Cara Mudah Menentukan Bayangan Fungsi Dengan Transformasi Matriks

Halo guys! Kali ini, kita akan membahas cara menentukan bayangan dari suatu fungsi kuadrat, yaitu $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$, setelah mengalami transformasi. Transformasi yang akan kita gunakan adalah kombinasi dari pencerminan dan rotasi. Kita akan menggunakan matriks $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ yang mewakili pencerminan terhadap sumbu-x, dan rotasi sebesar $90^ extdegree$ searah jarum jam dengan pusat di titik asal $(0,0)$. Yuk, simak penjelasannya!

Memahami Konsep Transformasi Matriks

Transformasi dalam matematika, terutama dalam konteks ini, adalah perubahan posisi, ukuran, atau bentuk suatu objek. Objek kita adalah fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$, yang secara visual adalah sebuah parabola. Nah, transformasi yang akan kita lakukan akan mengubah posisi parabola ini di bidang koordinat. Transformasi ini dilakukan dengan menggunakan matriks. Matriks adalah kumpulan angka yang disusun dalam baris dan kolom. Dalam kasus ini, matriks digunakan untuk mendefinisikan transformasi.

Pencerminan adalah transformasi yang membalik posisi suatu objek terhadap suatu garis atau titik. Dalam kasus kita, matriks $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ akan mencerminkan fungsi kita terhadap sumbu-x. Artinya, setiap titik $(x, y)$ pada grafik fungsi akan berubah menjadi $(x, -y)$. Perhatikan bahwa nilai x tetap sama, sedangkan nilai y berubah tanda. Ini karena matriks M melakukan operasi pencerminan terhadap sumbu x.

Rotasi adalah transformasi yang memutar suatu objek mengelilingi suatu titik. Dalam kasus ini, kita akan merotasi fungsi kita sebesar $90^ extdegree$ searah jarum jam dengan pusat di titik asal $(0,0)$. Rotasi searah jarum jam akan memindahkan titik-titik pada grafik fungsi. Untuk melakukan rotasi, kita perlu menggunakan matriks rotasi. Matriks rotasi untuk rotasi sebesar $ heta$ searah jarum jam adalah $\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$. Dalam kasus ini, $ heta = 90^ extdegree$, sehingga matriks rotasinya adalah $\begin{pmatrix} \cos 90^ extdegree & \sin 90^ extdegree \\ -\sin 90^ extdegree & \cos 90^ extdegree \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

Langkah-langkah Menentukan Bayangan Fungsi

Oke, sekarang kita akan mulai mencari bayangan dari fungsi $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ melalui dua tahap transformasi ini. Pertama, kita lakukan pencerminan, lalu dilanjutkan dengan rotasi. Mari kita mulai!

Tahap 1: Pencerminan terhadap Sumbu-x

Pencerminan terhadap sumbu-x mengubah koordinat $(x, y)$ menjadi $(x, -y)$. Fungsi awal kita adalah $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Untuk melakukan pencerminan, kita perlu mengganti $y$ dengan $-y$. Namun, karena fungsi kita sudah dalam bentuk $y = f(x)$, kita langsung mengganti $y$ dengan $-y$. Dalam konteks fungsi, ini berarti kita mengganti $f(x)$ dengan $-f(x)$. Jadi, kita punya:

$-f(x) = 2x^2 - 3x + 1$

Untuk mendapatkan fungsi bayangan setelah pencerminan, kita kalikan kedua sisi persamaan dengan $-1$:

$f'(x) = -2x^2 + 3x - 1$

Jadi, fungsi bayangan setelah pencerminan adalah $f'(x) = -2x^2 + 3x - 1$. Ini adalah fungsi baru yang merupakan cerminan dari fungsi awal terhadap sumbu-x. Perhatikan bahwa koefisien dari $x^2$ berubah tanda, yang menunjukkan bahwa parabola telah terbuka ke arah yang berlawanan (dari atas ke bawah).

Tahap 2: Rotasi $90^ extdegree$ Searah Jarum Jam

Selanjutnya, kita akan merotasi fungsi bayangan $f'(x) = -2x^2 + 3x - 1$ sebesar $90^ extdegree$ searah jarum jam dengan pusat di titik asal $(0,0)$. Untuk melakukan ini, kita perlu menggunakan matriks rotasi $R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Rotasi ini mengubah koordinat $(x, y)$ menjadi $(y, -x)$. Kita harus mengubah fungsi $f'(x)$ agar sesuai dengan transformasi rotasi. Kita perlu menyatakan fungsi dalam bentuk implisit, yaitu $y = -2x^2 + 3x - 1$.

Kemudian, kita terapkan transformasi rotasi $(x, y) \rightarrow (y, -x)$. Ini berarti kita mengganti $x$ dengan $-y$ dan $y$ dengan $x$. Jadi, kita punya:

$x = -2(-y)^2 + 3(-y) - 1$

Sederhanakan persamaan:

$x = -2y^2 - 3y - 1$

Sekarang, kita perlu menyelesaikan persamaan ini untuk $y$, agar kita mendapatkan fungsi bayangan dalam bentuk $y = ...$. Untuk melakukan ini, kita perlu menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dalam variabel $y$. Namun, karena tujuannya adalah untuk memahami konsep transformasi, kita bisa menyimpulkan bahwa setelah rotasi, bentuk fungsi akan berubah, tetapi prinsip dasarnya tetap sama. Maka fungsi bayangan akhir adalah fungsi kuadrat yang telah mengalami pencerminan dan rotasi.

Alternatif Pendekatan (Menggunakan Matriks Transformasi Gabungan)

Kita juga dapat menggabungkan kedua transformasi menjadi satu matriks transformasi. Matriks pencerminan terhadap sumbu-x adalah $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Matriks rotasi $90^ extdegree$ searah jarum jam adalah $R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Matriks transformasi gabungan, $T$, diperoleh dengan mengalikan matriks rotasi dengan matriks pencerminan:

$T = R imes M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Matriks $T$ ini mewakili transformasi gabungan. Jika kita terapkan pada titik $(x, y)$, maka akan menjadi $(x', y') = (0x - 1y, -1x + 0y) = (-y, -x)$. Jadi $(x, y) \rightarrow (-y, -x)$. Kita bisa mengganti $x$ dengan $-y$ dan $y$ dengan $-x$ pada fungsi awal, sehingga:

$-x = 2(-y)^2 - 3(-y) + 1$

$-x = 2y^2 + 3y + 1$

$x = -2y^2 - 3y - 1$

Sama seperti sebelumnya, kita mendapatkan fungsi dalam bentuk implisit. Menyelesaikan untuk $y$ akan menghasilkan fungsi bayangan akhir.

Kesimpulan

Kesimpulannya, untuk menentukan bayangan fungsi setelah transformasi, kita perlu memahami jenis transformasinya (pencerminan, rotasi, translasi, dll.) dan bagaimana transformasi tersebut memengaruhi koordinat titik-titik pada fungsi. Dalam kasus ini, dengan menggabungkan pencerminan dan rotasi, kita mengubah posisi dan orientasi parabola. Dengan menggunakan matriks, kita dapat melakukan transformasi ini secara sistematis. Prosesnya melibatkan penggantian variabel dalam persamaan fungsi sesuai dengan aturan transformasi. Ingatlah bahwa setiap transformasi akan mengubah bentuk dan posisi fungsi, dan kita perlu memahami bagaimana perubahan tersebut terjadi untuk dapat menyelesaikan soal-soal transformasi dengan benar. Jangan lupa untuk selalu berlatih agar semakin mahir dalam mengerjakan soal-soal transformasi ya, guys! Selamat belajar!