Cara Menghitung Pembagian Polinomial Bersusun & Horner

by NGADEMIN 55 views
Iklan Headers

Pendahuluan

Guys, dalam dunia matematika, polinomial itu kayak teka-teki seru yang bisa kita pecahin bareng-bareng. Nah, kali ini kita bakal bahas gimana caranya menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial, khususnya yang bentuknya (ax² + bx + c). Kita bakal pakai dua cara, yaitu cara bersusun yang klasik dan skema Horner yang lebih kekinian. Jadi, siap-siap ya, kita mulai petualangan matematika kita!

Sebelum kita masuk ke contoh soal, penting banget nih buat kita pahamin dulu konsep dasar pembagian polinomial. Anggap aja polinomial itu kayak bilangan biasa, tapi bedanya dia punya variabel (biasanya x) dengan pangkat yang berbeda-beda. Misalnya, 2x⁴ - 3x³ - 6x² + 9x + 1 itu salah satu contoh polinomial. Nah, kalau kita mau bagi polinomial ini dengan polinomial lain (misalnya x² - 3x + 2), hasilnya bakal ada dua bagian: hasil bagi (quotient) dan sisa pembagian (remainder). Hasil bagi itu polinomial yang kita dapat setelah pembagian, sedangkan sisa pembagian itu bagian yang gak bisa lagi dibagi.

Kenapa sih kita perlu belajar pembagian polinomial? Pertanyaan bagus! Pembagian polinomial ini penting banget dalam banyak hal di matematika dan bidang lainnya. Misalnya, kita bisa pakai buat nyederhanain ekspresi matematika, nyari akar-akar polinomial (nilai x yang bikin polinomial sama dengan nol), atau bahkan dalam teknik dan ilmu komputer. Jadi, kemampuan buat bagi polinomial ini skill yang berguna banget, guys!

Dalam artikel ini, kita bakal fokus ke dua cara utama buat bagi polinomial: cara bersusun dan skema Horner. Cara bersusun itu metode klasik yang mirip banget sama pembagian bilangan biasa yang kita pelajarin di SD. Sementara itu, skema Horner itu cara yang lebih efisien dan ringkas, terutama buat pembagian dengan bentuk linear (misalnya x - a). Kita bakal bahas kedua cara ini step-by-step, jadi jangan khawatir kalau kalian belum familiar. Kita bakal mulai dengan contoh soal, terus kita jelasin langkah-langkahnya satu per satu. Oke, udah siap buat mulai?

Contoh Soal 1: Pembagian 2x⁴ - 3x³ - 6x² + 9x + 1 dengan (x² - 3x + 2)

Oke guys, sekarang kita langsung masuk ke contoh soal pertama. Soalnya adalah kita mau bagi polinomial 2x⁴ - 3x³ - 6x² + 9x + 1 dengan polinomial x² - 3x + 2. Kita bakal coba kerjain soal ini pakai dua cara, yaitu cara bersusun dan skema Horner. Dengan ngerjain satu soal pakai dua cara, kita bisa lihat perbedaan dan kelebihan masing-masing metode. Jadi, kalian bisa pilih cara mana yang paling nyaman buat kalian pakai nanti.

Cara Bersusun

Cara bersusun ini mirip banget sama cara kita bagi bilangan biasa di SD. Kita tulis polinomial yang mau dibagi (2x⁴ - 3x³ - 6x² + 9x + 1) di dalam kurung, terus polinomial pembaginya (x² - 3x + 2) di luar kurung. Nah, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Bagi suku dengan pangkat tertinggi: Kita bagi suku dengan pangkat tertinggi di dalam kurung (2x⁴) dengan suku dengan pangkat tertinggi di luar kurung (x²). Hasilnya adalah 2x². Ini adalah suku pertama dari hasil bagi kita.
  2. Kalikan hasil bagi dengan pembagi: Kita kalikan 2x² dengan seluruh polinomial pembagi (x² - 3x + 2). Hasilnya adalah 2x⁴ - 6x³ + 4x².
  3. Kurangkan: Kita kurangkan hasil perkalian tadi dari polinomial yang mau dibagi. Jadi, (2x⁴ - 3x³ - 6x² + 9x + 1) - (2x⁴ - 6x³ + 4x²) = 3x³ - 10x² + 9x + 1.
  4. Ulangi langkah-langkah di atas: Sekarang kita punya polinomial baru, yaitu 3x³ - 10x² + 9x + 1. Kita ulangi langkah-langkah di atas dengan polinomial ini. Kita bagi 3x³ dengan x², hasilnya adalah 3x. Ini adalah suku kedua dari hasil bagi kita. Kita kalikan 3x dengan (x² - 3x + 2), hasilnya adalah 3x³ - 9x² + 6x. Kita kurangkan, hasilnya adalah -x² + 3x + 1.
  5. Lanjutkan sampai sisa pembagian punya pangkat lebih rendah dari pembagi: Kita ulangi lagi. Kita bagi -x² dengan x², hasilnya adalah -1. Ini adalah suku ketiga dari hasil bagi kita. Kita kalikan -1 dengan (x² - 3x + 2), hasilnya adalah -x² + 3x - 2. Kita kurangkan, hasilnya adalah 3. Nah, karena 3 ini punya pangkat 0 (konstanta), sedangkan pembagi kita punya pangkat 2, berarti kita udah selesai. 3 ini adalah sisa pembagian kita.

Jadi, dari cara bersusun ini, kita dapat hasil bagi adalah 2x² + 3x - 1 dan sisa pembagian adalah 3.

Skema Horner

Skema Horner ini cara yang lebih ringkas, tapi butuh sedikit pemahaman tentang konsepnya. Intinya, kita bakal pakai koefisien-koefisien dari polinomial kita buat ngitung hasil bagi dan sisa pembagian. Tapi, karena pembagi kita bentuknya kuadrat (x² - 3x + 2), kita perlu ubah dulu jadi bentuk linear. Kita faktorkan x² - 3x + 2 jadi (x - 1)(x - 2). Jadi, kita bakal bagi dua kali pakai skema Horner, pertama dengan (x - 1), terus dengan (x - 2).

  1. Bagi dengan (x - 1): Kita tulis koefisien dari polinomial yang mau dibagi (2, -3, -6, 9, 1). Terus, kita tulis 1 (akar dari x - 1) di sebelah kiri. Kita turunin koefisien pertama (2) ke bawah. Terus, kita kalikan 2 dengan 1, hasilnya 2. Kita tambahin 2 ke -3, hasilnya -1. Kita kalikan -1 dengan 1, hasilnya -1. Kita tambahin -1 ke -6, hasilnya -7. Kita kalikan -7 dengan 1, hasilnya -7. Kita tambahin -7 ke 9, hasilnya 2. Kita kalikan 2 dengan 1, hasilnya 2. Kita tambahin 2 ke 1, hasilnya 3. Nah, 3 ini adalah sisa pembagian pertama kita. Hasil bagi pertama kita adalah 2x³ - x² - 7x + 2 (kita turunin pangkatnya satu tingkat).
  2. Bagi hasil bagi pertama dengan (x - 2): Sekarang, kita bagi hasil bagi pertama (2x³ - x² - 7x + 2) dengan (x - 2) pakai skema Horner lagi. Kita tulis koefisiennya (2, -1, -7, 2). Kita tulis 2 (akar dari x - 2) di sebelah kiri. Kita turunin 2 ke bawah. Kita kalikan 2 dengan 2, hasilnya 4. Kita tambahin 4 ke -1, hasilnya 3. Kita kalikan 3 dengan 2, hasilnya 6. Kita tambahin 6 ke -7, hasilnya -1. Kita kalikan -1 dengan 2, hasilnya -2. Kita tambahin -2 ke 2, hasilnya 0. Nah, 0 ini adalah sisa pembagian kedua kita. Hasil bagi kedua kita adalah 2x² + 3x - 1.

Gimana cara kita dapat sisa pembagian akhir? Kita kalikan sisa pembagian pertama (3) dengan (x - 2), terus kita tambahin sisa pembagian kedua (0). Jadi, sisa pembagian akhirnya adalah 3(x - 2) + 0 = 3x - 6. Tapi, tunggu dulu! Ini bukan sisa pembagian yang kita mau. Kita harus ingat, kita bagi dua kali. Jadi, sisa pembagian akhirnya adalah 3. Kita dapat dari 3x - 6 + (hasil bagi kedua * (x²-3x+2)). Hasil bagi kedua * (x²-3x+2) = (2x² + 3x - 1)(x²-3x+2) = 2x⁴ - 3x³ - 6x² + 9x - 2. Jadi sisa pembagian akhirnya adalah 3x - 6 + 2x⁴ - 3x³ - 6x² + 9x - 2.

Loh, kok beda sama cara bersusun? Nah, ini penting! Sisa pembagian yang benar itu yang kita dapat dari cara bersusun, yaitu 3. Skema Horner ini tricky kalau pembaginya bukan bentuk linear. Jadi, buat soal ini, cara bersusun lebih aman. Tapi, hasil bagi yang kita dapat dari skema Horner (2x² + 3x - 1) itu benar, sama kayak hasil bagi dari cara bersusun.

Jadi, dari kedua cara ini, kita bisa simpulkan kalau hasil bagi dari pembagian 2x⁴ - 3x³ - 6x² + 9x + 1 dengan (x² - 3x + 2) adalah 2x² + 3x - 1 dan sisa pembagian adalah 3.

Contoh Soal 2: Pembagian x⁴ - 3x² + 7x - 2 dengan (x² - 2x - 3)

Sekarang, kita lanjut ke contoh soal kedua, guys! Kali ini, kita mau bagi polinomial x⁴ - 3x² + 7x - 2 dengan polinomial x² - 2x - 3. Sama kayak tadi, kita bakal coba kerjain soal ini pakai cara bersusun dan skema Horner. Dengan ngerjain lebih dari satu soal, kita bisa makin mantap nih sama kedua metode ini.

Cara Bersusun

Kita mulai dengan cara bersusun. Kita tulis x⁴ - 3x² + 7x - 2 di dalam kurung, terus x² - 2x - 3 di luar kurung. Ingat ya, kalau ada suku yang hilang (misalnya suku x³), kita bisa tulis 0x³ buat jadi placeholder. Jadi, kita tulis x⁴ + 0x³ - 3x² + 7x - 2 di dalam kurung.

  1. Bagi suku dengan pangkat tertinggi: Kita bagi x⁴ dengan x², hasilnya adalah x². Ini adalah suku pertama dari hasil bagi kita.
  2. Kalikan hasil bagi dengan pembagi: Kita kalikan x² dengan (x² - 2x - 3), hasilnya adalah x⁴ - 2x³ - 3x².
  3. Kurangkan: Kita kurangkan (x⁴ + 0x³ - 3x² + 7x - 2) dengan (x⁴ - 2x³ - 3x²), hasilnya adalah 2x³ + 7x - 2.
  4. Ulangi langkah-langkah di atas: Kita bagi 2x³ dengan x², hasilnya adalah 2x. Ini adalah suku kedua dari hasil bagi kita. Kita kalikan 2x dengan (x² - 2x - 3), hasilnya adalah 2x³ - 4x² - 6x. Kita kurangkan, hasilnya adalah 4x² + 13x - 2.
  5. Lanjutkan sampai sisa pembagian punya pangkat lebih rendah dari pembagi: Kita ulangi lagi. Kita bagi 4x² dengan x², hasilnya adalah 4. Ini adalah suku ketiga dari hasil bagi kita. Kita kalikan 4 dengan (x² - 2x - 3), hasilnya adalah 4x² - 8x - 12. Kita kurangkan, hasilnya adalah 21x + 10. Nah, karena 21x + 10 ini punya pangkat 1, sedangkan pembagi kita punya pangkat 2, berarti kita udah selesai. 21x + 10 ini adalah sisa pembagian kita.

Jadi, dari cara bersusun ini, kita dapat hasil bagi adalah x² + 2x + 4 dan sisa pembagian adalah 21x + 10.

Skema Horner

Sama kayak tadi, kita coba pakai skema Horner buat soal ini. Kita faktorkan dulu pembaginya, x² - 2x - 3, jadi (x - 3)(x + 1). Jadi, kita bakal bagi dua kali, pertama dengan (x - 3), terus dengan (x + 1).

  1. Bagi dengan (x - 3): Kita tulis koefisien dari polinomial yang mau dibagi (1, 0, -3, 7, -2). Jangan lupa, kita tulis 0 buat suku x³ yang hilang. Kita tulis 3 (akar dari x - 3) di sebelah kiri. Kita turunin 1 ke bawah. Kita kalikan 1 dengan 3, hasilnya 3. Kita tambahin 3 ke 0, hasilnya 3. Kita kalikan 3 dengan 3, hasilnya 9. Kita tambahin 9 ke -3, hasilnya 6. Kita kalikan 6 dengan 3, hasilnya 18. Kita tambahin 18 ke 7, hasilnya 25. Kita kalikan 25 dengan 3, hasilnya 75. Kita tambahin 75 ke -2, hasilnya 73. Nah, 73 ini adalah sisa pembagian pertama kita. Hasil bagi pertama kita adalah x³ + 3x² + 6x + 25.
  2. Bagi hasil bagi pertama dengan (x + 1): Sekarang, kita bagi hasil bagi pertama (x³ + 3x² + 6x + 25) dengan (x + 1) pakai skema Horner lagi. Kita tulis koefisiennya (1, 3, 6, 25). Kita tulis -1 (akar dari x + 1) di sebelah kiri. Kita turunin 1 ke bawah. Kita kalikan 1 dengan -1, hasilnya -1. Kita tambahin -1 ke 3, hasilnya 2. Kita kalikan 2 dengan -1, hasilnya -2. Kita tambahin -2 ke 6, hasilnya 4. Kita kalikan 4 dengan -1, hasilnya -4. Kita tambahin -4 ke 25, hasilnya 21. Nah, 21 ini adalah sisa pembagian kedua kita. Hasil bagi kedua kita adalah x² + 2x + 4.

Gimana cara kita dapat sisa pembagian akhir? Kita kalikan sisa pembagian pertama (73) dengan (x + 1), terus kita tambahin sisa pembagian kedua (21). Jadi, sisa pembagian sementara adalah 73(x + 1) + 21 = 73x + 94. Sama kayak tadi, ini bukan sisa pembagian yang kita mau. Sisa pembagian akhirnya adalah 73x + 94 + (hasil bagi kedua * (x²-2x-3)). Hasil bagi kedua * (x²-2x-3) = (x² + 2x + 4)(x²-2x-3) = x⁴ - 3x² + 7x -12. Jadi sisa pembagian akhirnya adalah 73x + 94 + x⁴ - 3x² + 7x -12.

Loh, kok beda lagi sama cara bersusun? Iya, guys, sama kayak tadi, skema Horner bisa tricky kalau pembaginya bukan bentuk linear. Sisa pembagian yang benar itu yang kita dapat dari cara bersusun, yaitu 21x + 10. Tapi, hasil bagi yang kita dapat dari skema Horner (x² + 2x + 4) itu benar, sama kayak hasil bagi dari cara bersusun.

Jadi, dari kedua cara ini, kita bisa simpulkan kalau hasil bagi dari pembagian x⁴ - 3x² + 7x - 2 dengan (x² - 2x - 3) adalah x² + 2x + 4 dan sisa pembagian adalah 21x + 10.

Kesimpulan

Nah, itu dia guys, cara menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial dengan cara bersusun dan skema Horner! Kita udah bahas dua contoh soal dan lihat gimana kedua cara ini bekerja. Cara bersusun itu lebih straightforward dan aman buat pembagi yang bentuknya kuadrat atau lebih tinggi. Tapi, dia agak panjang dan butuh ketelitian. Sementara itu, skema Horner lebih ringkas, tapi tricky kalau pembaginya bukan linear. Jadi, kalian perlu hati-hati dan pahamin konsepnya baik-baik.

Pesan penting: Jangan cuma hafalin langkah-langkahnya ya! Lebih penting buat pahamin kenapa kita ngelakuin setiap langkah. Dengan gitu, kalian bisa adaptasi cara ini buat soal-soal yang beda. Dan yang paling penting, jangan takut buat nyoba dan latihan! Semakin banyak kalian latihan, semakin jago kalian dalam pembagian polinomial.

Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian ya! Kalau ada pertanyaan atau mau request topik lain, jangan ragu buat komen di bawah. Sampai jumpa di artikel selanjutnya! Keep learning and have fun with math, guys!