Cara Menentukan Turunan Pertama R(t) = T√t + 1/(t√t)

by ADMIN 53 views

Hay guys! Kali ini kita akan membahas tentang cara mencari turunan pertama dari suatu fungsi. Buat kalian yang lagi belajar kalkulus, soal turunan ini pasti sering banget muncul. Nah, biar makin jago, yuk kita bedah soal ini bareng-bareng. Soal yang akan kita bahas adalah menentukan turunan pertama dari fungsi R(t) = t√t + 1/(t√t). Gimana caranya? Simak penjelasan berikut ini ya!

Memahami Konsep Dasar Turunan

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting banget untuk memahami konsep dasar turunan. Turunan suatu fungsi itu, sederhananya, adalah laju perubahan fungsi tersebut terhadap variabelnya. Dalam konteks grafik, turunan ini menggambarkan kemiringan garis singgung pada kurva fungsi di titik tertentu. Jadi, bisa dibilang turunan ini adalah alat yang ampuh untuk menganalisis perilaku suatu fungsi.

Dalam kalkulus, ada beberapa aturan dasar turunan yang perlu kita kuasai. Beberapa di antaranya adalah:

  • Aturan Pangkat: Jika f(x) = x^n, maka f'(x) = nx^(n-1)
  • Aturan Konstanta: Jika f(x) = c (konstanta), maka f'(x) = 0
  • Aturan Jumlah/Selisih: Jika h(x) = f(x) ± g(x), maka h'(x) = f'(x) ± g'(x)
  • Aturan Perkalian: Jika h(x) = f(x) * g(x), maka h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
  • Aturan Pembagian: Jika h(x) = f(x) / g(x), maka h'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2
  • Aturan Rantai: Jika h(x) = f(g(x)), maka h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

Aturan-aturan ini adalah modal utama kita untuk menyelesaikan berbagai macam soal turunan. Jadi, pastikan kalian paham betul ya!

Mengubah Bentuk Fungsi R(t)

Oke, sekarang kita balik lagi ke soal kita. Fungsi R(t) = t√t + 1/(t√t) ini kelihatannya agak rumit ya? Tapi, jangan khawatir! Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah mengubah bentuk fungsi ini menjadi bentuk yang lebih sederhana dan mudah diturunkan. Kita bisa memanfaatkan sifat-sifat eksponen untuk melakukan ini.

Ingat bahwa √t itu sama dengan t^(1/2). Jadi, kita bisa tulis ulang fungsi R(t) sebagai berikut:

R(t) = t * t^(1/2) + 1 / (t * t^(1/2))

Kemudian, kita gunakan sifat perkalian eksponen (a^m * a^n = a^(m+n)) untuk menyederhanakan suku pertama dan kedua:

R(t) = t^(1 + 1/2) + 1 / (t^(1 + 1/2)) R(t) = t^(3/2) + 1 / (t^(3/2))

Nah, sekarang kita punya bentuk yang lebih sederhana. Tapi, suku kedua masih dalam bentuk pecahan. Kita bisa ubah lagi dengan menggunakan sifat eksponen negatif (1/a^n = a^(-n)):

R(t) = t^(3/2) + t^(-3/2)

Voila! Sekarang fungsi R(t) sudah dalam bentuk yang sangat bersahabat untuk diturunkan. Bentuknya adalah penjumlahan dua suku dengan pangkat yang jelas. Ini akan memudahkan kita dalam menerapkan aturan turunan.

Menentukan Turunan Pertama R(t)

Setelah kita berhasil menyederhanakan bentuk fungsi R(t), langkah selanjutnya adalah menentukan turunan pertamanya. Di sinilah aturan-aturan dasar turunan yang sudah kita pelajari sebelumnya akan sangat berguna.

Fungsi kita sekarang adalah R(t) = t^(3/2) + t^(-3/2). Kita akan menggunakan aturan jumlah/selisih dan aturan pangkat untuk mencari turunannya. Ingat, aturan jumlah/selisih bilang bahwa turunan dari penjumlahan atau pengurangan fungsi adalah jumlah atau selisih dari turunan masing-masing fungsi.

Jadi, kita akan mencari turunan dari masing-masing suku, yaitu t^(3/2) dan t^(-3/2), lalu menjumlahkannya.

Untuk suku pertama, t^(3/2), kita gunakan aturan pangkat. Jika f(t) = t^n, maka f'(t) = nt^(n-1). Dalam kasus ini, n = 3/2. Jadi, turunannya adalah:

(d/dt) t^(3/2) = (3/2) * t^((3/2) - 1) = (3/2) * t^(1/2)

Untuk suku kedua, t^(-3/2), kita juga gunakan aturan pangkat. Dalam kasus ini, n = -3/2. Jadi, turunannya adalah:

(d/dt) t^(-3/2) = (-3/2) * t^((-3/2) - 1) = (-3/2) * t^(-5/2)

Sekarang, kita jumlahkan kedua turunan ini untuk mendapatkan turunan pertama dari R(t):

R'(t) = (3/2) * t^(1/2) + (-3/2) * t^(-5/2) R'(t) = (3/2) * t^(1/2) - (3/2) * t^(-5/2)

Nah, kita sudah dapat turunan pertamanya! Tapi, biasanya kita diminta untuk menyederhanakan bentuk turunan ini lagi. Kita bisa keluarkan faktor 3/2 dan ubah kembali bentuk eksponen pecahan dan negatif ke bentuk akar dan pecahan.

Menyederhanakan Bentuk Turunan

Turunan pertama kita adalah R'(t) = (3/2) * t^(1/2) - (3/2) * t^(-5/2). Untuk menyederhanakannya, pertama-tama kita keluarkan faktor 3/2:

R'(t) = (3/2) * [t^(1/2) - t^(-5/2)]

Kemudian, kita ubah kembali bentuk eksponen pecahan menjadi bentuk akar. Ingat, t^(1/2) itu sama dengan √t:

R'(t) = (3/2) * [√t - t^(-5/2)]

Selanjutnya, kita ubah bentuk eksponen negatif menjadi bentuk pecahan. Ingat, t^(-n) itu sama dengan 1/t^n. Jadi, t^(-5/2) sama dengan 1/t^(5/2). Kita juga bisa ubah t^(5/2) menjadi t^(2 + 1/2) = t^2 * t^(1/2) = t^2√t:

R'(t) = (3/2) * [√t - 1/(t^2√t)]

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita bisa samakan penyebut di dalam kurung:

R'(t) = (3/2) * [(t^2√t * √t - 1) / (t^2√t)] R'(t) = (3/2) * [(t^3 - 1) / (t^2√t)]

Akhirnya, kita dapat bentuk turunan pertama yang paling sederhana:

R'(t) = (3(t^3 - 1)) / (2t^2√t)

Yeay! Kita berhasil menemukan turunan pertama dari fungsi R(t) dan menyederhanakannya. Lumayan panjang ya prosesnya? Tapi, dengan memahami konsep dasar dan mengikuti langkah-langkahnya dengan teliti, kita pasti bisa menyelesaikan soal-soal turunan lainnya.

Kesimpulan

Jadi, guys, untuk menentukan turunan pertama dari fungsi R(t) = t√t + 1/(t√t), kita perlu melakukan beberapa langkah:

  1. Memahami konsep dasar turunan dan aturan-aturan turunannya.
  2. Mengubah bentuk fungsi menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat-sifat eksponen.
  3. Menentukan turunan pertama dengan menerapkan aturan jumlah/selisih dan aturan pangkat.
  4. Menyederhanakan bentuk turunan dengan mengubah kembali bentuk eksponen pecahan dan negatif, serta menyamakan penyebut.

Dengan latihan yang cukup, kalian pasti akan semakin mahir dalam menyelesaikan soal-soal turunan. Semangat terus belajarnya ya! Sampai jumpa di pembahasan soal-soal lainnya!