10 Contoh Soal Pertidaksamaan Kuadrat & Pembahasannya

by ADMIN 54 views

Halo guys! Kalian lagi nyari contoh soal pertidaksamaan kuadrat? Pas banget nih! Di artikel ini, kita bakal bahas 10 contoh soal pertidaksamaan kuadrat lengkap dengan pembahasannya. Dijamin, setelah baca ini, kalian bakal makin jago deh ngerjain soal-soal kayak gini. Yuk, langsung aja kita mulai!

Apa Itu Pertidaksamaan Kuadrat?

Sebelum masuk ke contoh soal, kitaRefresh dulu yuk tentang apa itu pertidaksamaan kuadrat. Jadi, pertidaksamaan kuadrat itu adalah pertidaksamaan yang bentuk umumnya seperti ini:

  • ax² + bx + c > 0
  • ax² + bx + c < 0
  • ax² + bx + c ≥ 0
  • ax² + bx + c ≤ 0

Dimana a, b, dan c adalah konstanta dengan a ≠ 0, dan x adalah variabel. Nah, tujuan kita adalah mencari nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Kenapa sih kita perlu belajar pertidaksamaan kuadrat? Pertidaksamaan kuadrat ini penting banget dalam berbagai aplikasi matematika, misalnya dalam optimasi, kalkulus, dan bahkan dalam masalah-masalah di dunia nyata seperti ekonomi dan fisika. Jadi, pemahaman yang kuat tentang konsep ini bakal berguna banget buat kalian!

Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Secara umum, ada beberapa langkah yang perlu kita lakukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat:

  1. Ubah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk umum. Pastikan semua suku berada di satu sisi dan nol di sisi lainnya.
  2. Faktorkan persamaan kuadratnya. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan ac dan jika dijumlahkan menghasilkan b.
  3. Tentukan nilai-nilai nol (akar-akar) dari persamaan kuadrat. Nilai-nilai ini adalah titik-titik kritis yang akan membagi garis bilangan menjadi beberapa interval.
  4. Buat garis bilangan dan plot nilai-nilai nol. Ini akan membantu kita melihat interval-interval yang terbentuk.
  5. Uji setiap interval. Pilih satu bilangan uji dari setiap interval dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan terpenuhi, maka interval tersebut adalah bagian dari solusi.
  6. Tuliskan himpunan penyelesaian. Gabungkan semua interval yang memenuhi pertidaksamaan.

Contoh Soal Pertidaksamaan Kuadrat dan Pembahasannya

Oke deh, sekarang kita langsung masuk ke contoh soal biar makin paham. Ini dia 10 contoh soal pertidaksamaan kuadrat beserta pembahasannya:

Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² - 5x + 6 > 0

Pembahasan:

  1. Faktorkan: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

  2. Nilai nol: (x - 2) = 0 → x = 2; (x - 3) = 0 → x = 3

  3. Garis bilangan:

    ----- (2) ----- (3) -----

  4. Uji interval:

    • x < 2, pilih x = 0 → (0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0 (Memenuhi)
    • 2 < x < 3, pilih x = 2.5 → (2.5 - 2)(2.5 - 3) = -0.25 < 0 (Tidak memenuhi)
    • x > 3, pilih x = 4 → (4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0 (Memenuhi)

  5. Himpunan penyelesaian: x < 2 atau x > 3

Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x² + 5x - 3 ≤ 0

Pembahasan:

  1. Faktorkan: 2x² + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)

  2. Nilai nol: (2x - 1) = 0 → x = 1/2; (x + 3) = 0 → x = -3

  3. Garis bilangan:

    ----- (-3) ----- (1/2) -----

  4. Uji interval:

    • x < -3, pilih x = -4 → (2(-4) - 1)(-4 + 3) = 9 > 0 (Tidak memenuhi)
    • -3 < x < 1/2, pilih x = 0 → (2(0) - 1)(0 + 3) = -3 < 0 (Memenuhi)
    • x > 1/2, pilih x = 1 → (2(1) - 1)(1 + 3) = 4 > 0 (Tidak memenuhi)

  5. Himpunan penyelesaian: -3 ≤ x ≤ 1/2

Soal 3

Selesaikan pertidaksamaan -x² + 4x - 3 > 0

Pembahasan:

  1. Kalikan dengan -1 (ubah tanda): x² - 4x + 3 < 0

  2. Faktorkan: (x - 1)(x - 3)

  3. Nilai nol: x = 1, x = 3

  4. Garis bilangan:

    ----- (1) ----- (3) -----

  5. Uji interval:

    • x < 1, pilih x = 0 → (0 - 1)(0 - 3) = 3 > 0 (Tidak memenuhi)
    • 1 < x < 3, pilih x = 2 → (2 - 1)(2 - 3) = -1 < 0 (Memenuhi)
    • x > 3, pilih x = 4 → (4 - 1)(4 - 3) = 3 > 0 (Tidak memenuhi)

  6. Himpunan penyelesaian: 1 < x < 3

Soal 4

Tentukan penyelesaian dari x² - 9 ≥ 0

Pembahasan:

  1. Faktorkan: (x - 3)(x + 3)

  2. Nilai nol: x = 3, x = -3

  3. Garis bilangan:

    ----- (-3) ----- (3) -----

  4. Uji interval:

    • x < -3, pilih x = -4 → (-4 - 3)(-4 + 3) = 7 > 0 (Memenuhi)
    • -3 < x < 3, pilih x = 0 → (0 - 3)(0 + 3) = -9 < 0 (Tidak memenuhi)
    • x > 3, pilih x = 4 → (4 - 3)(4 + 3) = 7 > 0 (Memenuhi)

  5. Himpunan penyelesaian: x ≤ -3 atau x ≥ 3

Soal 5

Selesaikan pertidaksamaan 4x² - 1 < 0

Pembahasan:

  1. Faktorkan: (2x - 1)(2x + 1)

  2. Nilai nol: x = 1/2, x = -1/2

  3. Garis bilangan:

    ----- (-1/2) ----- (1/2) -----

  4. Uji interval:

    • x < -1/2, pilih x = -1 → (2(-1) - 1)(2(-1) + 1) = 3 > 0 (Tidak memenuhi)
    • -1/2 < x < 1/2, pilih x = 0 → (2(0) - 1)(2(0) + 1) = -1 < 0 (Memenuhi)
    • x > 1/2, pilih x = 1 → (2(1) - 1)(2(1) + 1) = 3 > 0 (Tidak memenuhi)

  5. Himpunan penyelesaian: -1/2 < x < 1/2

Soal 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 2x + 1 > 0

Pembahasan:

  1. Faktorkan: (x + 1)²

  2. Nilai nol: x = -1

  3. Garis bilangan:

    ----- (-1) -----

  4. Uji interval:

    • x < -1, pilih x = -2 → (-2 + 1)² = 1 > 0 (Memenuhi)
    • x > -1, pilih x = 0 → (0 + 1)² = 1 > 0 (Memenuhi)

  5. Himpunan penyelesaian: x < -1 atau x > -1 (x ≠ -1)

Soal 7

Cari solusi dari 9x² - 6x + 1 ≤ 0

Pembahasan:

  1. Faktorkan: (3x - 1)²

  2. Nilai nol: x = 1/3

  3. Garis bilangan:

    ----- (1/3) -----

  4. Uji interval:

    • Karena (3x - 1)² selalu non-negatif, maka satu-satunya solusi adalah saat (3x - 1)² = 0

  5. Himpunan penyelesaian: x = 1/3

Soal 8

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 5x > 0

Pembahasan:

  1. Faktorkan: x(x + 5)

  2. Nilai nol: x = 0, x = -5

  3. Garis bilangan:

    ----- (-5) ----- (0) -----

  4. Uji interval:

    • x < -5, pilih x = -6 → -6(-6 + 5) = 6 > 0 (Memenuhi)
    • -5 < x < 0, pilih x = -1 → -1(-1 + 5) = -4 < 0 (Tidak memenuhi)
    • x > 0, pilih x = 1 → 1(1 + 5) = 6 > 0 (Memenuhi)

  5. Himpunan penyelesaian: x < -5 atau x > 0

Soal 9

Selesaikan pertidaksamaan x² - 4x < 0

Pembahasan:

  1. Faktorkan: x(x - 4)

  2. Nilai nol: x = 0, x = 4

  3. Garis bilangan:

    ----- (0) ----- (4) -----

  4. Uji interval:

    • x < 0, pilih x = -1 → -1(-1 - 4) = 5 > 0 (Tidak memenuhi)
    • 0 < x < 4, pilih x = 2 → 2(2 - 4) = -4 < 0 (Memenuhi)
    • x > 4, pilih x = 5 → 5(5 - 4) = 5 > 0 (Tidak memenuhi)

  5. Himpunan penyelesaian: 0 < x < 4

Soal 10

Tentukan solusi dari 2x² - 8 > 0

Pembahasan:

  1. Sederhanakan: x² - 4 > 0

  2. Faktorkan: (x - 2)(x + 2)

  3. Nilai nol: x = 2, x = -2

  4. Garis bilangan:

    ----- (-2) ----- (2) -----

  5. Uji interval:

    • x < -2, pilih x = -3 → (-3 - 2)(-3 + 2) = 5 > 0 (Memenuhi)
    • -2 < x < 2, pilih x = 0 → (0 - 2)(0 + 2) = -4 < 0 (Tidak memenuhi)
    • x > 2, pilih x = 3 → (3 - 2)(3 + 2) = 5 > 0 (Memenuhi)

  6. Himpunan penyelesaian: x < -2 atau x > 2

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Pertidaksamaan Kuadrat

Nah, setelah kita bahas 10 contoh soal, ada beberapa tips dan trik nih yang bisa kalian gunakan biar makin lancar ngerjain soal pertidaksamaan kuadrat:

  • Pahami konsep dasar: Pastikan kalian paham betul apa itu pertidaksamaan kuadrat dan bagaimana bentuk umumnya. Ini penting banget sebagai fondasi.
  • Latihan soal: Semakin banyak latihan soal, semakin terbiasa kalian dengan berbagai tipe soal dan cara penyelesaiannya.
  • Gunakan garis bilangan: Garis bilangan ini helpful banget buat memvisualisasikan interval dan menentukan himpunan penyelesaian.
  • Teliti dalam perhitungan: Kesalahan kecil dalam perhitungan bisa bikin jawaban jadi salah. Jadi, pastikan kalian teliti ya.
  • Jangan ragu bertanya: Kalau ada yang belum paham, jangan ragu buat tanya ke guru, teman, atau cari sumber referensi lainnya.

Kesimpulan

Oke guys, itu tadi 10 contoh soal pertidaksamaan kuadrat beserta pembahasannya. Gimana, udah mulai kebayang kan cara ngerjainnya? Ingat, kunci dari matematika itu adalah latihan, latihan, dan latihan! Semakin banyak kalian latihan, semakin jago deh kalian.

Semoga artikel ini bermanfaat ya! Kalau kalian punya pertanyaan atau pengen request materi lain, jangan ragu buat tulis di kolom komentar. Sampai jumpa di artikel berikutnya! Keep learning and have fun with math! 😉