Garis Singgung Persekutuan: Dalam & Luar Lingkaran

Apr 16, 2026 by ADMIN 51 views

Halo guys! Ketemu lagi nih sama kita. Kali ini kita bakal kupas tuntas soal garis singgung persekutuan, baik yang dalam maupun yang luar. Buat kalian yang lagi pusing tujuh keliling sama materi ini, tenang aja, kalian datang ke tempat yang tepat! Kita bakal coba jelasin dengan gaya santai tapi tetep informatif, biar kalian bisa paham banget.

Apa Sih Garis Singgung Persekutuan Itu?

Sebelum kita melangkah lebih jauh ke soal garis singgung persekutuan dalam dan luar, penting banget buat kita paham dulu apa itu garis singgung lingkaran. Jadi, garis singgung itu adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Titik sentuhnya ini disebut titik singgung. Nah, kalau garis singgung persekutuan itu adalah garis singgung yang sama dan menyinggung dua lingkaran sekaligus. Keren kan? Jadi, bukan cuma satu lingkaran aja yang bisa disentuh, tapi dua lingkaran sekaligus dengan satu garis yang sama.

Konsep ini penting banget di geometri, terutama kalau kita ngomongin hubungan antar dua lingkaran atau lebih. Bayangin aja ada dua koin berdampingan, nah garis singgung persekutuan itu kayak penggaris lurus yang pas banget nyentuh pinggiran kedua koin itu di satu titik masing-masing. Gampang kan ngebayanginnya?

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Nah, sekarang kita masuk ke jenis yang pertama: garis singgung persekutuan dalam. Dibilang 'dalam' karena apa? Karena si garis singgung ini letaknya di antara kedua lingkaran yang bersinggungan. Jadi, kalau kita lihat dari atas, garisnya itu memotong area di antara kedua lingkaran. Kebayang kan? Dia kayak 'jembatan' yang menghubungkan kedua lingkaran tapi melewati ruang di antara keduanya.

Dalam konteks ini, jarak antara pusat kedua lingkaran itu akan lebih besar daripada jumlah jari-jari kedua lingkaran. Ini adalah syarat utama kenapa garis singgung persekutuan dalam bisa terbentuk. Kalau jarak pusatnya kurang dari jumlah jari-jari, ya nggak bakal ketemu tuh garis singgungnya, guys.

Rumus buat ngitung panjang garis singgung persekutuan dalam (kita simbolin aja P) itu agak panjang dikit, tapi tenang, nggak sesulit yang dibayangin. Kalau jarak antara pusat kedua lingkaran itu 'd', jari-jari lingkaran pertama 'R' (jari-jari lingkaran besar), dan jari-jari lingkaran kedua 'r' (jari-jari lingkaran kecil), maka rumusnya adalah:

P = sqrt(d^2 - (R + r)^2)

Di sini, sqrt itu artinya akar kuadrat ya. Jadi, kita kuadratin dulu jarak antar pusatnya, terus kita kurangi sama kuadrat dari jumlah jari-jarinya, baru deh kita akarin hasilnya. Ingat, R+r itu jumlah jari-jarinya, bukan selisihnya. Makanya dia disebut garis singgung persekutuan dalam, karena dia 'menyilang' di antara pusat-pusat lingkaran.

Garis Singgung Persekutuan Luar

Selanjutnya, ada garis singgung persekutuan luar. Nah, kalau yang ini kebalikannya. Garis singgungnya itu letaknya di luar area antara kedua lingkaran. Jadi, kalau kita lihat, garisnya itu nggak memotong ruang di antara kedua lingkaran, tapi seolah-olah 'menjepit' kedua lingkaran dari sisi luar yang sama. Kayak ada dua tali yang diikatkan di sekeliling dua botol bersebelahan, nah tali yang sejajar itu adalah garis singgung persekutuan luar.

Syarat terbentuknya garis singgung persekutuan luar itu jarak antara pusat kedua lingkaran itu harus lebih besar daripada selisih jari-jari kedua lingkaran. Jadi, kalau jarak pusatnya lebih pendek dari selisih jari-jari, ya nggak mungkin ada garis singgung luar yang terbentuk.

Rumusnya gimana? Mirip-mirip sih sama yang dalam, tapi ada sedikit perbedaan. Tetap pakai simbol yang sama: P untuk panjang garis singgung, d untuk jarak antar pusat, R untuk jari-jari lingkaran besar, dan r untuk jari-jari lingkaran kecil. Rumusnya jadi:

P = sqrt(d^2 - (R - r)^2)

Perhatiin bedanya, guys! Kalau tadi di garis singgung dalam pakainya (R + r)^2, di garis singgung luar pakainya (R - r)^2. Jadi, kita kurangi dulu jari-jari yang besar sama yang kecil, baru kuadratin, terus dikurangiin dari kuadrat jarak antar pusat, baru diakarin. Ini karena garis singgung luar itu jalurnya 'lebih lurus' dan nggak menyilang di antara pusat lingkaran.

Contoh Soal dan Pembahasan

Biar makin nempel di otak, kita langsung aja yuk ke contoh soalnya. Siap-siap ya!

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam

Dua lingkaran memiliki pusat A dan B. Jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran A adalah 10 cm dan panjang jari-jari lingkaran B adalah 6 cm, hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya!

Penyelesaian:

Pertama, kita identifikasi dulu informasi yang dikasih:

Jarak antar pusat (d) = 26 cm
Jari-jari lingkaran A (kita anggap R) = 10 cm
Jari-jari lingkaran B (kita anggap r) = 6 cm

Karena yang ditanya adalah garis singgung persekutuan dalam, kita pakai rumus:

P = sqrt(d^2 - (R + r)^2)

Mari kita masukkan nilainya:

Hitung R + r: 10 cm + 6 cm = 16 cm
Kuadratkan R + r: (16 cm)^2 = 256 cm^2
Kuadratkan jarak antar pusat d: (26 cm)^2 = 676 cm^2
Kurangi hasil kuadrat d dengan kuadrat (R + r): 676 cm^2 - 256 cm^2 = 420 cm^2
Akar kuadratkan hasilnya: P = sqrt(420 cm^2)

Nah, sqrt(420) ini mungkin nggak bisa diakarin jadi bilangan bulat sempurna. Kita bisa sederhanain aja. 420 itu kan 4 x 105. Jadi sqrt(420) = sqrt(4 * 105) = 2 * sqrt(105).

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 2 * sqrt(105) cm.

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Luar

Sekarang, kita pakai data yang sama tapi kita cari garis singgung persekutuan luarnya. Dua lingkaran memiliki pusat A dan B. Jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran A adalah 10 cm dan panjang jari-jari lingkaran B adalah 6 cm, hitunglah panjang garis singgung persekutuan luarnya!

Penyelesaian:

Informasi yang kita punya:

Jarak antar pusat (d) = 26 cm
Jari-jari lingkaran A (R) = 10 cm
Jari-jari lingkaran B (r) = 6 cm

Kali ini kita cari garis singgung persekutuan luar, jadi rumusnya:

P = sqrt(d^2 - (R - r)^2)

Yuk, kita hitung:

Hitung R - r: 10 cm - 6 cm = 4 cm
Kuadratkan R - r: (4 cm)^2 = 16 cm^2
Kuadratkan jarak antar pusat d: (26 cm)^2 = 676 cm^2
Kurangi hasil kuadrat d dengan kuadrat (R - r): 676 cm^2 - 16 cm^2 = 660 cm^2
Akar kuadratkan hasilnya: P = sqrt(660 cm^2)

Sama seperti sebelumnya, sqrt(660) bisa kita sederhanakan. 660 itu kan 4 x 165. Jadi sqrt(660) = sqrt(4 * 165) = 2 * sqrt(165).

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 2 * sqrt(165) cm.

Kapan Garis Singgung Persekutuan Bisa Dibuat?

Ini penting banget nih, guys. Nggak semua kondisi dua lingkaran itu bisa dibuat garis singgung persekutuan, baik yang dalam maupun yang luar. Ada syarat-syarat khususnya.

Syarat Garis Singgung Persekutuan Dalam

Supaya garis singgung persekutuan dalam bisa terbentuk, syarat utamanya adalah jarak antara kedua pusat lingkaran (d) harus lebih besar dari jumlah kedua jari-jarinya (R + r).

Jadi, kalau d > R + r, maka garis singgung persekutuan dalam ada dan bisa dihitung panjangnya.

Kalau d = R + r, ini artinya kedua lingkaran bersentuhan di satu titik dari luar. Garis singgung persekutuan dalamnya nggak bisa terbentuk (atau panjangnya nol, tergantung interpretasi).

Kalau d < R + r, ini artinya kedua lingkaran berpotongan atau salah satu berada di dalam lingkaran lain. Garis singgung persekutuan dalamnya nggak bisa terbentuk.

Syarat Garis Singgung Persekutuan Luar

Untuk garis singgung persekutuan luar, syaratnya adalah jarak antara kedua pusat lingkaran (d) harus lebih besar dari selisih kedua jari-jarinya (R - r). Penting diingat, kita pakai selisihnya, bukan jumlahnya.

Jadi, kalau d > |R - r|, maka garis singgung persekutuan luar ada dan bisa dihitung panjangnya. Tanda |...| itu artinya nilai mutlak, jadi kita ambil nilai positifnya aja kalau hasilnya negatif.

Kalau d = |R - r|, ini artinya kedua lingkaran bersentuhan di satu titik tapi salah satunya ada di dalam. Garis singgung persekutuan luarnya nggak bisa terbentuk (atau panjangnya nol).

Kalau d < |R - r|, ini artinya salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran yang lain tanpa bersentuhan. Garis singgung persekutuan luarnya nggak bisa terbentuk.

Tips Jitu Mengerjakan Soal Garis Singgung Persekutuan

Biar makin pede ngerjain soal-soal kayak gini, ada beberapa tips nih yang bisa kalian terapin:

Gambar Dulu! Ini paling penting, guys. Selalu gambar kedua lingkaran dan garis singgungnya sesuai deskripsi soal. Visualisasi itu ngebantu banget buat nentuin mana garis singgung dalam, mana yang luar, dan gimana posisinya.
Identifikasi Variabel. Setelah gambar, catat semua informasi yang diketahui: jarak pusat (d), jari-jari lingkaran 1 (R), jari-jari lingkaran 2 (r). Pastikan nggak ada yang kelewat.
Tentukan Jenis Garis Singgung. Baca soalnya baik-baik, apakah yang ditanya garis singgung persekutuan dalam atau luar? Ini krusial buat milih rumus yang tepat.
Pilih Rumus yang Tepat. Ingat baik-baik perbedaan rumus antara garis singgung dalam (R + r) dan luar (R - r). Jangan sampai ketuker!
Hitung dengan Hati-hati. Perhatikan urutan operasi hitung (kurung, pangkat, akar). Jangan sampai salah hitung.
Sederhanakan Hasil Akhir. Kalau hasilnya masih dalam bentuk akar, coba sederhanakan sebisa mungkin. Kalau ada pilihan ganda, sesuaikan sama format jawabannya.

Dengan latihan yang rutin dan pemahaman konsep yang kuat, soal garis singgung persekutuan ini pasti bisa kalian taklukkan. Semangat terus belajarnya, guys! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu buat nanya di kolom komentar ya. Sampai jumpa di artikel selanjutnya!