Cara Mudah Menemukan Persamaan Lingkaran: Panduan Lengkap

Oct 24, 2025 by ADMIN 58 views

Cara Jitu Mencari Persamaan Lingkaran: Pusat dan Garis Singgung

Guys, kali ini kita akan membahas tuntas tentang cara mencari persamaan lingkaran yang punya pusat di titik tertentu dan menyinggung garis tertentu. Soal ini sering muncul dalam ujian matematika, jadi penting banget buat kalian kuasai! Mari kita bedah soalnya: "Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis $3x + 4y + 7 = 0$ adalah ..." Kita akan bahas langkah demi langkah, lengkap dengan rumus dan contoh soal lainnya biar makin paham.

Memahami Konsep Dasar Persamaan Lingkaran

Pertama-tama, kita perlu paham dulu nih konsep dasar dari persamaan lingkaran. Persamaan lingkaran adalah persamaan yang menggambarkan semua titik yang berjarak sama dari titik pusat lingkaran. Jarak ini disebut jari-jari lingkaran. Ada dua bentuk umum persamaan lingkaran yang perlu kalian ketahui:

Bentuk Baku: Jika lingkaran berpusat di titik (a, b) dan berjari-jari r, maka persamaan lingkarannya adalah: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
Bentuk Umum: Persamaan lingkaran dalam bentuk umum adalah: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ , dengan pusat lingkaran di titik (-A/2, -B/2) dan jari-jari $r = rac{1}{2} imes ext{sqrt}(A^2 + B^2 - 4C)$ .

Nah, dalam soal kita, kita sudah tahu pusat lingkarannya, yaitu P(3, 1). Jadi, kita bisa langsung pakai bentuk baku untuk mencari persamaan lingkarannya. Yang belum kita ketahui adalah jari-jari lingkaran (r). Tapi, jangan khawatir, kita bisa cari nilai r ini dengan menggunakan informasi bahwa lingkaran menyinggung garis $3x + 4y + 7 = 0$ . Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung tersebut.

Menghitung Jari-Jari Lingkaran (r)

Oke, sekarang kita masuk ke langkah perhitungan. Untuk mencari jari-jari (r), kita gunakan rumus jarak antara titik (pusat lingkaran) dan garis singgung. Rumusnya adalah:

$r = rac{|Ax_1 + By_1 + C|}{ ext{sqrt}(A^2 + B^2)}$

Keterangan:

$(x_1, y_1)$ adalah koordinat pusat lingkaran.
A, B, dan C adalah koefisien dari persamaan garis singgung (dalam bentuk umum Ax + By + C = 0).

Yuk, kita terapkan rumus ini pada soal kita!

Pusat lingkaran: P(3, 1), maka $x_1 = 3$ dan $y_1 = 1$
Persamaan garis singgung: $3x + 4y + 7 = 0$ , maka A = 3, B = 4, dan C = 7

Sekarang, tinggal kita masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus:

$r = rac{|3(3) + 4(1) + 7|}{ ext{sqrt}(3^2 + 4^2)}$ $r = rac{|9 + 4 + 7|}{ ext{sqrt}(9 + 16)}$ $r = rac{|20|}{ ext{sqrt}(25)}$ $r = rac{20}{5}$ $r = 4$

Yesss! Kita sudah dapat nilai jari-jari (r) = 4. Sekarang, kita bisa gunakan nilai r ini untuk mencari persamaan lingkaran.

Menentukan Persamaan Lingkaran

Karena kita sudah punya pusat (3, 1) dan jari-jari r = 4, kita bisa masukkan nilai-nilai ini ke dalam bentuk baku persamaan lingkaran: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

a = 3
b = 1
r = 4

Maka, persamaan lingkarannya menjadi:

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$ $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 16$

Selanjutnya, kita bisa jabarkan persamaan ini untuk mendapatkan bentuk umum persamaan lingkaran:

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 16$ $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 10 = 16$ $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 10 - 16 = 0$ $x^2 + y^2 - 6x - 2y - 6 = 0$

Taraaa! Jadi, persamaan lingkaran yang memenuhi adalah $x^2 + y^2 - 6x - 2y - 6 = 0$ . Jika kita lihat pilihan ganda di soal, jawabannya adalah C. Gampang kan?

Contoh Soal Tambahan untuk Latihan

Biar makin jago, yuk kita coba beberapa contoh soal tambahan:

Soal: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, -3) dan menyinggung garis $4x - 3y + 5 = 0$ .
- Penyelesaian:
  - Rumus jari-jari: $r = rac{|Ax_1 + By_1 + C|}{ ext{sqrt}(A^2 + B^2)}$
  - Pusat (2, -3), maka $x_1 = 2$ dan $y_1 = -3$
  - Garis: $4x - 3y + 5 = 0$ , maka A = 4, B = -3, dan C = 5
  - $r = rac{|4(2) - 3(-3) + 5|}{ ext{sqrt}(4^2 + (-3)^2)} = rac{|8 + 9 + 5|}{ ext{sqrt}(16 + 9)} = rac{22}{5}$
  - Persamaan lingkaran: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = ( rac{22}{5})^2$
  - Jabarkan: $x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = rac{484}{25}$
  - Bentuk umum: $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 - rac{484}{25} = 0$ atau $x^2 + y^2 - 4x + 6y - rac{129}{25} = 0$
Soal: Sebuah lingkaran berpusat di titik (-1, 4) dan menyinggung sumbu y. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
- Penyelesaian:
  - Karena menyinggung sumbu y, maka jari-jari (r) sama dengan nilai mutlak dari absis pusat lingkaran, yaitu |-1| = 1.
  - Persamaan lingkaran: $(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = 1^2$
  - $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 1$
  - Jabarkan: $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 1$
  - Bentuk umum: $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 16 = 0$

Tips dan Trik Tambahan

Guys, ini beberapa tips yang bisa kalian gunakan saat mengerjakan soal persamaan lingkaran:

Pahami Konsep: Pastikan kalian paham betul konsep dasar tentang pusat, jari-jari, dan bentuk-bentuk persamaan lingkaran.
Gambar Sketsa: Kalau memungkinkan, coba gambar sketsa lingkaran dan garis singgungnya. Ini bisa membantu kalian memahami soal lebih baik.
Perhatikan Tanda: Hati-hati dengan tanda positif dan negatif saat memasukkan nilai ke dalam rumus. Kesalahan tanda bisa fatal!
Latihan Soal: Perbanyak latihan soal, ya! Semakin sering kalian berlatih, semakin mudah kalian menguasai materi ini.
Gunakan Kalkulator: Jika diperbolehkan, gunakan kalkulator untuk membantu perhitungan. Tapi, pastikan kalian tetap paham langkah-langkahnya.

Kesimpulan: Kuasai Persamaan Lingkaran, Raih Nilai Tinggi!

Nah, sekarang kalian sudah tahu kan cara mencari persamaan lingkaran yang menyinggung garis? Ingat, kunci utamanya adalah memahami konsep, menguasai rumus, dan banyak latihan. Jangan ragu untuk mencoba berbagai variasi soal, ya! Dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasai materi ini dan meraih nilai tinggi dalam ujian matematika. Semangat belajar, guys!

Semoga artikel ini bermanfaat. Kalau ada pertanyaan, jangan sungkan untuk bertanya, ya! Sukses selalu untuk kalian!