Analisis Grafik Fungsi Kuadrat F(x) = 4(x^2 - 8x + 12)

Hai, teman-teman! Kali ini kita bakal ngobrolin soal fungsi kuadrat yang keren banget, yaitu $f(x) = 4(x^2 - 8x + 12)$. Buat kalian yang lagi belajar matematika, pasti familiar dong sama bentuk fungsi kayak gini. Nah, kita bakal bedah tuntas tentang grafiknya dan ngebahas beberapa pernyataan yang muncul. Siap? Yuk, kita mulai!

Pernyataan 1: Grafik fungsi $f$ terbuka ke atas

Oke, guys, pernyataan pertama yang mau kita bahas adalah soal arah terbuka grafiknya. Jadi, gini lho, buat nentuin apakah grafik fungsi kuadrat itu terbuka ke atas atau ke bawah, kita perlu perhatiin koefisien dari suku $x^2$-nya. Dalam fungsi kita, $f(x) = 4(x^2 - 8x + 12)$, kalau kita jabarin, jadinya $f(x) = 4x^2 - 32x + 48$. Nah, di sini kita bisa liat nih, koefisien dari $x^2$ itu adalah 4. Karena angka 4 ini positif, atau lebih besar dari nol ($a > 0$), maka grafik fungsi $f$ ini PASTI terbuka ke atas. Bayangin aja kayak mangkok yang siap nampung air, hehe. Jadi, pernyataan ini BENAR, guys! Penting banget nih buat inget konsep dasar ini karena ini jadi kunci buat memahami bentuk grafik fungsi kuadrat.

Kenapa sih koefisien $x^2$ itu penting banget? Gini, fungsi kuadrat itu pada dasarnya adalah polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya kan $ax^2 + bx + c$. Nah, si 'a' ini, alias koefisien $x^2$, itu yang ngasih tau kita tentang perilaku 'ekor' dari parabola. Kalau 'a' positif, grafiknya bakal 'naik' terus ke kanan dan ke kiri (kalau dilihat dari sumbu y). Kalau 'a' negatif, grafiknya bakal 'turun' terus. Jadi, dalam kasus $f(x) = 4x^2 - 32x + 48$, si 'a'-nya adalah 4. Angka positif ini yang bikin grafiknya melengkung ke atas, membentuk seperti huruf 'U' yang lagi senyum. Kalau misalnya fungsinya itu $g(x) = -2x^2 + 5x - 1$, nah, si 'a'-nya kan -2 (negatif). Otomatis, grafik $g(x)$ itu bakal terbuka ke bawah, kayak huruf 'U' yang lagi cemberut. Jadi, pemahaman soal koefisien 'a' ini bener-bener fundamental banget, kayak pondasi rumah. Tanpa ini, kita bakal bingung pas mau ngebayangin bentuk grafiknya. Selain arah terbuka, nilai 'a' ini juga mempengaruhi 'keluasan' grafiknya. Semakin besar nilai mutlak 'a', semakin 'ramping' atau sempit grafiknya. Sebaliknya, kalau nilai mutlak 'a' kecil, grafiknya bakal semakin 'lebar'. Makanya, untuk $f(x) = 4(x^2 - 8x + 12)$, karena 'a'-nya 4 (cukup besar), grafiknya bakal relatif lebih ramping dibandingkan fungsi kuadrat lain yang 'a'-nya lebih kecil, misalnya $h(x) = 0.5x^2$. Jadi, pernyataan bahwa grafik fungsi $f$ terbuka ke atas itu udah pasti bener banget, dan ini adalah informasi penting pertama yang kita dapat dari bentuk fungsinya.

Pernyataan 2: Grafik fungsi $f$ memotong garis $y=-18$

Nah, sekarang kita masuk ke pernyataan kedua, guys. Katanya, grafik fungsi $f$ ini memotong garis $y=-18$. Gimana cara ngeceknya? Gampang! Kita perlu cari tau dulu titik terendah dari grafik fungsi $f$ ini. Kenapa? Karena kalau titik terendahnya itu ada di atas atau sama dengan -18, berarti dia nggak akan pernah nyampe ke -18, alias nggak memotong. Tapi kalau titik terendahnya ada di bawah -18, berarti dia pasti memotong.

Untuk nyari titik terendah (atau titik puncak) dari grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$, kita bisa pake rumus koordinat x puncak, yaitu $x_p = -b / (2a)$. Dari fungsi kita $f(x) = 4x^2 - 32x + 48$, kita punya $a=4$ dan $b=-32$.

Jadi, $x_p = -(-32) / (2 * 4) = 32 / 8 = 4$.

Sekarang kita cari nilai y di titik puncak (nilai minimum fungsi ini) dengan masukin $x_p = 4$ ke fungsi $f(x)$.

$f(4) = 4(4^2 - 8*4 + 12)$ $f(4) = 4(16 - 32 + 12)$ $f(4) = 4(-16 + 12)$ $f(4) = 4(-4)$ $f(4) = -16$

Jadi, titik puncak dari grafik fungsi $f$ ini ada di $(4, -16)$. Artinya, nilai terendah yang bisa dicapai oleh grafik fungsi $f$ adalah -16. Nah, sekarang kita bandingin sama garis $y=-18$. Karena nilai terendah grafiknya (-16) itu lebih tinggi daripada -18, maka grafik fungsi $f$ ini TIDAK AKAN PERNAH memotong garis $y=-18$. Jadi, pernyataan kedua ini SALAH, guys!

Kenapa kita perlu banget tau nilai minimum atau maksimum fungsi? Ini berkaitan erat sama jangkauan (range) dari fungsi kuadrat. Karena grafik fungsi kita terbuka ke atas, nilai $f(x)$ yang dihasilkan itu selalu lebih besar atau sama dengan nilai minimumnya. Dalam kasus ini, nilai minimumnya adalah -16. Jadi, jangkauan dari fungsi $f(x)$ adalah $y less -16$. Nah, kalau kita punya garis $y=-18$, ini artinya kita lagi ngomongin semua titik yang koordinat y-nya adalah -18. Karena -18 ini lebih kecil dari -16, berarti -18 itu berada di bawah nilai terendah yang bisa dicapai grafik $f$. Ibaratnya, grafik $f$ itu kayak punya 'lantai' di ketinggian -16, dan garis $y=-18$ itu ada di bawah lantai tersebut. Jadi, nggak mungkin lantai itu nyampe ke garis $y=-18$. Makanya, pernyataan ini salah. Penting juga buat diingat, kalau misalnya garisnya itu $y=-10$, nah, karena -10 itu lebih besar dari -16, berarti garis $y=-10$ itu ada di atas 'lantai' grafik $f$, dan grafiknya pasti akan memotong garis $y=-10$ di dua titik. Kalau garisnya $y=-16$, itu berarti garisnya pas banget di 'lantai' grafik $f$, jadi grafiknya akan menyinggung garis $y=-16$ di satu titik (yaitu di titik puncaknya). Jadi, perbandingan nilai y yang ditanyakan dengan nilai minimum/maksimum fungsi itu krusial banget buat menentukan ada nggaknya perpotongan.

Kesimpulan

Jadi, dari analisis kita barusan, kita bisa simpulkan:

1. Pernyataan 'Grafik fungsi $f$ terbuka ke atas' adalah BENAR.
2. Pernyataan 'Grafik fungsi $f$ memotong garis $y=-18$' adalah SALAH.

Gimana, guys? Gampang kan ternyata kalau udah ngerti konsep dasarnya? Jangan males-males ya buat latihan soal biar makin jago matematika! Sampai jumpa di pembahasan lainnya! Dadah!