Eliminasi Gauss-Jordan: Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan

by ADMIN 66 views

Guys, pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin pusing tujuh keliling? Salah satunya mungkin sistem persamaan linear. Nah, ada satu metode keren yang bisa bantu kalian menyelesaikannya dengan mudah, namanya eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini bukan cuma sekadar rumus, tapi lebih ke strategi yang sistematis. Jadi, yuk kita bahas tuntas!

Apa Itu Eliminasi Gauss-Jordan?

Eliminasi Gauss-Jordan adalah metode dalam aljabar linear untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini adalah pengembangan dari eliminasi Gauss, tetapi perbedaannya terletak pada hasil akhirnya. Kalau eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks eselon baris, eliminasi Gauss-Jordan menghasilkan matriks eselon baris tereduksi. Apa bedanya? Simpelnya, matriks eselon baris tereduksi itu lebih "sederhana" dan langsung memberikan solusi dari sistem persamaan.

Kenapa sih harus pakai eliminasi Gauss-Jordan? Metode ini punya beberapa keunggulan, di antaranya:

  • Sistematis: Langkah-langkahnya jelas dan terstruktur, jadi minim risiko salah hitung.
  • Efisien: Cocok untuk sistem persamaan dengan banyak variabel.
  • Langsung dapat solusi: Gak perlu substitusi balik seperti metode eliminasi Gauss biasa.

Konsep Dasar yang Perlu Kalian Pahami

Sebelum masuk ke langkah-langkahnya, ada beberapa konsep dasar yang perlu kalian pahami:

  1. Matriks: Susunan bilangan dalam baris dan kolom. Dalam konteks sistem persamaan, matriks merepresentasikan koefisien variabel dan konstanta.
  2. Operasi Baris Elementer (OBE): Operasi yang dilakukan pada baris matriks untuk mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana. Ada tiga jenis OBE:
    • Menukar dua baris.
    • Mengalikan baris dengan konstanta bukan nol.
    • Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain.
  3. Matriks Eselon Baris Tereduksi: Matriks yang memenuhi kriteria berikut:
    • Semua baris yang semua elemennya nol berada di bagian bawah matriks.
    • Elemen pertama bukan nol (disebut leading 1 atau 1 utama) pada setiap baris berada di sebelah kanan leading 1 pada baris di atasnya.
    • Semua elemen di atas dan di bawah leading 1 adalah nol.

Langkah-Langkah Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Eliminasi Gauss-Jordan

Oke, sekarang kita masuk ke bagian inti, yaitu langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan dengan eliminasi Gauss-Jordan. Siapkan pensil dan kertas, ya!

  1. Ubah Sistem Persamaan Menjadi Matriks Augmented

    Langkah pertama adalah mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk matriks augmented. Matriks augmented terdiri dari koefisien variabel dan konstanta dari sistem persamaan. Misalkan kita punya sistem persamaan berikut:

    2x + y - z = 8
-3x - y + 2z = -11
-2x + y + 2z = -3

    Matriks augmented-nya adalah:

    [ 2  1 -1 |  8 ]
[-3 -1  2 | -11 ]
[-2  1  2 | -3 ]

    Perhatikan, garis vertikal memisahkan koefisien variabel dan konstanta.

  2. Ubah Matriks Menjadi Bentuk Eselon Baris Tereduksi Menggunakan OBE

    Nah, di sinilah bagian serunya! Kita akan melakukan serangkaian Operasi Baris Elementer (OBE) untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Tujuannya adalah membuat matriks memiliki leading 1 di setiap baris (dimulai dari baris pertama) dan semua elemen di atas dan di bawah leading 1 adalah nol.

    Contoh:

    Kita akan melanjutkan contoh sistem persamaan di atas. Berikut adalah langkah-langkah OBE yang bisa kita lakukan:

    • Langkah 1: Jadikan elemen (1,1) menjadi 1 (buat leading 1 di baris pertama). Caranya, bagi baris pertama dengan 2:

      [ 1  1/2 -1/2 |  4 ]
[-3 -1  2 | -11 ]
[-2  1  2 | -3 ]

    • Langkah 2: Jadikan elemen (2,1) dan (3,1) menjadi 0. Caranya, tambahkan 3 kali baris pertama ke baris kedua, dan tambahkan 2 kali baris pertama ke baris ketiga:

      [ 1  1/2 -1/2 |  4 ]
[ 0  1/2  1/2 |  1 ]
[ 0  2  1 |  5 ]

    • Langkah 3: Jadikan elemen (2,2) menjadi 1 (buat leading 1 di baris kedua). Caranya, kalikan baris kedua dengan 2:

      [ 1  1/2 -1/2 |  4 ]
[ 0  1  1 |  2 ]
[ 0  2  1 |  5 ]

    • Langkah 4: Jadikan elemen (1,2) dan (3,2) menjadi 0. Caranya, kurangkan 1/2 kali baris kedua dari baris pertama, dan kurangkan 2 kali baris kedua dari baris ketiga:

      [ 1  0 -1 |  3 ]
[ 0  1  1 |  2 ]
[ 0  0 -1 |  1 ]

    • Langkah 5: Jadikan elemen (3,3) menjadi 1 (buat leading 1 di baris ketiga). Caranya, kalikan baris ketiga dengan -1:

      [ 1  0 -1 |  3 ]
[ 0  1  1 |  2 ]
[ 0  0  1 | -1 ]

    • Langkah 6: Jadikan elemen (1,3) dan (2,3) menjadi 0. Caranya, tambahkan baris ketiga ke baris pertama, dan kurangkan baris ketiga dari baris kedua:

      [ 1  0  0 |  2 ]
[ 0  1  0 |  3 ]
[ 0  0  1 | -1 ]

    Nah, matriksnya sudah menjadi bentuk eselon baris tereduksi!

  3. Baca Solusi dari Matriks Eselon Baris Tereduksi

    Setelah mendapatkan matriks eselon baris tereduksi, kita bisa langsung membaca solusinya. Kolom terakhir matriks merepresentasikan nilai dari variabel. Dalam contoh kita, matriksnya adalah:

    [ 1  0  0 |  2 ]
[ 0  1  0 |  3 ]
[ 0  0  1 | -1 ]

    Ini berarti:

    • x = 2
    • y = 3
    • z = -1

    Jadi, solusi dari sistem persamaan kita adalah (2, 3, -1).

Tips dan Trik Eliminasi Gauss-Jordan

  • Perhatikan urutan operasi: Usahakan membuat leading 1 terlebih dahulu, baru nol di atas dan bawahnya. Ini akan memudahkan langkah selanjutnya.
  • Gunakan pecahan jika perlu: Jangan takut dengan pecahan. Kadang, pecahan justru mempermudah perhitungan.
  • Cek ulang: Setelah selesai, substitusikan solusi ke persamaan awal untuk memastikan jawabanmu benar.
  • Latihan, latihan, latihan: Semakin banyak latihan, semakin lancar kalian menggunakan metode ini.

Contoh Soal dan Pembahasan

Biar makin paham, yuk kita bahas satu contoh soal lagi.

Soal:

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan eliminasi Gauss-Jordan:

x + 2y + 3z = 9
2x - y + z = 8
3x - z = 3

Pembahasan:

  1. Ubah ke matriks augmented:

    [ 1  2  3 |  9 ]
[ 2 -1  1 |  8 ]
[ 3  0 -1 |  3 ]

  2. OBE:

    • Kurangkan 2 kali baris pertama dari baris kedua, dan kurangkan 3 kali baris pertama dari baris ketiga:

      [ 1  2  3 |  9 ]
[ 0 -5 -5 | -10 ]
[ 0 -6 -10 | -24 ]

    • Bagi baris kedua dengan -5:

      [ 1  2  3 |  9 ]
[ 0  1  1 |  2 ]
[ 0 -6 -10 | -24 ]

    • Kurangkan 2 kali baris kedua dari baris pertama, dan tambahkan 6 kali baris kedua ke baris ketiga:

      [ 1  0  1 |  5 ]
[ 0  1  1 |  2 ]
[ 0  0 -4 | -12 ]

    • Bagi baris ketiga dengan -4:

      [ 1  0  1 |  5 ]
[ 0  1  1 |  2 ]
[ 0  0  1 |  3 ]

    • Kurangkan baris ketiga dari baris pertama dan baris kedua:

      [ 1  0  0 |  2 ]
[ 0  1  0 | -1 ]
[ 0  0  1 |  3 ]

  3. Baca solusi:

    • x = 2
    • y = -1
    • z = 3

    Jadi, solusinya adalah (2, -1, 3).

Kesimpulan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah metode yang powerful untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan langkah-langkah yang sistematis dan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasai metode ini. Selamat mencoba, guys! Jangan lupa, matematika itu seru kalau kita paham konsepnya. 😉