Bayangan Akhir Fungsi F(x): Refleksi, Rotasi, Dilatasi

Guys, kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik nih! Soalnya adalah bagaimana cara menentukan bayangan akhir dari fungsi f(x) = 3-5x setelah mengalami serangkaian transformasi geometri. Transformasi ini meliputi refleksi terhadap garis y = x, rotasi sebesar 270° pada titik pusat (0,0), dan dilatasi dengan faktor skala -2. Kedengarannya sedikit rumit ya? Tapi jangan khawatir, kita akan pecahkan soal ini langkah demi langkah dengan bahasa yang mudah dipahami.

Memahami Transformasi Geometri: Kunci Menemukan Bayangan Akhir

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting banget untuk kita pahami dulu konsep dasar dari masing-masing transformasi geometri yang terlibat. Ini seperti kita mau masak, kita harus tahu dulu bahan-bahannya dan bagaimana cara mengolahnya, kan? Nah, sama juga dengan soal ini. Yuk, kita bedah satu per satu transformasinya!

Refleksi terhadap Garis y = x

Refleksi atau pencerminan terhadap garis y = x itu sederhananya adalah menukar posisi x dan y. Jadi, kalau kita punya titik (x, y), setelah direfleksikan terhadap garis y = x, titik tersebut akan menjadi (y, x). Nah, konsep ini akan kita gunakan untuk merefleksikan fungsi f(x) kita.

Dalam konteks fungsi, refleksi terhadap garis y = x berarti kita akan menukar x dan y dalam persamaan fungsi. Jadi, y = f(x) akan menjadi x = f(y). Inget baik-baik ya, ini adalah langkah pertama kita dalam mencari bayangan akhir fungsi f(x).

Rotasi 270° pada Titik Pusat (0,0)

Rotasi adalah transformasi yang memutar suatu objek atau titik terhadap suatu titik pusat dengan sudut tertentu. Dalam soal ini, kita akan melakukan rotasi sebesar 270° pada titik pusat (0,0). Rotasi 270° searah jarum jam itu sama dengan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam. Jadi, kalau kita punya titik (x, y), setelah dirotasi 270° pada titik pusat (0,0), titik tersebut akan menjadi (y, -x).

Konsep rotasi ini juga akan kita terapkan pada fungsi kita setelah direfleksikan. Kita akan mengganti x dan y sesuai dengan aturan rotasi 270° untuk mendapatkan persamaan fungsi setelah rotasi.

Dilatasi dengan Skala -2

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu objek atau titik. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala. Faktor skala ini akan menentukan seberapa besar objek atau titik tersebut diperbesar atau diperkecil. Dalam soal ini, kita akan melakukan dilatasi dengan faktor skala -2. Faktor skala negatif berarti objek atau titik akan diperbesar (atau diperkecil) dan juga dicerminkan terhadap titik pusat.

Kalau kita punya titik (x, y) dan didilatasi dengan faktor skala k terhadap titik pusat (0,0), maka titik tersebut akan menjadi (kx, ky). Dalam kasus kita, k = -2, jadi titik (x, y) akan menjadi (-2x, -2y) setelah dilatasi. Nah, konsep ini juga akan kita gunakan untuk mendapatkan bayangan akhir fungsi kita.

Langkah-Langkah Menentukan Bayangan Akhir f(x)

Oke, sekarang kita sudah paham konsep dasar dari masing-masing transformasi. Saatnya kita aplikasikan konsep ini untuk mencari bayangan akhir fungsi f(x) = 3-5x. Kita akan ikuti urutan transformasi yang diberikan dalam soal: refleksi, rotasi, dan dilatasi.

Langkah 1: Refleksi terhadap Garis y = x

Seperti yang sudah kita bahas sebelumnya, refleksi terhadap garis y = x berarti kita menukar x dan y dalam persamaan fungsi. Jadi, y = 3 - 5x akan menjadi x = 3 - 5y. Sekarang, kita perlu mengubah persamaan ini agar menjadi y = .... Caranya adalah dengan mengisolasi y:

x = 3 - 5y
5y = 3 - x
y = (3 - x) / 5

Jadi, setelah direfleksikan terhadap garis y = x, fungsi f(x) = 3 - 5x menjadi y = (3 - x) / 5. Kita sebut ini sebagai f'(x).

Langkah 2: Rotasi 270° pada Titik Pusat (0,0)

Setelah direfleksikan, fungsi kita adalah f'(x) = (3 - x) / 5. Sekarang, kita akan melakukan rotasi 270° pada titik pusat (0,0). Ingat, rotasi 270° akan mengubah titik (x, y) menjadi (y, -x). Jadi, kita akan mengganti x dengan y dan y dengan -x dalam persamaan f'(x).

Persamaan y = (3 - x) / 5 akan menjadi -x = (3 - y) / 5. Sekarang, kita isolasi y lagi:

-x = (3 - y) / 5
-5x = 3 - y
y = 3 + 5x

Jadi, setelah dirotasi 270°, fungsi f'(x) menjadi y = 3 + 5x. Kita sebut ini sebagai f''(x).

Langkah 3: Dilatasi dengan Skala -2

Terakhir, kita akan melakukan dilatasi dengan faktor skala -2. Ingat, dilatasi dengan faktor skala k akan mengubah titik (x, y) menjadi (kx, ky). Jadi, kita akan mengalikan y dengan -2 dalam persamaan f''(x).

Persamaan y = 3 + 5x akan menjadi y = -2(3 + 5x). Kita sederhanakan:

y = -6 - 10x

Jadi, bayangan akhir dari fungsi f(x) = 3 - 5x setelah direfleksikan, dirotasi, dan didilatasi adalah y = -6 - 10x. Kita sebut ini sebagai f'''(x).

Kesimpulan: Bayangan Akhir Fungsi f(x)

Setelah melalui serangkaian transformasi geometri, akhirnya kita berhasil menemukan bayangan akhir dari fungsi f(x) = 3 - 5x. Bayangan akhirnya adalah f'''(x) = -6 - 10x. Lumayan panjang ya perjalanannya? Tapi seru kan bisa memecahkan soal seperti ini!

Jadi, kunci untuk menyelesaikan soal-soal transformasi geometri adalah dengan memahami konsep dasar dari masing-masing transformasi dan mengaplikasikannya langkah demi langkah. Jangan lupa untuk selalu teliti dalam melakukan perhitungan dan substitusi. Dengan begitu, soal serumit apapun pasti bisa kita taklukkan!

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Kalau ada pertanyaan atau soal lain yang ingin dibahas, jangan ragu untuk bertanya. Semangat belajar matematika!