ini seharusnya memberikan informasi tentang konstanta skalarnya.

Jika kita pakai salah satu komponen p⃗\vec{p} untuk mendapatkan nilai xx, kita dapat hasil berbeda.

Misal kita ambil komponen i\mathbf{i} dan komponen v⃗\vec{v}:

4=(2x−105)e24 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 2 2=2x−1052 = \frac{2x - 10}{5} 10=2x−1010 = 2x - 10 2x=202x = 20 x=10x = 10

Jika kita ambil komponen j\mathbf{j}:

−4=(2x−105)e1-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 1 −4=2x−105-4 = \frac{2x - 10}{5} −20=2x−10-20 = 2x - 10 2x=−102x = -10 x=−5x = -5

Karena hasil xx berbeda, soal ini tidak konsisten sebagaimana adanya. Namun, dalam konteks ujian atau latihan, seringkali kita diminta memilih salah satu interpretasi atau mengasumsikan ada typo.

Jika kita anggap bahwa komponen pertama (i) dari p⃗\vec{p} adalah yang paling 'representatif' atau ada typo di komponen lainnya:

Maka kita dapat x=10x = 10. Yang ditanya adalah 2x2x. 2x=2imes10=202x = 2 imes 10 = 20.

Jika kita anggap komponen kedua (j) adalah yang 'representatif': Maka kita dapat x=−5x = -5. Yang ditanya adalah 2x2x. 2x=2imes(−5)=−102x = 2 imes (-5) = -10.

Jika kita anggap komponen ketiga (k) memberi informasi, ini makin aneh karena v⃗\vec{v} tidak punya komponen k.

Kesimpulan dan Penyelesaian Berdasarkan Asumsi Koreksi yang Paling Mungkin

Mengingat adanya ketidaksesuaian dimensi dan hasil yang kontradiktif, soal ini kemungkinan besar memiliki kesalahan penulisan. Namun, jika kita harus memberikan jawaban, kita perlu membuat asumsi.

Asumsi paling umum ketika ada proyeksi u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v} adalah p⃗\vec{p}, maka p⃗\vec{p} harus searah dengan v⃗\vec{v}. Dengan u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} dan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}, proyeksi p⃗\vec{p} seharusnya berbentuk (2k k)\begin{pmatrix} 2k \ k \end{pmatrix}.

Jika kita mengabaikan komponen k\mathbf{k} dari p⃗\vec{p} dan hanya melihat p⃗′=4i−4j=(4 −4)\vec{p}' = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \end{pmatrix}, maka p⃗′\vec{p}' ini HARUS sejajar v⃗\vec{v}. Tapi 42=2\frac{4}{2} = 2 dan −41=−4\frac{-4}{1} = -4. Ini juga tidak sejajar.

Kemungkinan besar, v⃗\vec{v} yang dimaksud adalah vektor 3D yang searah dengan p⃗\vec{p}. Misalnya, v⃗\vec{v} seharusnya adalah (2 −2 1)\begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} (agar searah dengan p⃗\vec{p} yang (4 −4 2)\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}).

Jika kita gunakan asumsi v⃗=(2 −2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} dan u⃗=(x −10 z)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ z \end{pmatrix} (dimana zz bisa berapa saja, karena proyeksi ortogonal tidak bergantung pada komponen yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi), dan p⃗=(4 −4 2)\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}.

u⃗⋅v⃗=x(2)+(−10)(−2)+z(1)=2x+20+z\vec{u} \cdot \vec{v} = x(2) + (-10)(-2) + z(1) = 2x + 20 + z ∣v⃗∣2=22+(−2)2+12=4+4+1=9|\vec{v}|^2 = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9

p⃗=(2x+20+z9)v⃗\vec{p} = \left( \frac{2x + 20 + z}{9} \right) \vec{v} (4 −4 2)=(2x+20+z9)(2 −2 1)\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} = \left( \frac{2x + 20 + z}{9} \right) \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}

Dari komponen pertama: 4=(2x+20+z9)e2e24 = \left( \frac{2x + 20 + z}{9} \right) e 2 e 2. Ini sama dengan \vec{p} = eta e e e e e v, di mana eta adalah skalar. 42=2\frac{4}{2} = 2. −4−2=2\frac{-4}{-2} = 2. 21=2\frac{2}{1} = 2. Ya, p⃗\vec{p} dan v⃗\vec{v} searah dengan faktor skala 2.

Jadi, β=2\beta = 2. Maka: 2=2x+20+z92 = \frac{2x + 20 + z}{9} 18=2x+20+z18 = 2x + 20 + z 2x+z=−22x + z = -2

Kita punya satu persamaan dengan dua variabel (xx dan zz). Ini berarti kita tidak bisa menemukan nilai xx secara unik.

Kemungkinan paling akhir dan paling mungkin diinginkan oleh pembuat soal: v⃗\vec{v} yang tertulis (2 1)\begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} itu adalah vektor basis atau arah lain, dan p⃗=4i−4j+2k\vec{p} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} adalah hasil proyeksi ortogonal u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} pada vektor lain yang tidak disebutkan, tapi memiliki komponen arah (4,−4,2)(4, -4, 2).

Jika ini kasusnya, dan kita pakai u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} dan proyeksi pada v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} menghasilkan p⃗\vec{p} yang kita asumsikan harus sejajar v⃗\vec{v}.

Mari kita coba fokus pada p⃗\vec{p} yang diberikan, 4i−4j+2k4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}. Ini adalah vektor 3D. \vec{u} = egin{pmatrix} x \ -10 \\\end{pmatrix} adalah vektor 2D. \vec{v} = egin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} adalah vektor 2D.

Jika p⃗\vec{p} adalah proyeksi u⃗\vec{u} pada v⃗\vec{v}, maka p⃗\vec{p} harus searah dengan v⃗\vec{v}. Jelas ini tidak mungkin karena dimensi berbeda.

SOLUSI PALING LOGIS DENGAN MEMPERBAIKI SOAL: Asumsikan v⃗\vec{v} seharusnya adalah vektor 3D yang searah dengan p⃗\vec{p}. Misalnya, v⃗=(4 −4 2)\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}. Dan u⃗\vec{u} juga vektor 3D, u⃗=(x −10 z)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \ z \end{pmatrix}.

u⃗⋅v⃗=4x−10(−4)+z(2)=4x+40+2z\vec{u} \cdot \vec{v} = 4x - 10(-4) + z(2) = 4x + 40 + 2z ∣v⃗∣2=42+(−4)2+22=16+16+4=36|\vec{v}|^2 = 4^2 + (-4)^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36

p⃗=(4x+40+2z36)v⃗\vec{p} = \left( \frac{4x + 40 + 2z}{36} \right) \vec{v} (4 −4 2)=(4x+40+2z36)(4 −4 2)\begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix} = \left( \frac{4x + 40 + 2z}{36} \right) \begin{pmatrix} 4 \ -4 \ 2 \end{pmatrix}

Ini berarti 4x+40+2z36=1\frac{4x + 40 + 2z}{36} = 1 (karena p⃗=1eeeeev\vec{p} = 1 e e e e e v). 4x+40+2z=364x + 40 + 2z = 36 4x+2z=−44x + 2z = -4 2x+z=−22x + z = -2

Masih sama, satu persamaan dua variabel.

Namun, jika soalnya mengartikan bahwa v⃗\vec{v} yang tertulis (2 1)\begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} adalah VEKTOR BASIS ATAU ARAH UTAMA, dan p⃗\vec{p} adalah hasil proyeksinya, maka p⃗\vec{p} harusnya sejajar v⃗\vec{v}.

Mari kita gunakan informasi u⃗=(x −10)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ -10 \end{pmatrix} dan v⃗=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}, dan kita perbaiki p⃗\vec{p} agar sejajar v⃗\vec{v} dan menyerap informasi dari p⃗\vec{p} asli.

Misal, kita anggap bahwa proporsi komponen dari p⃗\vec{p} yang 3D itu penting. Tapi ini tidak matematis.

Baik, mari kita kembali ke perhitungan di mana kita mendapatkan dua nilai xx yang berbeda:

  1. Menggunakan komponen i\mathbf{i} dari p⃗\vec{p}: x=10x = 10. Maka 2x=202x = 20.
  2. Menggunakan komponen j\mathbf{j} dari p⃗\vec{p}: x=−5x = -5. Maka 2x=−102x = -10.

Karena soal tidak konsisten, tidak ada jawaban yang benar-benar 'benar'. Namun, jika ini adalah soal pilihan ganda, kita mungkin bisa menebak mana yang dimaksud. Seringkali, komponen pertama yang digunakan.

Mari kita ambil asumsi bahwa komponen i\mathbf{i} dari p⃗\vec{p} dan v⃗\vec{v} yang digunakan untuk mencari xx.

Dari 4=(2x−105)e24 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 2, kita dapat x=10x = 10.

Maka, 2x=2imes10=202x = 2 imes 10 = 20.

Jika kita mengasumsikan komponen j\mathbf{j}: Dari −4=(2x−105)e1-4 = \left( \frac{2x - 10}{5} \right) e 1, kita dapat x=−5x = -5.

Maka, 2x=2imes(−5)=−102x = 2 imes (-5) = -10.

Karena soal ini sangat ambigu dan tidak konsisten, saya akan memberikan jawaban berdasarkan asumsi bahwa komponen i\mathbf{i} dari p⃗\vec{p} yang relevan untuk dicocokkan dengan komponen v⃗\vec{v} (meskipun ini tidak sepenuhnya benar secara matematis karena proyeksi harus sejajar).

Jadi, dengan asumsi x=10x=10, maka 2x=202x = 20.

Ini adalah contoh bagaimana kesalahan dalam soal matematika bisa sangat membingungkan. Selalu periksa konsistensi dimensi dan hubungan antar vektor, guys!