Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Oct 28, 2025 by ADMIN 57 views

Guys, kali ini kita akan membahas tentang cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). SPLTV ini adalah kumpulan persamaan linear yang punya tiga variabel, biasanya dilambangkan dengan x, y, dan z. Nah, buat kalian yang lagi pusing dengan soal-soal matematika yang beginian, yuk simak penjelasan lengkapnya!

Apa Itu Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)?

Sebelum kita masuk ke cara penyelesaiannya, penting banget buat kita paham dulu apa itu SPLTV. Secara sederhana, SPLTV adalah suatu sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan linear, di mana setiap persamaan mengandung tiga variabel yang sama. Bentuk umumnya kayak gini:

ax + by + cz = d
px + qy + rz = s
mx + ny + oz = t

Di mana a, b, c, p, q, r, m, n, o, d, s, dan t adalah konstanta, sedangkan x, y, dan z adalah variabel yang mau kita cari nilainya. Tujuan kita adalah mencari nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara bersamaan.

Kenapa sih kita perlu belajar SPLTV? SPLTV ini sering banget muncul dalam berbagai masalah di kehidupan sehari-hari, lho! Misalnya, dalam bidang ekonomi, fisika, atau bahkan dalam perhitungan sederhana seperti menentukan harga barang. Jadi, penting banget buat kita menguasai materi ini.

Metode Penyelesaian SPLTV

Ada beberapa metode yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan SPLTV. Masing-masing metode punya kelebihan dan kekurangannya sendiri. Kita akan bahas tiga metode yang paling umum digunakan, yaitu:

Metode Eliminasi
Metode Substitusi
Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

1. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan menghilangkan salah satu variabel. Caranya adalah dengan mengoperasikan dua persamaan sehingga salah satu variabelnya hilang. Operasi yang dimaksud bisa berupa penjumlahan, pengurangan, atau perkalian dengan suatu konstanta.

Langkah-langkah Metode Eliminasi:

Pilih dua persamaan dari sistem persamaan yang akan dieliminasi salah satu variabelnya. Usahakan pilih persamaan yang koefisien variabelnya mudah dioperasikan.
Kalikan kedua persamaan dengan konstanta yang sesuai sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama atau berlawanan.
Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan tersebut sehingga variabel yang koefisiennya sama atau berlawanan akan hilang.
Ulangi langkah 1-3 untuk menghilangkan variabel yang lain dari dua persamaan yang berbeda (atau persamaan hasil eliminasi sebelumnya).
Setelah mendapatkan nilai satu variabel, substitusikan nilai tersebut ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.

Contoh Soal:

Misalnya kita punya sistem persamaan:

x - 2y + 4z = 3  ...(1)
x + 3y - 2z = 6  ...(2)
x - 4y + 3z = -5 ...(3)

Penyelesaian:

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2):

Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1):
```
(x + 3y - 2z) - (x - 2y + 4z) = 6 - 3
5y - 6z = 3  ...(4)
```
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3):

Kurangkan persamaan (3) dengan persamaan (1):
```
(x - 4y + 3z) - (x - 2y + 4z) = -5 - 3
-2y - z = -8  ...(5)
```
Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel (y dan z):
```
5y - 6z = 3  ...(4)
-2y - z = -8  ...(5)
```
Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5):

Kalikan persamaan (5) dengan -6:
```
12y + 6z = 48  ...(6)
```
Jumlahkan persamaan (4) dan (6):
```
(5y - 6z) + (12y + 6z) = 3 + 48
17y = 51
y = 3
```
Substitusikan nilai y = 3 ke persamaan (5):
```
-2(3) - z = -8
-6 - z = -8
z = 2
```
Substitusikan nilai y = 3 dan z = 2 ke persamaan (1):
```
x - 2(3) + 4(2) = 3
x - 6 + 8 = 3
x = 1
```
Jadi, solusinya adalah x = 1, y = 3, dan z = 2.

2. Metode Substitusi

Metode substitusi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan mengganti (mensubstitusikan) salah satu variabel dari suatu persamaan ke persamaan yang lain. Caranya adalah dengan menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain, lalu menggantikan variabel tersebut dalam persamaan yang lain.

Langkah-langkah Metode Substitusi:

Pilih salah satu persamaan dan nyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain. Misalnya, nyatakan x dalam bentuk y dan z, atau y dalam bentuk x dan z, dan seterusnya.
Substitusikan (gantikan) variabel yang sudah dinyatakan dalam bentuk variabel lain ke persamaan yang lain.
Sederhanakan persamaan yang dihasilkan.
Ulangi langkah 1-3 sampai mendapatkan nilai salah satu variabel.
Substitusikan nilai variabel yang sudah didapatkan ke persamaan yang lain untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.

Contoh Soal:

Kita pakai sistem persamaan yang sama kayak tadi:

x - 2y + 4z = 3  ...(1)
x + 3y - 2z = 6  ...(2)
x - 4y + 3z = -5 ...(3)

Penyelesaian:

Nyatakan x dari persamaan (1):
```
x = 2y - 4z + 3  ...(4)
```

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (2):

(2y - 4z + 3) + 3y - 2z = 6
5y - 6z = 3  ...(5)

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3):

(2y - 4z + 3) - 4y + 3z = -5
-2y - z = -8  ...(6)

Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel (y dan z):
```
5y - 6z = 3  ...(5)
-2y - z = -8  ...(6)
```
Nyatakan z dari persamaan (6):
```
z = -2y + 8  ...(7)
```

Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (5):

5y - 6(-2y + 8) = 3
5y + 12y - 48 = 3
17y = 51
y = 3

Substitusikan nilai y = 3 ke persamaan (7):
```
z = -2(3) + 8
z = 2
```
Substitusikan nilai y = 3 dan z = 2 ke persamaan (4):
```
x = 2(3) - 4(2) + 3
x = 1
```
Jadi, solusinya adalah x = 1, y = 3, dan z = 2.

3. Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

Metode campuran adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan menggabungkan metode eliminasi dan substitusi. Biasanya, kita eliminasi dulu salah satu variabel untuk menyederhanakan sistem persamaan, lalu kita substitusikan nilai variabel yang sudah didapatkan untuk mencari nilai variabel yang lain.

Langkah-langkah Metode Campuran:

Eliminasi salah satu variabel dari dua persamaan, seperti pada metode eliminasi.
Substitusikan persamaan hasil eliminasi ke persamaan yang lain, seperti pada metode substitusi.
Selesaikan persamaan yang dihasilkan.
Substitusikan nilai variabel yang sudah didapatkan ke persamaan yang lain untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.

Contoh Soal:

Kita tetap pakai sistem persamaan yang sama:

x - 2y + 4z = 3  ...(1)
x + 3y - 2z = 6  ...(2)
x - 4y + 3z = -5 ...(3)

Penyelesaian:

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2):

Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1):
```
(x + 3y - 2z) - (x - 2y + 4z) = 6 - 3
5y - 6z = 3  ...(4)
```
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3):

Kurangkan persamaan (3) dengan persamaan (1):
```
(x - 4y + 3z) - (x - 2y + 4z) = -5 - 3
-2y - z = -8  ...(5)
```
Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel (y dan z):
```
5y - 6z = 3  ...(4)
-2y - z = -8  ...(5)
```
Nyatakan z dari persamaan (5):
```
z = -2y + 8  ...(6)
```

Substitusikan persamaan (6) ke persamaan (4):

5y - 6(-2y + 8) = 3
5y + 12y - 48 = 3
17y = 51
y = 3

Substitusikan nilai y = 3 ke persamaan (6):
```
z = -2(3) + 8
z = 2
```
Substitusikan nilai y = 3 dan z = 2 ke persamaan (1):
```
x - 2(3) + 4(2) = 3
x - 6 + 8 = 3
x = 1
```
Jadi, solusinya adalah x = 1, y = 3, dan z = 2.

Tips dan Trik Menyelesaikan SPLTV

Perhatikan koefisien: Pilih metode yang paling mudah berdasarkan koefisien variabel dalam persamaan.
Teliti: Hindari kesalahan perhitungan, terutama saat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, atau perkalian.
Cek kembali: Setelah mendapatkan solusi, substitusikan nilai x, y, dan z ke semua persamaan awal untuk memastikan solusinya benar.
Latihan: Semakin banyak latihan, semakin terbiasa kita dengan berbagai jenis soal SPLTV.

Kesimpulan

Menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel memang butuh ketelitian dan pemahaman konsep yang baik. Tapi, dengan menguasai metode eliminasi, substitusi, atau campuran, kalian pasti bisa menyelesaikan soal-soal SPLTV dengan mudah. Jangan lupa untuk terus latihan dan jangan takut untuk bertanya kalau ada yang kurang jelas, ya!

Semoga penjelasan ini bermanfaat buat kalian semua! Selamat belajar!