Dilatasi Bangun Datar: Cari Bayangan Titik & Gambarlah!

by ADMIN 56 views

Oke guys, kali ini kita akan membahas soal matematika tentang dilatasi. Dilatasi itu apa sih? Gampangnya, dilatasi itu adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu bangun datar, bisa diperbesar atau diperkecil, tapi bentuknya tetap sama. Nah, dalam soal ini, kita punya bangun datar dengan titik-titik sudut P(3,1), Q(6,1), R(5,4), dan S(8,4). Bangun ini akan kita dilatasi dengan faktor skala 3. Tugas kita adalah mencari koordinat titik-titik bayangannya (P', Q', R', dan S') dan kemudian menggambarnya.

Memahami Konsep Dilatasi

Sebelum kita mulai menghitung, penting banget untuk paham dulu konsep dasar dilatasi. Faktor skala itu menentukan seberapa besar perubahan ukuran bangun datar. Kalau faktor skalanya lebih dari 1, berarti bangun datar akan diperbesar. Kalau faktor skalanya antara 0 dan 1, berarti bangun datar akan diperkecil. Nah, kalau faktor skalanya 3, seperti dalam soal ini, berarti bangun datar akan diperbesar tiga kali lipat dari ukuran aslinya.

Rumus dasar dilatasi dengan pusat di titik asal (0,0) adalah:

(x', y') = (k * x, k * y)

Di mana:

  • (x', y') adalah koordinat titik bayangan setelah dilatasi
  • (x, y) adalah koordinat titik asli
  • k adalah faktor skala

Jadi, untuk mencari koordinat titik bayangan, kita tinggal mengalikan koordinat titik aslinya dengan faktor skala. Simpel kan?

Penting untuk diingat: Rumus ini berlaku kalau pusat dilatasinya adalah titik asal (0,0). Kalau pusat dilatasinya bukan titik asal, rumusnya akan sedikit berbeda. Tapi, karena dalam soal ini tidak disebutkan pusat dilatasi, kita asumsikan saja pusat dilatasinya adalah titik asal.

Menghitung Koordinat Titik Bayangan

Sekarang, mari kita hitung koordinat titik-titik bayangan P', Q', R', dan S' menggunakan rumus dilatasi yang sudah kita pelajari:

  • Titik P(3,1):
    • x' = 3 * 3 = 9
    • y' = 3 * 1 = 3
    • Jadi, P'(9,3)
  • Titik Q(6,1):
    • x' = 3 * 6 = 18
    • y' = 3 * 1 = 3
    • Jadi, Q'(18,3)
  • Titik R(5,4):
    • x' = 3 * 5 = 15
    • y' = 3 * 4 = 12
    • Jadi, R'(15,12)
  • Titik S(8,4):
    • x' = 3 * 8 = 24
    • y' = 3 * 4 = 12
    • Jadi, S'(24,12)

Nah, kita sudah dapat koordinat titik-titik bayangannya: P'(9,3), Q'(18,3), R'(15,12), dan S'(24,12).

Menggambar Bangun Datar dan Bayangannya

Setelah mendapatkan koordinat titik-titik bayangannya, langkah selanjutnya adalah menggambar bangun datar asli dan bayangannya pada bidang koordinat. Ini penting untuk memvisualisasikan bagaimana dilatasi mengubah ukuran bangun datar.

  1. Gambar Bangun Datar Asli:

    • Buat bidang koordinat dengan sumbu X dan sumbu Y.
    • Plot titik-titik P(3,1), Q(6,1), R(5,4), dan S(8,4) pada bidang koordinat.
    • Hubungkan titik-titik tersebut untuk membentuk bangun datar PQRS. Bangun ini berbentuk trapesium.

  2. Gambar Bangun Datar Bayangan:

    • Pada bidang koordinat yang sama, plot titik-titik P'(9,3), Q'(18,3), R'(15,12), dan S'(24,12).
    • Hubungkan titik-titik tersebut untuk membentuk bangun datar P'Q'R'S'. Bangun ini juga berbentuk trapesium, tetapi ukurannya tiga kali lebih besar dari trapesium PQRS.

Tips Menggambar:

  • Pastikan skala pada sumbu X dan sumbu Y konsisten agar gambar terlihat proporsional.
  • Gunakan pensil dan penggaris agar garis yang digambar lurus dan rapi.
  • Beri label pada setiap titik agar mudah dibedakan.

Dengan menggambar bangun datar asli dan bayangannya, kita bisa melihat dengan jelas bagaimana dilatasi dengan faktor skala 3 memperbesar ukuran trapesium PQRS menjadi trapesium P'Q'R'S'.

Kesimpulan

Jadi, guys, kita sudah berhasil menyelesaikan soal tentang dilatasi ini. Kita sudah belajar bagaimana mencari koordinat titik bayangan setelah dilatasi dan bagaimana menggambar bangun datar asli dan bayangannya. Intinya, dilatasi itu mengubah ukuran bangun datar, tapi bentuknya tetap sama. Faktor skala menentukan seberapa besar perubahan ukurannya.

Semoga penjelasan ini bermanfaat dan mudah dipahami ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Semangat belajar!

Contoh Soal Lain dan Variasinya

Biar makin mantap pemahaman kalian tentang dilatasi, yuk kita bahas contoh soal lain dengan variasinya:

Contoh Soal 1: Dilatasi dengan Pusat di Titik Selain (0,0)

Sebuah segitiga ABC dengan titik A(1,2), B(4,2), dan C(1,4) didilatasikan dengan faktor skala 2 dan pusat dilatasi di titik (2,1). Tentukan koordinat titik-titik bayangan A', B', dan C'!

Pembahasan:

Kalau pusat dilatasinya bukan di titik asal (0,0), kita perlu melakukan translasi terlebih dahulu agar pusat dilatasi berada di titik asal. Caranya:

  1. Translasi: Kurangkan koordinat setiap titik dengan koordinat pusat dilatasi (2,1).
    • A(1,2) menjadi A(-1,1)
    • B(4,2) menjadi B(2,1)
    • C(1,4) menjadi C(-1,3)
  2. Dilatasi: Kalikan koordinat titik-titik hasil translasi dengan faktor skala 2.
    • A(-1,1) menjadi A'(-2,2)
    • B(2,1) menjadi B'(4,2)
    • C(-1,3) menjadi C'(-2,6)
  3. Translasi Balik: Tambahkan koordinat titik-titik hasil dilatasi dengan koordinat pusat dilatasi (2,1).
    • A'(-2,2) menjadi A'(0,3)
    • B'(4,2) menjadi B'(6,3)
    • C'(-2,6) menjadi C'(0,7)

Jadi, koordinat titik-titik bayangannya adalah A'(0,3), B'(6,3), dan C'(0,7).

Contoh Soal 2: Mencari Faktor Skala

Sebuah persegi panjang PQRS memiliki luas 12 cm². Setelah didilatasi, luasnya menjadi 48 cm². Tentukan faktor skala dilatasinya!

Pembahasan:

Luas bangun datar setelah dilatasi adalah luas bangun datar asli dikalikan dengan kuadrat faktor skala (k²).

Luas P'Q'R'S' = k² * Luas PQRS

48 = k² * 12

k² = 48 / 12

k² = 4

k = √4

k = 2

Jadi, faktor skala dilatasinya adalah 2.

Contoh Soal 3: Dilatasi pada Garis

Sebuah garis dengan persamaan y = 2x + 1 didilatasikan dengan faktor skala 3 dan pusat di titik asal (0,0). Tentukan persamaan garis bayangannya!

Pembahasan:

Untuk mencari persamaan garis bayangan, kita perlu mencari dua titik pada garis asli, kemudian dilatasikan titik-titik tersebut, dan akhirnya mencari persamaan garis yang melalui dua titik bayangan tersebut.

  1. Cari Dua Titik pada Garis Asli:
    • Misalkan x = 0, maka y = 2(0) + 1 = 1. Jadi, titik (0,1) terletak pada garis.
    • Misalkan x = 1, maka y = 2(1) + 1 = 3. Jadi, titik (1,3) terletak pada garis.
  2. Dilatasikan Titik-Titik Tersebut:
    • (0,1) didilatasikan menjadi (0,3)
    • (1,3) didilatasikan menjadi (3,9)
  3. Cari Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Bayangan:
    • Gradien (m) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (9 - 3) / (3 - 0) = 6 / 3 = 2
    • Persamaan garis: y = mx + c. Kita substitusikan salah satu titik, misalnya (0,3).
    • 3 = 2(0) + c
    • c = 3
    • Jadi, persamaan garis bayangannya adalah y = 2x + 3.

Dengan membahas contoh-contoh soal ini, diharapkan kalian semakin paham tentang konsep dilatasi dan bisa menyelesaikan berbagai macam soal yang berkaitan dengan dilatasi. Jangan lupa untuk terus berlatih soal ya, guys!

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Dilatasi

Berikut ini beberapa tips dan trik yang bisa kalian gunakan saat mengerjakan soal-soal dilatasi:

  • Pahami Konsep Dasar: Pastikan kalian benar-benar paham tentang definisi dilatasi, faktor skala, dan pusat dilatasi.
  • Perhatikan Pusat Dilatasi: Kalau pusat dilatasinya bukan titik asal (0,0), jangan lupa untuk melakukan translasi terlebih dahulu.
  • Gunakan Rumus yang Tepat: Pastikan kalian menggunakan rumus dilatasi yang sesuai dengan pusat dilatasinya.
  • Gambar Sketsa: Menggambar sketsa bangun datar dan bayangannya bisa membantu kalian memvisualisasikan soal dan menghindari kesalahan.
  • Teliti dalam Perhitungan: Pastikan kalian teliti dalam melakukan perhitungan, terutama saat mengalikan koordinat titik dengan faktor skala.
  • Periksa Kembali Jawaban: Setelah selesai mengerjakan soal, periksa kembali jawaban kalian untuk memastikan tidak ada kesalahan.

Dengan mengikuti tips dan trik ini, diharapkan kalian bisa mengerjakan soal-soal dilatasi dengan lebih mudah dan akurat. Selamat mencoba!