Cara Melukis Daerah HP Pertidaksamaan Linear: Panduan Lengkap

by ADMIN 62 views

Matematika, guys! Kali ini kita akan membahas tuntas tentang cara melukis daerah himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan linear. Topik ini penting banget dalam matematika, khususnya saat kita belajar tentang program linear. Jadi, simak baik-baik ya!

Apa itu Daerah Himpunan Penyelesaian (HP)?

Sebelum kita masuk ke cara melukisnya, kita pahami dulu apa sih daerah himpunan penyelesaian itu? Gampangnya, daerah HP adalah kumpulan titik-titik yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam suatu sistem pertidaksamaan. Jadi, kalau kita punya beberapa pertidaksamaan, daerah HP adalah irisan dari semua daerah yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan tersebut.

Kenapa Penting Memahami Daerah HP?

Memahami daerah himpunan penyelesaian ini krusial banget, terutama dalam program linear. Di program linear, kita seringkali mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi objektif dengan batasan-batasan yang diberikan dalam bentuk pertidaksamaan. Nah, daerah HP inilah yang akan menjadi "wilayah" tempat kita mencari solusi optimalnya. Jadi, kalau kita salah menentukan daerah HP, bisa-bisa kita salah juga dalam mencari solusinya.

Langkah-Langkah Melukis Daerah HP Pertidaksamaan Linear

Oke, sekarang kita masuk ke inti pembahasan, yaitu cara melukis daerah HP. Berikut ini adalah langkah-langkahnya:

1. Ubah Pertidaksamaan Menjadi Persamaan

Langkah pertama, kita ubah dulu semua pertidaksamaan yang ada menjadi persamaan. Caranya gampang banget, tinggal ganti tanda pertidaksamaannya (=, ≤, ≥, <, >) dengan tanda sama dengan (=). Misalnya, kalau kita punya pertidaksamaan 2x + y ≤ 4, kita ubah jadi persamaan 2x + y = 4.

2. Gambar Garis Persamaan pada Koordinat Kartesius

Setelah kita punya persamaan, langkah selanjutnya adalah menggambar garis persamaannya pada koordinat kartesius. Untuk menggambar garis, kita butuh minimal dua titik. Cara paling mudah mencari dua titik adalah dengan memisalkan x = 0, lalu cari nilai y, dan sebaliknya, misalkan y = 0, lalu cari nilai x. Jadi, kita akan dapat dua titik yang bisa kita hubungkan untuk membentuk garis.

Contoh:

Misalnya, kita punya persamaan 2x + y = 4.

  • Jika x = 0, maka 2(0) + y = 4, sehingga y = 4. Kita dapat titik (0, 4).
  • Jika y = 0, maka 2x + 0 = 4, sehingga x = 2. Kita dapat titik (2, 0).

Hubungkan titik (0, 4) dan (2, 0), maka kita akan mendapatkan garis persamaan 2x + y = 4.

3. Tentukan Daerah yang Memenuhi Pertidaksamaan

Nah, setelah kita punya garis, sekarang kita tentukan daerah mana yang memenuhi pertidaksamaan. Caranya adalah dengan melakukan uji titik. Kita ambil sembarang titik yang tidak terletak pada garis, lalu kita substitusikan ke dalam pertidaksamaan. Kalau pertidaksamaannya bernilai benar, berarti daerah yang memuat titik tersebut adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan. Sebaliknya, kalau pertidaksamaannya bernilai salah, berarti daerah yang tidak memuat titik tersebut adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan.

Contoh:

Kita punya pertidaksamaan 2x + y ≤ 4. Garis persamaannya sudah kita gambar di langkah sebelumnya. Sekarang, kita ambil titik (0, 0) sebagai titik uji (karena titik ini tidak terletak pada garis 2x + y = 4). Kita substitusikan x = 0 dan y = 0 ke dalam pertidaksamaan:

2(0) + 0 ≤ 4

0 ≤ 4 (Benar)

Karena pertidaksamaannya bernilai benar, berarti daerah yang memuat titik (0, 0) adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≤ 4. Biasanya, kita akan mengarsir daerah yang tidak memenuhi pertidaksamaan, sehingga daerah HP akan terlihat jelas.

Perhatikan Tanda Pertidaksamaan:

  • Jika tanda pertidaksamaannya ≤ atau ≥, maka garisnya digambar penuh (karena titik-titik pada garis juga termasuk dalam daerah HP).
  • Jika tanda pertidaksamaannya < atau >, maka garisnya digambar putus-putus (karena titik-titik pada garis tidak termasuk dalam daerah HP).

4. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (HP)

Kalau kita punya lebih dari satu pertidaksamaan, berarti kita punya beberapa daerah yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan. Daerah HP adalah irisan dari semua daerah tersebut. Jadi, daerah HP adalah daerah yang diarsir oleh semua pertidaksamaan (atau daerah yang tidak diarsir sama sekali, tergantung bagaimana kita mengarsirnya).

Contoh Soal dan Pembahasan

Biar lebih jelas, kita coba bahas contoh soal ya!

Soal:

Lukislah daerah HP dari sistem pertidaksamaan berikut:

  1. y < -1
  2. 2x + 5y ≥ 10
  3. 3x - 2y < -6

Pembahasan:

1. Ubah Pertidaksamaan Menjadi Persamaan

  • y < -1 menjadi y = -1
  • 2x + 5y ≥ 10 menjadi 2x + 5y = 10
  • 3x - 2y < -6 menjadi 3x - 2y = -6

2. Gambar Garis Persamaan pada Koordinat Kartesius

  • Garis y = -1: Ini adalah garis horizontal yang memotong sumbu y di titik (0, -1).
  • Garis 2x + 5y = 10:
    • Jika x = 0, maka 5y = 10, sehingga y = 2. Kita dapat titik (0, 2).
    • Jika y = 0, maka 2x = 10, sehingga x = 5. Kita dapat titik (5, 0).
    • Hubungkan titik (0, 2) dan (5, 0) untuk mendapatkan garisnya.
  • Garis 3x - 2y = -6:
    • Jika x = 0, maka -2y = -6, sehingga y = 3. Kita dapat titik (0, 3).
    • Jika y = 0, maka 3x = -6, sehingga x = -2. Kita dapat titik (-2, 0).
    • Hubungkan titik (0, 3) dan (-2, 0) untuk mendapatkan garisnya.

3. Tentukan Daerah yang Memenuhi Pertidaksamaan

  • y < -1: Ambil titik uji (0, 0). Substitusikan ke pertidaksamaan: 0 < -1 (Salah). Berarti, daerah yang memenuhi adalah daerah di bawah garis y = -1. Karena tandanya <, garisnya digambar putus-putus.
  • 2x + 5y ≥ 10: Ambil titik uji (0, 0). Substitusikan ke pertidaksamaan: 2(0) + 5(0) ≥ 10, 0 ≥ 10 (Salah). Berarti, daerah yang memenuhi adalah daerah di atas garis 2x + 5y = 10. Karena tandanya ≥, garisnya digambar penuh.
  • 3x - 2y < -6: Ambil titik uji (0, 0). Substitusikan ke pertidaksamaan: 3(0) - 2(0) < -6, 0 < -6 (Salah). Berarti, daerah yang memenuhi adalah daerah di atas garis 3x - 2y = -6. Karena tandanya <, garisnya digambar putus-putus.

4. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (HP)

Daerah HP adalah daerah yang merupakan irisan dari ketiga daerah yang memenuhi pertidaksamaan di atas. Dalam koordinat kartesius, daerah ini adalah daerah yang dibatasi oleh garis y = -1 (putus-putus), garis 2x + 5y = 10 (penuh), dan garis 3x - 2y = -6 (putus-putus), serta berada di bawah garis y = -1, di atas garis 2x + 5y = 10, dan di atas garis 3x - 2y = -6.

Tips dan Trik

  • Gunakan Kertas Grafis: Menggambar di kertas grafis akan membantu kita mendapatkan gambar yang lebih akurat.
  • Gunakan Warna yang Berbeda: Untuk membedakan daerah yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan, kita bisa menggunakan warna yang berbeda.
  • Periksa Kembali: Setelah menggambar daerah HP, periksa kembali apakah daerah tersebut benar-benar memenuhi semua pertidaksamaan.

Kesimpulan

Melukis daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear memang butuh ketelitian, tapi dengan mengikuti langkah-langkah di atas dan banyak berlatih, pasti kalian bisa! Ingat, pahami konsepnya, jangan cuma menghafal langkah-langkahnya. Semangat belajar, guys! Semoga artikel ini bermanfaat dan sampai jumpa di pembahasan matematika lainnya!